Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

248

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

и такой элемент t модуля

j , что

(7.7.10)

t) =

6(о>,

J =

8(о')«.

Но

тогда F

=

k(s,

t). Мы получили расширение 77 поля к, описание

которого в терминах теории полей классов хотим отыскать.

ТЕОРЕМА

7.30.

Лоле F является абелевым расширением

поля

к,

не разветвленным в каждом простом

идеале поля к, не делящем

N(c)N.

Кроме

того,

если

т — целое

рациональное

положительное

число,

взаимно

простое

с

N(c)N,

и

а =

("^у)>

т

о

х°

=

т х

9ля каждого

х

б£ -

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

предложению

7.23,

каждый

простой

идеал поля к,

взаимно

простой

с N(c)N,

не разветвлен в 7Л

Заметим,

что

отображение

a t—»• 9(a)s

определяет некоторый

изомор­

физм модуля

о7с

на

t). Пусть т 6 Gal(Q//c). В

силу

определения

модулей

I; и

j

отображение

т

переводит

t) и

§ на

себя. Поэтому

F — расширение Галуа поля к и

(7.7.11)

s* =

Q(gt)s,

I х =

Q(hx)t,

где элементы gx и hx кольца о'

взаимно

просты

с с. Легко

видеть,

что отображение т у—*• (gx,

hx)

определяет изоморфизм группы

Gal(F/k)

на

подгруппу

группы

(о'/с) х 2 ,

и,

следовательно,

поле

77

абелево

иад

к.

Пусть

р

— простое

рациональное

число,

не делящее

N(c)N,

р — простой

идеал

в к, делящий р, п

^

— простой

дивизор

поля

Q,

продолжающий

р. Пусть X или ЩХ)

— объект,

полученный

из объекта X редукцией по модулю

Далее, пусть лр

и Лр те же,

что в (7.7.7), и а

элемент Фробенпуса группы Gal(Q//i) относитель­

но 4$. Тогда а

=

(

н

а

F.

(I) Рассмотрим

сначала

случай

\\>(р)

=

— 1 , так

что iV(p) =

р2.

В

силу

(7.7.7) лр — р

= Я р ( л р

— лр)

=

лр-&(ар). Согласно

(7.7.1),

&Р 6 Ь0 ,

так

что

(лр

— р)х

=

0 для

всех

х 6sТак как лрх =

^{х°),

то ^(ха

— рх)

=

0 для всех х £ £. В силу предложения 13 из

книги

Шимуры

и Таииямы

[ 1 , § 11.1]

редукция

по

модулю

2(3 определяет

изоморфизм

модуля

j

на

3(5(5).

Поэтому

ха

=

рх

для

всех

х £ j .

( I I )

Предположим

теперь,

что

ip(/j)

= 1. Тогда (р) = рр8

в

к.

Пусть б — элемеит

группы

GaI(Q/Q), совпадающий с е на к.

Тогда

F6

=

F п 6_1сг6 = (—7-) н а

поле 77. Для каждого простого идеала (

систему па А'

я А'Е.

Имеем

to = £ 2

,

где £

— простой идеал

в

К.

Согласно определению идеала Ъ, можно

пайти такой

элемент Я, в Бо,

что

Я делится

на £ ,

но не делится

иа

S2 .

В

силу

(7.7.2) 0(А.)р,

=

=

—р,Э(Х). Но тогда

Q(X) отображает

группу

А'[{]

в

группу

А'г

[f]

и группу А'г

[(] в группу А'[{].

(По поводу символа

>!'[(] см. (7.6.3).)

§ 7.7. ПОСТРОЕНИЕ

ПОЛЕЙ

КЛАССОВ

249

Кроме того,

Кег(9(А.))

П

А[{]

=

AIQ]

=

s

П

AU],

так что

Кег(9(/\))

П

Л'[{]

=

t) П

Л'Ш ~

о'/Г,

Кег(0(д.))

П

=

s П

^ ' е

Ш

»'/f-

Положим t)t = t) П ^ ' [ ' ]

и 5t

=

5 П

4 ' е Ш .

Так как

l b cz со, то

Q(l)(A'U])czbl,

в(ЩА'*Ц])<=

9

l .

0 ^ S l - ^ ' E [ l ] ^ i - > i ^ 0 .

Выберем

элементы

и и

у

так,

чтобы

9 [

=

9 ( о > ,

^ ' [ ( ]

=

t)[ +

9 ( о > .

С помощью автоморфизма б получаем

S l

= 9 ( о > М

А'*

М

=

Ъ1

+

9(о')гА

Пусть

а = (—р— ) , go, ^ а те же, что выше; тогда иа

= 9(g-0)«. и и6а

=

= Q(ha)u6.

Положим

va

=

В(с)и

-f- B(d)v,

где

e n d

берутся

из

о'.

Тогда

(Q(X)v)a

= 9(Х)УС Т

=

Q(d)Q(k)v.

С

другой

стороны,

так

как

В(к)и 6 §, то (9(Я)у)ст =

9(/г(Т)9(Я)у.

Так как элемент

Q(k)v порождает

модуль

над

9(о'),

то

d =

ft0mod

1. Таким

образом, УС Т =

9(c)it

+

+

Q(ha)v

при

с 6 о'.

Аналогично

У 6 А

=

9(e)u6 +

9(g-a )y5 при

e g o ' .

Другими

словами,

если

определить

Ьадические

представления

Щ

и Щ группы Gal(Q/&) па А ' и

A

' s ,

как в § 7.6, то окажется, что

ha

е

mod (.

О

ha.

О

gCT

Согласно

(7.6.7) и (7.6.15),

ар

==

ga

+

ha,

р =

gaha mod

(.

Это верно для всех простых делителей I идеала с. Поэтому

(7.7.12)

ар

5= ga

+

ha,

р

=

gaha

mod с.

Далее,

u 6 a 6 - i = 9 ( / l o ) U )

убаб-i=

0 (е )

ц + 0 ( ^ ) 1 7 ,

(цб)й -1 с т б =

9 (ga ) u«,

(ye)6 "1 0 6 =

9 (с) и* + 0 (/га) «в,

так

что

(7.7.13)

Щ (боб"1 )

=

Щ (a),

SHf (б"1 аб) = Щ (о)

mod (.

250

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Итак,

(а-баб-1 )

=

р

*

mod Т,

0

р

Щ {а.8~1о8)

=

' р

*

mod t.

О

р

Поскольку

баб 1 =

8 1 а б =

( — 7 - )

на

из

равенства

x = ( _ ^ j ~ " )

следует,

что

т — а - б а б - 1

= а - б - 1 а б ,

так

что

хх

— рх

для

каждого

( I I I )

Пусть

т — целое

положительное

число,

взаимно

простое

с N(c)N,

и а

=

(-j^y-) • Можно

найти простое

рациональное число р,

взаимно

простое

с

N{c)N,

для

которого

р =

т mod N(c)Nh/q

(f),

где

f — конечная

часть кондуктора

поля F над полем к. (Заметим,

что

JVfc/Q (f)

делится

только

на

простые

множители

числа

N(c)N,

так как каждый простой идеал в к, взаимно простой с N(t)N,

не раз­

ветвлен

в

F.)

Тогда

а =

i и >

следовательно,

в

силу(1)и(П)

ха

=

рх

— тх

для каждого

х 6 5-

Доказательство

закончено.

СЛЕДСТВИЕ

7.31.

Пусть

с П

Z =

qL при некотором

положитель­

ном целом числе qut,

— первообразный корень

q-й степени

из

единицы.

Тогда

£ 6

i 5

,

u

F ф

&(£).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

р — простой идеал в к, не

де­

лящий

qN.

Если

а = (—р—-) =

i d ,

то

ga

=

ha

=

1 mod с,

откуда

iV(p) =

1 mod gZ. В

силу теории

полей

классов это

означает,

что

k(t,)a

F.

Выберем такое простое рациональное число р,

не

делящее

N,

что р =

— 1 mod qZ, и положим т = ( - ^ у - | . Тогда т =

i d на

k(Q;

и(а) группы иделей кл

поля к,

положив

(7.7.14)

и(а)

=

{(хр)

е П

гр

| х?

— 1 6 гр а

для

всех

р} .

ЛЕММА

7.32.

Пусть

F — абелево расширение

поля к и

iv —

подгруппа

группы

кЛ,

соответствующая

полю F. Предположим,

что

u(aln ) cz го

при

некотором

целом

идеале

а в поле к, некотором

про­

стом

идеале {

в к и

некотором

целом числе

п^>1.

Предположим,

далее,

что

число

[F:

к)

взаимно

просто

с N(\). Тогда

u(al) cz

to.

§ 7.7. ПОСТРОЕНИЕ

ПОЛЕЙ

КЛАССОВ

251

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Это

утверждение

вытекает

непосред­

ственно

из равенств

IF

: к]

=

Ikl :

to], lu(ot) : u(atn)l =

Положим q =

TV(c). Дальнейшую информацию о кондукторе

поля

F мы получим,

сделав

следующие

предположения:

(7.7.15)

(i) число

q

просто;

(ii) число N

свободно

от квадратов;

(iii)

число N взаимно

просто

с q(q — 1);

(iv) ip(a)

=

Тогда k

= Q_('[/"N).

Так

как ap(—1) =

1, то

TV =

1 mod(4).

Согласно

предложению

7.28,

qr = qqE

при

различных

(главных)

простых

идеалах q и qE поля к.

Заметим,

что

группа

о'/с

канонически

изоморфна

группе

Z/gZ.

Поэтому числа g a

, h a из (7.7.11) могут быть взяты из кольца Z по мо­

дулю gZ. Таким

образом,

имеет место

инъективный

гомоморфизм

(7.7.16)

Gel{F/k)

Эт ~

(gx,

hx) 6

( Z / g Z ) * 2 .

Отсюда следует,

что

число

[F : к] делит число

(g — I ) 2 .

ТЕОРЕМА

7.33.

Пусть

i — произведение

двух архимедовых

про­

стых дивизоров поля к. Тогда кондуктор

поля F

над

к равен

qqe i.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

f — кондуктор

поля

F

над

к.

В

силу следствия

7.31

кондуктор

t должен

иметь

вид

f =

i-qa (c,E )b -

П

шс

m|jv

при некоторых целых

а >

О,

Ъ >

0,

с ^ 0

(с

зависит

от

т ) ,

где

т

пробегает

множество

всех

простых идеалов поля к, делящих ТУ.

Так как число [F : к] делит (g — I ) 2

, то из (7.7.15) и леммы 7.32 выте­

кает, что

а,

Ь, с меньше или равны 1, а кондуктор f

имеет

вид

iqqit

при некотором свободном от квадратов

идеале

п, делящем число TV.

Для доказательства

равенства

п =

т возьмем любой простой идеал

ш, делящий

TV,

и такой идеал

т ' ,

что

mm' =

] / T V - T . Пусть х

£ т„,.

Так как группа

i / m m ' изоморфна

группе Z / T V Z , можно найти

такое

положительное целое рациональное число у, что у =

х mod m и у ==

=

1 mod gm'. По

теореме 7.30

( y j y )

=

1- Пусть х'

— образ элемен­