Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

252

Г Л . 7. Д З Е Т А - Ф У Н К Ц И И

Наша следующая

цель — выяснить, действительно

ли поле F

максимально среди полей классов лучей с кондуктором

iqqE . Пусть

"о — фундаментальная

единица поля к и v„ — такое

наименьшее

положительное

целое число, что и%п вполне положительно и и^п =

=

1 mod (qqe )n . Пусть далее Fn

— максимальное поле классов лучей

по

модулю t-(qqe )'1 над полем к, т. е. подполе поля каЬ,

соответствую­

щее подгруппе

/Wv^+.u^qq6 )1 1 )

группы /«Л, где и( )

имеет тот же

смысл, что и в (7.7.14). Если ск

— число классов поля к, то

что ul — 1 =

i / 0 - T r h / Q

(u 0 ),

если NK!Q

(и0) = — 1 .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.34.

Предположим,

что

N),/Q (и0)

=

— 1

и

и~ — 1 делится

на q. Пусть

qm — наивысшая

степень

q,

делящая

Tt'ft/Q (и0), и $р — объединение

полей

Fn

для всех п. (Другими слова­

ми, зр — наибольшее абелево

расширение

поля к, в котором

развет­

влены только

q, qB и архимедовы простые дивизоры.)

Тогда

поле

ер

порождается

над Fm корнями

qn-u степени

из единицы

для всех

п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

it* =

1 +

qmv

при некотором

показать, применяя индукцию по п, что v „ + m

= 2qn, и, следователь-

но,

[Fn+m:

к] = ch{q -

l ) V + 2 m

- 2

в

силу

(7.7.17).

Положим

=

ехр[2ш/<7п ].

Тогда k(Z,n+m)

Г) Fm

= Щт).

Дей­

ствительно, если k(t,n+m)

f| Fm

больше,

чем к(£,т),

то Fm

должно

содержать к(с,т+1).

Возьмем такое

простое

рациональное

число

р,

что

р = 1 - f qm mod(g m + 1 )

и ip(p) =

— 1 . Тогда

простой

идеал

pi

поля к полностью распадается

в Fm,

ио не в / i ( £ m + 1 ) ,

так как

р2ф

ф

1 mod(f7m 'f l ). Следовательно,

поля

k(Z,n+m)

и Fm

линейно

разделе­

ны над k(tm),

так что

iFm&n+m)

••

k] =

qn-[Fm:

k] =

[Fn+m:

к].

Так как Fm{t,n+m)a

Fn+m,

то Fm{t,n+m)

=

Fn+m;

предложение

дока

зано.

Заметим,

что каждый

элемент

группы

(r/gr) x

представляется

некоторым вполне

положительным

элементом группы г. Для каж­

дого вполне положительного элемента а группы х, взаимно

простого

с q, рассмотрим число сг=(

) , а также

элемент (ga, ha)

группы

(о'/с)*2

из (7.7.11)

или группы

(Z/gZ)x 2

из

(7.7.16).

Заметим, что

группа

т/gr изоморфна

(Z/gZ)2 . Следовательно, мы получаем точную

последовательность

гомоморфизмов

(7.7.18)

(Z/gZ)x 2 +

( t / g r ) * - > Gal (F/k) - >

(b'/c) x 2 - ^(Z/gZ) x 2 ,

§ 7.7. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ КЛАССОВ

253

ностью

до

множителей.

Напомним

также,

что отображение а и-»•

|—*• (gcu ho)

не

зависит

от

выбора

точек

s

и t. Для каждой пары

(х,

у) £

(Z/qZ)"2

при х

и

у из

(Z/qZ)x

обозначим через

(g(a;, i/),

/г(£,

г/))

элемент группы

(Z/qZ)"2,

соответствующий паре (я,

jy) отно­

чился

гомоморфизм

(7.7.19)

(х, у)

^

(g{x,

у), h{x,

у))

группы

(Z/gZ)*2 в себя. Естественно поставить следующий вопрос

(при числе классов поля к, равном 1):

(7.7.20)

является

ли отображение

(7.7.19)

тождественным с точно­

стью до

изменения

х

и у?

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.35.

Если

[F : к]

=

(q — I ) 2

,

Nh/Q{u0) =

— 1 и

число классов поля к равно 1 , то F

=

^

u и\ — 1 делится

на q.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

F cz

F^ и

vt

^ 2,

то

[F

: к] <

[Ft : к]

= 2(q -

l ) 2 / v j

<

(q -

l ) 2 .

Поэтому,

если

\F :к]

=

(q —

I ) 2 , то

vt = 2 и F

=

Fi.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.36. Отображение

(7.7.19)

обладает

следующими

свойствами:

(а)

g{x,

х) =

h{x,

х)

= х;

(б)

g(x,

y)h(x,

у) =

ху\

(в)

g(x,

у) =

h{y,

х).

1 Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первое

свойство

следует

из

теоре­

TVfe/Q(a) было простым

рациональным числом р и не делило qN.

Если

х =

a mod q

и

у =

a mod qE ,

то

у =

a e mod q,

так

что

ху

=

=

р mod qZ.

Из

(7.7.12)

мы

получаем

сравнение

р

=

== #(а;, y)h(x,

у) mod gZ и,

следовательно,

свойство

(б). Из доказа-

тельства

теоремы

, п

видно, что

если

/

F/k\

и

I

F/k

\

то

7.30

ст=^—pj

т = ^ — ^ - j ,

ga

=

hx,

ha == gx

mod с. Свойство

(в)

доказано.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.37. Существует

такое

целое

рациональное

чис­

ло

Ь, что

g(x, у)

== х^У,

Цх,

у)

=

Л 1

" " -

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как группа

(Z/qZ)x

циклическая,

то

g(x, у)

=

хауь,

h(x,

у) =

хьуа

при некоторых целых числах

а,

Ь,

(а) мы получаем

а + Ь з= 1 mod(g — 1), и предложение доказано.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.38. Ответ на вопрос (7.7.20) утвердителен тогда

и только тогда, когда

(7.7.21)

ар = T r f c / Q ( a ) mod с

Тогда T r f t / Q ( a ) =

х0 +

у0 mod gZ

и

g(x0,

Уо) +

Чх0,

уо) =

ga + К =

ар

mod с

в силу (7.7.12). Поэтому, если отображение

(7.7.19) тождественно,

мы получаем (7.7.21). Обратно, предположим,

что условие (7.7.21 )>

выполнено

для

некоторого а и элемент а/аЕ

имеет порядок q — 1

в группе

(r/q)x .

Тогда

х0

+ у0 =

g(x0,

Уо) +

h(xQ, у0)

mod qZ.

необходимости

изменив

х и

у, что

Zo =

g(x0,

Уо),

Уо =

Цх0,

у0)

mod qZ.

Если

Ъ — число

из

предложения 7.37,

то

х0

= xl~by^ mod qZ, так

что

(х0/у0)ь

=

1 mod qZ\

следовательно,

Ь =

0 mod(g — 1). Поэтому

g(x,

у) = х,

h(x,

у)

= у

для

всех х

и у

из

(Z/qZ)x.

Доказательство-

закончено.

Таблица на стр. 255 дает коэффициенты Фурье ар для всех про­

стых уровней N

^

97 при тр(х) =

Заметим, что

S2(T0{N), гр) =

256

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

со

с точностью до сопряжения над Q,

форма / = 2

я „ е 2 я ' п г

еДИИСТВеИ-

r ^ l

на с точностью

до сопряженности

коэффициентов

ап над

Q. Имеем

[К

: Q] = 2 Л К ' : Q] = dim(52 (r0 (iV), г|>)).

уравнения для них

относительно фиксированного

поля,

сопряжен­

ного

к К,

и фиксированного изоморфизма

0.

Заметим,

что число и\ — 1 =

и0 •TI , I,/Q(«O)

делится

на

iV(c)

для всех указанных N. Например, если N =

61, то а2 = ] / * — 4— ] ^ 3 ,

так

что с = ( — 4 —

|/3) и N(c) = 13. С

другой

стороны,

и0

=

= (39 -г 5"|/"б1)/2;

следовательно,

NhlQ(u0)

=

39.

Мы видим,

что

ТЕОРЕМА

7.39. Следующие

утверждения

справедливы (по

крайней

мере)

для N

= 29, 53, 61, 73, 89, 97.

(1)

Отображение

(7.7.19)

тождественно

с

точностью

до

изме­

нения

х и

у.

(2)

F =

F i , т. е. F — максимальное поле классов над k =

Q(YN)

с кондуктором qqE i.

(3)

Не

существует

абелева

многообразия,

определенного

над

Q

и изогенного

многообразию

А'

над

Q.

(4)

Многообразие

А'

простое

и

E n d 0 (А')

=

Q'(K').

(Это

утвер­

ждение верно

также и для N =

37, 41.)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы обсудим здесь лишь случай N = 97;

остальные

можно

рассмотреть

аналогично

и

даже

проще.

Если

N =

97, то, как

показывает

таблица, К'

=

Q(7- ), г =

—(со +

со- 1 ),

со =

e2ni<<i,

q = 467.

Число

г

удовлетворяет

уравнению

(*)

X3

-

3 Z -

1 = О,

корни

которого

суть

г,

2 — г2

= —(со2

+

со- 2 ),

г2 — г — 2

=

единственный простой идеал, являющийся общим

делителем

чисел

20 — ?• и 467. Выбирая подходящим образом

изоморфизм 0,

можно

взять

этот простой идеал в качестве идеала с. Таблица показывает,

что а3

— корень

уравнения

(*). Имеем

г =з 20,

2 — г2 =

69, г2 — г — 2 =

378

mod с.