Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл (14,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 131

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 7.7. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ КЛАССОВ

257

ным г,

так как приведенное

сравнение

не

имеет

решений,

если

а3

равно 2 — г2

или г2 — г — 2. Решая

сравнение

— 20Х

0 mod(467),

находим решения (х,

у)

= (97,

390). При а

•1/97

имеем

3 = аа Е , причем

а здесь

вполне

положительно

Trf t /q(a) =

20 == а3 mode.

Однако

97/390

имеет

порядок

233

по модулю 467. Поэтому, согласно рассуждениям в доказательстве

теоремы 7.38,			показатель			Ъ из	предложения		7.37 должен	делиться
на	233,	т. е.
(**)				g(x,	у) = ±х,		h(x,	у) =	±у.
	Аналогично,			проверяя		разрешимость		сравнения X2		— а2Х	+
+	2 =	0 mode,		находим,		что а2	равно или 2 — г2, или г2			— г — 2.
Если аъ		— г2	— г — 2, то данное сравнение имеет своими решениями
(х,	у) =_(197,		339).		С другой		стороны,	2 =	ВВ8 при В = (69		+

+7"|/97)/2, В вполне положительно.

Далее,	заметим,		что (197,	339)	не	удовлетворяет	соотношениям
(**). Поэтому аг		=	2 — г2 и	Т р ^ ф )		= 69 == а<> mode.		Сравнение
X2 — 69Х	+ 2 =	0 mod(467)		имеет	решения 412 и		433.	Так как

412/433 — первообразный корень по модулю 467, то в силу пред ложения 7.38 первое утверждение теоремы доказано. Согласно

предложению 7.35,

Для

изучения структуры кольца

End Q(^4') рассмотрим эндомор

физм

Фробепиуса

срр

возведения в

р-ю

степень

многообразия

А'

по

модулю

р,

где

р — простой

идеал поля к =

Q(l/97),

для кото

рого

N(p)

р,

\р(р) =

1. В силу (7.7.7) эндоморфизм срр

удовлетво

ряет уравнению X2

— арХ

р =

0, где ар отождествляется с

Q'(ap).

Если р

2, то

а2

= 2 — г2.

Легко

видеть, что

= 2 остается

про

стым

К' и распадается на два простых идеала

и *|$ в поле

А'(ср2 ).

Легко также видеть, что А'(ср2 ) не является расширением

Галуа

поля

К'

— единственное

нетривиальное

подполе

А'(ср2 ).

Так

как ср2 делится на

5$ или

па >р, но не делится на

(2),

то

А'(ф2 )

0^(ф£)

для

каждого

целого

положительного

п.

Вместе

тем

каждый

элемент кольца

End<j ( Л ' m o d р)

коммутирует с ерр1

при достаточно большом п. Поэтому, согласно предложению 1 из кни

ги Шимуры и Таниямы			[ 1 , § 5.1],
(***)		EUCIQ (A'			modp)	=	Q(<p») =	А"(фл)
для р =	2.	Если р =	3,	то	существует		такой	простой	идеал t =
= ((1 —	со)	(1 — со- 1 ))	в	поле К',		что	t 3 = (3) и t		распадается

на два простых идеала в А'(ф 3 ) . Такими же рассуждениями, как

выше, легко получить (***) для р =					3. Однако а2 — —(со2 + со- 2 )					=
== 1 mod t,		и	поэтому	уравнение	X2 — а2Х	+	2 =		0 mod t непри-
водимо.	Следовательно,			t остается	простым	в	А'(ф 2 ) . Таким обра
зом, поле		А'(ф2 ) не изоморфно полю А'(ф 3 ) .					Это	показывает,		что
E n d g ^ ' )	=	А",	и, следовательно,		многообразие			А'	простое.

17-01118

258

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Для доказательства утверждения (3) рассмотрим произвольное

абелево многообразие В,

определенное над Q, и некоторую

изогению

из

А'

в В,

рациональную

над Q. Можно

найти такую

изогению

из

А',

что Х'Х =

deg(A-) чсЦ',

где id..i> — тождественное

ото

бражение

многообразия

А'.

Пусть

£ — ограничение

отображения

0(а5 )

на

А'.

Так

как а5 £ Ь0 п

NK/Q

(а ) =

467, то

| —

изогения

из А'

в Л ' е

степени 467. Продолжим е до некоторого автоморфизма 6

поля

Тогда Х'Х6^ — эндоморфизм

многообразия

А',

так

что

Х'Х&Х =

б'(е)

при

некотором

элементе

е из

о'.

В силу

(7.6.1)

W K V Q H 2

= deg(6'(e)) =

deg(rxeg)

467 -deg^)8 ,

п мы пришли к противоречию, так как число 467 простое. Доказа тельство закончено.

При N = 89, возможно, следует брать 53 вместо q = 5 и рас сматривать сравнение


			ар == T r f t / Q ( a )		mod с3
вместо		(7.7.21). Тогда координаты некоторых точек порядка 5*
на	А	будут порождать поле F3		над	полем к.
	Касселман		[1] доказал, что	абелевы		многообразия А' для N =
=	29,	53, 61,	73, 89, 97 имеют хорошую			редукцию для всех простых

идеалов поля к == Q(l//Y) . Как следствие этого результата покажем,

что функции

£(s;

A'Ik)

есть

не

что

иное,

как

со

г»

L (s, /) L (s, /р) =- (

a n n - ) ( S

« £ « - ") .

71=1

71= 1

если Лг = 29. В теореме 7.25 мы

видели, что множители

Эйлера

функций

£(s;

A'Ik,

К')

и L(s,

f)L(s,

/ р ) совпадают для всех простых

идеалов

к,

отличных от

n =

VN-г.

Теперь

же

заметим,

что

А'

и А'г

имеют одну и

ту

же редукцию

по модулю п.

Еслн a £ о

аР =

—а, то отображение

9(a) определяет изогению

из А'

А'а.

Беря

ее

по модулю п, мы получаем элемент

кольца

End (п(<4')),

который

вместе с Q'(K')

порождает подполе Ш в кольце E n d Q

(п(А')),

изоморфное

полю

К.

Пусть

ф — эндоморфизм

Фробеииуса

степени

многообразия

п(А').

Так

как

элементы из

Й |~|

Еш](п(А'))

определены над

про

стым полем, то элемент ф коммутирует с этими элементами и, стало

быть, содержится в К, согласно предложению 1 из	книги Шпмуры
и Таниямы [ 1 , стр. 39]. (Если N = 29, то dim(-A') =	1, и наше утвер

ждение следует из (5.1.5).) Поэтому оператор ф имеет некоторый элемент ф0 поля К в качестве собственного значения. Согласно

теореме	Вейля,	\| ф^\|2	=	N	для	каждого	изоморфизма		т	поля	К
в С. Если N =		29, то		К =	Q (]/"^5), и		из	условия	\| <р0_\|* =		29
следует,	что ф0	= ± 3	±	2 ) / —5.		Положим a		= (29 +	5	У29)/2=

§ 7.8. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ АБЕЛЕВА МНОГООБРАЗИЯ CM-ТИПА

259

У 29и0

и о =

( - ^ - )

• Тогда

а — вполне положительный

элемент

а =

2 шос15г,

так

что

(ga,

К) =

(2,2) mod (5).

силу

(7.6.7),

беря

(5)

в качестве

X, получаем Т г к / д

(ф0 ) =

4mod(5).

Следовательно,

ср0 =

—3 ±

2 ] / — 5 .

Это согласуется

со

значением

коэффициента Фурье aN пашей параболической формы /,

найденным

Гекке

[5, стр. 904—905). Мы имеем, таким образом, точное

равенство

£(s; A'Ik)

= L(s,

f)L(s,

/ р ) ,

верчое

для

эллиптической

кривой А'

в случае N = 29.

Можно также проверить, что для указанных выше шести значе

ний N кольцо E I U I Q

(п(А'))

изоморфно

полю

К.

Едва

ли следует говорить о

том, что

в этом параграфе

мы лишь

начали изучение загадочной связи между вещественными квадра тичными полями и параболическими формами «высшего уровня» в смысле Гекке. Заметим, что, хотя наше обсуждение ограничивалось случаем форм веса 2, имеются некоторые численные наблюдения, устанавливающие связь с вещественными квадратичными полями

параболических форм веса, большего

Автор надеется вернуться

к этому вопросу в другой

публикации.

§ 7.8. Дзета-функция абелева многообразия СМ-типа

Пусть

/1 — абелево

многообразие

размерности п,

определенное-

иад полем

алгебраических

чисел

к, кольцо

эндоморфизмов E n d Q

(А)

которого

изоморфно некоторому

СМ-полю К степени 2п. Определим

дзета-фупкцию многообразия А

над полем

к г ) . Пусть

'ё — фикси

рованная

поляризация

на

0 — некоторый изоморфизм

из

в End<j (А);

зададим пары

(К,

Ф), (К*,

Ф*), как в

§ 5.5.

Будем

предполагать, что выполнено условие (5.5.10) и

(7.8.1)

все элементы из В{К)

Г| ЕпсЦЛ) и поляризация

рациональны

над

/с;

(7.8.2)

K*czk.

(На самом деле (7.8.2) следует из (7.8.1), если А — простое многооб разие; верно и обратное — см. Шимура и Танияма [ 1 , § 8.5, пред ложение 30]; ср. также с (5.1.3), когда А — эллиптическая кривая.) Выберем произвольную Z-решетку а в К и изоморфизм \ из Сп/и (а) на А, как это делалось в (5.5.9); и определяется соотношением (5.5.8). Положим

			Л (у) =	det (Ф* (у))		(у€КТ),
			\i(x) =	r\ (Nh/K*	(х)	(х 6 к*А).
г )	Если	читатель	интересуется только			одномерным случаем, он может у п р о
стить все изложение, предположив, что						А — э л л и п т и ч е с к а я	кривая,	К	—
мнимое квадратичное			поле, изоморфизм 0 нормализован в смысле				§ 5.1 и и(а)		=
= а.	К* =	К, Ф =	Ф* =	i d , \i(x) =	NH/K(.x). Поляризацию		можно не	рас
сматривать;		вместо	теоремы	5.15 можно		воспользоваться теоремой 5.4.			1

17*

260		ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Напомним, что ц{у) £ КА			Для каждого у £ Кл				• Так как пара			(К,Ф)
является СМ-типом, то, обозначая					через р комплексное сопряжение
в группе	К* и его очевидное			продолжение			на группу		Кл, получаем
(7.8.3)		ФМх)»	=	Nm	(х)	(х	6 кл).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ		7.40. (1) Каждая				точка	конечного		порядка		на А
рациональна над каъ.
(2) Для х 6 кЛ		существует		такой		единственный		элемент		а	груп
пы Кх,	что	а-[л{х)-1а	=	а,	ааР = N(il(x))			и	l{u(v))lx<		''1 =

=|(u(a -j.i(a;)- 1 f)) для всех v £ К/а.

Отображение

£>—>а

определяет,

очевидно,

некоторый

гомомор

физм

группы

кЛ

группу

К*.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

к'

— поле,

порожденное

над

/с

координатами точек конечного порядка па А,

т. е. точками

l,{u(v))

для

всех

v £ К/а.

Для

х £ кл

обозначим через

такой

элемент

группы

Gsl(k'/k),

что

т =

[,г, к]

на к'

f] kub.

Положим

Nh/K(x).

Тогда

т =

[у, К*]

на

к'

(]

К^ь-

силу

теоремы

5.15

существует

такой

изоморфизм

группы

С'7м(и.(а:)-1а)

иа

Ах,

что

тройка

(Ах, %х,

0Т ) является тройкой типа (К, Ф; р.(ж)_1а,

N(il(y)%)

отно

сительно

£'

t.(u{v))x

£'(u(u,(x)- 1 i;))

для

всех

у 6 /£/а, где

имеет

тот

же

смысл, что и в теореме 5.15. Так как т = i d на к, то (A*, 4DX,

Qx) = {A,

4S, 9).

Поэтому

можно

найти такое

линейное

преобразо

вание

пространства

С",

что:

(i)

Т(и{ц,(х)~ха))

и(а);

(ii)

£'

t o Г; (iii) Т коммутирует

с элементами из Ф(К);

(iv) Т

переводит

риманову

форму

(см. (5.5.15)

в N{i\{y))

-Е.

этой

ситуации

Ф(а)

при

некотором

элементе

пз К*,

так что

a•ц.(а:)"~1а

а.

сплу

(iv)

а а р

iV(il(i/))

= N(il(x)).

Из

(ii) следует,

что

Uu(v))x

t'{u(p{x)-*v))

и^-^хУМ)

(v 6 К/а).

Для каждого целого положительного числа п положим

(7.8.4)

{w £ КЛ\

wa = a,

mv =

v для

всех

v £ 7z_ 1 a/a}.

Пусть

— проекция

группы

на неархимедову

часть

группы

КЛ

И Z — неархимедова

часть

элемента

a-u.(a:)_ 1 .

Тогда- z£W[

%{u(v))x

|(u(zz;))

для

всех

v £

i f / a .

Очевидно, элемент

группы

И7,' определяется последним равенством однозначно. Кроме того, легко видеть, что отображение т >-> z задает гомоморфизм группы G&\{k'lk) в группу И7 !- Он инъективен, так как к' порождается коор динатами элемента |(ц(у)), и, следовательно, т полностью опреде ляется элементом £(Ц(У))т . ПО ЭТОЙ причине группа Gal(/c'//v) абелева, и: утверждение (1) доказано. Далее, элемент а, введенный выше, обладает свойством, сформулированным в утверждении (2), а един ственность такого а очевидна.

Смотрите также файлы

Аэропорт Урай.docx

Государственная система контроля качества, эффективности и безопасности лс.doc

Информация о мероприятиях, проведенных в 20212022 учебном году, по ранней профессионализации школьников с целью получения высшего образования в рамках предметного профиля Русский язык и литература.docx

Циклограмма на неделю(1115 апреля 2022 года).docx

Мбоу пильнинская сш 2 им. А. С. Пушкина учитель начальных классов.doc

Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно