Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл (14,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 132

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 7.8. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ АБЕЛЕВА МНОГООБРАЗИЯ СМ-ТППА

261

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.41. Для

X = 1,

. . ., п

определим

С*-значную

функцию

л|5>_ на кЛ

равенством

л\>к(х) =

(а/ц(х))х

(х

екЛ),

где

а — элемент

из

утверждения

(2)

предложения

7.40,

однозначно

определяемый

по

х;

символ

( )х

обозначает

компоненту

некоторого

иделя в %-архимедовом простом дивизоре

поля К

(при

произвольном

упорядочении).

Тогда

яр^ — непрерывный

гомоморфизм

из кА

С*,

тривиальный

на

/с"

(т. е. ярд, —

большой

характер

поля

к).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Очевидно,

— гомоморфизм.

Если

х £ к",

то

[х,

к]

i d в утверждении

(2)

предложения

7.40,

так

что

можно

положить

—

\.i(x);

следовательно, ty%{x) =

1. Если х

К,,

то

вновь

[х,

к]

i d

и а = 1,

так

что

яр^(ж) =

(и.(аг)-1)д,.

Возьмем

теперь

произвольное

целое

положительное

число

п >

пусть

к"и

— поле,

порожденное

над

к координатами

элементов

^(u(v))

для

всех

v 6

ге-1а/а.

Так как к'™ а

каЬ,

то поле/с""

соответствует

всилу теории полей классов некоторой открытой подгруппе Y

группы кА, содержащей к*]^. Пусть х — такой элемент из Y, что

\.i(x) £ Wn

и х а, =

1. Пусть а —

[х, к] и а — элемент из утверждения

(2)

предложеппя

7.40.

Тогда

а =

аа,

ааР

= 1,

если v £ п~га/а,

то

|(ф))

= 1Ш)а

= Ша-ф)-^))

Uu(av)),

так

что

(а — 1)асг па.

Заметим,

что

а — единица

поля

К, и,

согласно утверждению

(2) предложения 5.11, | ах

| =

1 для

каждого

изоморфизма т поля К в

С. Поэтому элемент а должен

быть корнем

из

единицы. Так

как

гс>2,

то

а =

1, так

что ярд, (я) =

1. Это дока

зывает непрерывность

гомоморфизма ярд, (а

также то, что ядро ото

бражения

х\-* а открыто). Доказательство

закончено.

Можно

сопоставить

каждым

гомоморфизмом

ярд, некоторую

//-функцию поля к следующим образом. (По поводу детального

обсуждения таких	L-функций см. Касселс и Фрёлих		[1] и А. Вейль
[10].) Для каждого	простого идеала р	поля к пусть	& р обозначает
р-пополнеиие к и	о р — максимальное	компактное подкольцо в /ср .

Рассмотрим /ср как подгруппу группы к, делая естественные ото ждествления. Говорят, что гомоморфизм яр^ неразветвлен в точке р, если ярх(Ьр) = 1. Это так для всех, кроме конечного числа, идеалов р. Далее, определим L-фуикцию L(s, яря) равенством

L(s, % ) =	Ш	- ^	( С Р ) Л Ч Р Г Т \
	р
где произведение берется	по	всем	простым идеалам р, в которых
гомоморфизм ярд, иеразветвлен,		и где с р — простой элемент поля /ср .

Заметим, что ярд(ср) не зависит от выбора с . Гекке первый доказал

262	ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
следующий факт,	ставший классическим: функция L { s , ярх) голо

морфно продолжается на всю s-плоскость и удовлетворяет некоторому функциональному уравнению.

ТЕОРЕМА 7.42. В прежних обозначениях гомоморфизм ipj, неразветвлен в р тогда и только тогда, когда многообразие А имеет хорошую редукцию по модулю р. Далее, дзета-функция многообразия А над полем к совпадает с произведением

Ц L ( s , % ) L ( s ,

*.=i


	Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть р и с р те же, что выше, и а =
=	[с к]. Предположим,		что А	имеет хорошую редукцию по модулю
р.	Определим фр , R'n		ft(Z)	для	каждого рационального			простого
числа I, как в § 7.6 (с Q и				I вместо введенных там F и 1). Пред
положим,		что идеал р	взаимно прост с числом I.			В силу	предложе
ния 7.23 идеал р неразветвлеи в					Так как	cz ка1>,		то авто
морфизм		а индуцирует элемент			Фробениуса	группы	Gal(Sl(Z)/A-)

относительно р. Поэтому Жг (о) = iij(cpp ) согласно (7.6.7). Если элемент а определен для с р в соответствии с утверждением (2) пред

ложения	7.40,	то \|(u(y))a		=	1(ц(а - р^р) - 1 ^)		для всех		v £ К/а.
Так как Z-компонента			элемента с р			равна 1, то	£(ы(у))ст =	0(a)•Км(у))
для всех	у £ l~na/a,		п =	1,	2,	. . . . Следовательно,		фр	= 0(a).
Если теперь X — переменная,					то
	del [1 -	R\ (Ф	) X]	=	f ]	(1 - (а),Х) (1 - (a),X)		=
			у	?.=i
			= l l				(l-xh(ov)X)(l-b.(cp)X),
				>.=i

и доказательство будет завершено, если мы докажем первое утвер ждение. Для этого воспользуемся следующим результатом Серра и Тейта [1]:

(7.8.5) идеал р неразветвлен в поле §(1) тогда и только тогда, когда многообразие А имеет хорошую редукцию по модулю р.

Пусть

у £ о"

a — элемент

группы

К',

определенный для

у,

как в

предложении 7.40.

Пусть

# ( =

со

U 1~та- Предположим, что

многообразие А имеет хорошую редукцию

по модулю р. В силу

(7.8.5)

[у, k]

i d на

поле

ft(Z),

так

что

l(u{v))

= £ (u(y)) [ u '" ]

\{и(а• р,(г/) _ 1 у)) для

всех v £ Hja.

Но

тогда Z-компонеита элемента

a ,

^ ( l / ) - 1 равна

1 и а

1; следовательно, л\>к\у)

1. Обратно,

если

гомоморфизм

ip? i

неразветвлен

в р, то

ty\{y)

= 1

a = [i(y)\ —

	§ 7.8. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ АБЕЛЕВА МНОГООБРАЗИЯ СМ-ТППА					263
Поэтому	l{u(v)Y'J,h]	= l(u(v))	Д л я в с е х v^Hja,	т. е. [у,	к]	= id
на ft(Z)	для всех	у — о*.	Согласно (7.8.5), многообразие		А	имеет

хорошую редукцию по модулю р. Доказательство закопчено.

По поводу дальнейшего обсуждения кондуктора гомоморфизма •\рх мы отсылаем читателя к работам Дойриига [3] (одномерный слу чай) и Серра и Тейта [1] (общий случай).

ТЕОРЕМА 7.43. В прежних обозначениях						пусть F —		максимальное
вещественное	подполе	поля	К и	oF	— максимальный		порядок поля			F.
Предполоо/сим, что Q(oF) cz			End(/1) и естественное				вложение		К-+-	С
совпадает с	отображением		a		из предложения			7.41.	Тогда
	Us;	Alk,	F)	=	L(s, yi)L(s,	%).

Определение £(s; Alk, F) см. в § 7.6. Предположение о множестве Q{oF) несущественно, так как всегда можно найти модель, удовле творяющую этому условию, изменяя А при помощи некоторой изогешги над к.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В обозначениях предыдущего доказа тельства выберем простой идеал ( поля F, делящий число I, и опре делим Щ, как в § 7.6. Так как срр = 6(a), то в силу предложения 7.21

(7.8.6)	del [ 1 -	R{(фр)	X ] =	(1 -	aX) (1 - а Х )	=
			=	[1-а\|>, (ср ) Х ] [ 1 - М с р ) Х ] .
Теорема	доказаиа.
Пусть к' — подполе в к, содержащее К*.						Если тройка (-4,	%, 0)
рациональна над к', то можно					определить характеры гр>. иа		группе
к'А, как	выше	Тогда	легко	проверить, что
(7.8.7)			i k	=

На самом деле мы можем доказать более сильный результат:

ТЕОРЕМА

7.44.

прежних

обозначениях

пусть

М — подполе

поля к,

содержащее

поле К*.

Тогда следующие

условия

эквивалентны:

(1) существует

непрерывный

гомоморфизм

из

группы

Мл

в группу

С*,

тривиальный на Мх

(т. е. большой характер

поля

М),

для

которого

\\>^ =

ф °

(2) все

точки

конечного

порядка

многообразия

рациональны

над

Маъ

'к.

Если

эти

условия

выполнены,

то

для

фиксированного

X число

характеров

ф из

(1)

равно

[Маь

П & : М\.

Заметим, что случай М = К*

наиболее

интересен

(см.

рассуж

дения после

доказательства).

264

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим,

что

характер ср

из

(1)

существует. Пусть

a g Aut(C/71/a b -/c)

элемент

z £ k"t

таков,

что

[z,

к]

на

каЬ;

положим

s - - i V h / M ( z ) .

Так

как

i d на

МаЬ,

то s содержится в замыкании группы

Можно

найти

такую

открытую

подгруппу

7" в конечной части группы Мл,

что ср(Г) =

Тогда окажется,

что

s 6 М*М*<„Т

s =

Brf

при

В £ М х ,

г 6 -Л^^

t £ Т.

Так

как

iVf t /j V (/c^,)

= AiC, то

7- =

NU/M(y)

при некотором

у (: к^.

Положим х

zy1

и определим элемент а для этого а; в соот

ветствии

предложением

7.40.

Тогда

( a V ( z ) k

Ых)

ф(Р0 =

! ,

так

как

ф^Т/Т) =

1. Положим

у.' (а) =

71 (А^м/я* (в))

для

а 6 М х .

Тогда ц(х)

ц'(^*/м(*))

ц'(Р0-

Так

как

ц.'(г)х =

ц.'(Р) 6

К*,

то

|i'(P)

а;

поэтому

a/u.(.r)

= u.'(2)- 1 .

Так

как

a =

[.г,

/г]

на

kab,

то

£(u(y))a

= £(ц(ц.'(£)~М)

для всех г; g К/а. Можно теперь заменить

группу

Т на любую

ее открытую подгруппу

и, в частности,

на

Т.

{г»еТ

\ LI'(W)V

при

любом

фиксированном

v £ К/а.

Очевидно,

элемент

инвариантен

относительно

при любом v £ К/а; значит, условие

(2)

выполнено.

Обратно,

предположим,

что условие

(2)

выполнено,

и положим

S = М" •Nh/M(kA).

Тогда

S — подгруппа

группы

Мj,

соответ

ствующая

полю МаЬ

П к в силу теории

полей

классов.

Пусть a

=••

Is, М]

при любом s £ S. Тогда а =

i d па МаЬ

Г| к, и

автоморфизм

можно

продолжить

единственным образом

до

некоторого

авто

морфизма т из группы Ga\(Mab -к/к). Согласно условию (2), элемент

\|(ц(у))т имеет смысл для каждого v £ К/а.				Поэтому можно повторить
доказательство предложения 7.40			при	p/(s) и	iV(il(s))	вместо \х(х)
и N(il(x)). В результате получим элемент а группы К",						для которого
aaP	=	JV(il(s)),	a'\|A'(s)- 1 a =		а,
£(u(y))T	=	l ( u ( a -u.'(s)-M)		(У 6	Я/а).

Очевидно, для данного s элемент а единствен. Определим фх : S -*• Сх равенством

Фх(в) = (a/(i'(s)k-

Рассуждая так же, как в доказательстве предложения 7.41, можно показать, что отображение q>x тривиально па группе М* и фх («) =

=((x'(s)_ 1 )x для s £ Ml,. Определим теперь поле /с(,г>, как в доказа

тельстве	предложения 7.41. По условию k°l)czMab-k.	Пусть U —
открытая	подгруппа группы М\, соответствующая	пересечению

	§ 7.8. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ АБЕЛЕВА МНОГООБРАЗИЯ СМ-ТИПА						265
/ь< 1 1 )	П Маь-	Тогда Ua	S. Пусть s —	такой	элемент	группы	U, что
=	1 и	(.i'(s) е Wni	где 'Wn имеет	тот же	смысл,	что и в	(7.8.4).

Тогда, так же как в доказательстве предложения (7.41), можно

показать,

что (px(s) — 1) откуда следует непрерывность

отображения

од.

Согласно

определению

сря,

имеем гр^, =

4>j,°Nk/M.

Так

как

= М*

•Nl,/M(k*l), то

гомоморфизм

ср^,: S -*- С

полностью

опреде

ляется

характером \рк. Таким образом,

наша задача свелась к воз

можности

продолжения

гомоморфизма

од на группу

МА.

В силу

равенства

\М*л'- S] =

[Маь

П & '• М\

такую

возможность

устанав

ливает

ЛЕММА

7.45. Пусть

G — коммутативная топологическая

группа,

— открытая

подгруппа

в G конечного

индекса

и ср —

непрерывный

гомоморфизм из Н в С*.

Тогда

существует ровно

[G : Н]

непрерывных

гомоморфизмов

из G в С ,

совпадающих

с ср на П.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Разложим

факторгруппу

GIH в

произ

ведение конечных циклических групп Pit

. . ., Рг порядков ту, . . .

. . ., тг

соответственно

и для каждого

i выберем в G элемент

аь

порождающий

группу

по

модулю

Н.

Пусть ct — произвольный

корень

??ггй степени из

ср(а™');

положим

ср' (ha^ . . . а?)

ср (К) с*»

. . . ср-

(Л б Н, ег

6 Z).

Легко проверить, что ср' — всюду определенный непрерывный гомо морфизм группы G в группу С" и ар' = ср на П. Очевидно также, что число таких продолжений равно [G : Н] и каждое продолжение гомоморфизма ср на G можно получить таким способом.

Покажем теперь, что для произвольно заданного абелева мно гообразия А существует изоморфная ему над Q модель, удовлетво ряющая условиям теоремы 7.44, где в качестве М берется К*. Для данной тройки (А, 0) всегда можно найти такие точки t u . . ., tr конечного порядка на А, что структура

(3 = (А, <$, 9; f„ . . ., tr)

не имеет ни одного автоморфизма,			отличного от тождественного.
Для любых таких точек tt пусть		к'	— поле	модулей структуры ®
(см. стр. 169). Тогда	существует	структура
=	(А', Г ,	0';	t[, . . .,	t'r),

изоморфная ®, и определенная над к'; кроме того, такая структура единственна с точностью до изоморфизма, определенного над к (см. Шимура [7, I I , 1.5]). Согласно следствию 5.16, к' cz К1ь- Далее,

(7.8.8) все	точки конечного порядка многообразия А' рациональны
над	Каь-

Смотрите также файлы

Аэропорт Урай.docx

Государственная система контроля качества, эффективности и безопасности лс.doc

Информация о мероприятиях, проведенных в 20212022 учебном году, по ранней профессионализации школьников с целью получения высшего образования в рамках предметного профиля Русский язык и литература.docx

Циклограмма на неделю(1115 апреля 2022 года).docx

Мбоу пильнинская сш 2 им. А. С. Пушкина учитель начальных классов.doc

Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно