Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл (14,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 128

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

266

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Чтобы

этом убедиться,

выберем

такой

изоморфизм

С'7н(а)—>-

А',

что тройка (А',

0')

имеет тип

(А, Ф; а, £) относительно

Пусть

а 6 Ant(C/A'ab)-

Применим

теорему 5.15

структуре

(£'

при

= 1. Тогда

найдется

такой

изоморфизм

£" из

Сп /ц(а)

А',

что

тройка

(А',

%',

В')

имеет

тип

(А",

Ф;

относительно

и t'(u(v))a

ё"(и(у))

для

всех

У (; А/а.

Мы

получаем

такой

авто

морфизм

многообразия

А',,

что

£" = у о ^ ' .

Легко

видеть,

что

7 — автоморфизм

структуры

так

что

Следовательно,

|' =

|", н

элемент

£ (u(v))

инвариантен

относительно

при

любом

у 6 А".-а. Утверждение

(7.8.8)

доказано.

Таким

образом,

многообразие А'

и поле

удовлетворяют

усло

вию

(2) теоремы 7.44,

где М заменяется иа А"*. (Нам даже

известно,

что

A;' cz

К*ъ-)

Иногда

можно

взять

к'

качестве

поля

модулей

структуры

(А,

Х-, 8).

Например,

будем

считать

выполненными

следующие

условия:

(7.8 9)

(i)

ЕпсЦЛ) f]

О ("к),

г&е

»к — максимальный

поря

док поля A ; (ii)

кольцо $к не содержит корней из единицы,

отличных

от

+ 1 ;

(iii)

кольцо

ок

имеет

такой

простой

идеал

I), что N(b)) =

Возьмем

элемент

поля

А ,

порождающий

группу

t)- 1 a/a,

п положим t

t(u(b)).

Пусть 7

— автоморфизм структуры

(А, ¥,

t).

Тогда

0(e),

где

е — кореиь

из

единицы,

содержащийся

в о к ,

t =

yt,

так

что

гЬ =

b mod а.

Так

как

е =

1 и

b имеет

порядок

3, то е = 1. Следовательно,

(А,Хс

не

имеет

авто

морфизмов, отлпчных от тождественного. С другой стороны,

(7.8.10)

{А,

t) п (А, Чё, 0) имеют

одно и то же поле

модулей.

Чтобы в этом убедиться, рассмотрим произвольный элемент ст группы Aut(C), являющийся тождественным отображением иа поле модулей структуры (А, 0). Тогда существует некоторый изоморфизм б структуры (^4, %, 0) в (Аа, Ъ°, 0°). Точка t, очевидно, удовлетво ряет условию

Ц = {а 6 ол -| 8(a)* = 0},

причем этому		условию	удовлетворяют лишь					точки	±t,	поэтому
g-ijja _	Следовательно,			либо	б,	либо	—б задает		изоморфизм
структуры	(A,	r<f, 0; t)	в (Аа,	%а,	0 a ;	f),	и	утверждение		(7.8.10)
доказано.

Итак, с помощью изложенного выше принципа мы получаем

структуру	(А', <&', 0'; t'), изоморфную (А,		9g, 0; t), определенную
над полем	модулей	структуры (А, %, 0) и удовлетворяющую усло
вию (2) теоремы 7.44		при М, замененном на	А* .

В частности, если А — эллиптическая кривая и / — ее инвариант, то поле модулей структуры (А, %, 0) — это поле А(/) . Тогда число

§ 7.8. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ			АБЕЛЕВА МНОГООБРАЗИЯ СМ-ТИПА	267
характеров	группы КА	типа	описанных в условии (1) теоремы 7.44
равно lK{j)	: К], т. е.	числу	классов поля К. Для К = QQ^—d),

где число d свободно от квадратов, условие (iii) из (7.8.9) выполняется тогда и только тогда, когда d ф 1 mod(3).

Приведем теперь пример ситуации, в которой не выполняется условие (2) теоремы 7.44. Выше было показано, что существует

эллиптическая кривая Е, определенная пад полем		K(jE),	точки
конечного порядка которой рациональны над КаЬ.		Пусть	Е' —
эллиптическая кривая, определенная над K(jЕ)	и изоморфная		кри
вой Е над полем Q. Предположим, что Е'	также	удовлетворяет

условию (2) теоремы 7.44 с К в качестве М, т. е. все точки конечного


порядка иа Е'		рациональны над Каъ-	Тогда легко видеть, что любой
изоморфизм X кривой Е в кривую Е'			рационален над КаЪ.			Однако
это не всегда		так, потому что наименьшее поле определения для
X, содержащее		K(jЕ), не обязательно	содержится в КаЬ. (Например,
возьмем любой элемепт р, для которого р 2 £ K(jЕ)					и р (\| КаЬ,	и опре
делим изоморфизм X в соответствии с предложением 4.1.) Таким
образом,	кривая Е' при таком выборе			X не может удовлетворять
условию	(2) теоремы 7.44 с К в качестве			М.
Для произвольной эллиптической кривой Е с комплексным умно
жением	Донрпнг [3,IV] определил дзета-функцию кривой Е над по
лем, не содержащим рассматривавшегося				только	что мнимого квад

ратичного поля. Этот результат мы обобщим следующим образом:


ТЕОРЕМА 7.46. В		обозначениях		теоремы		7.43		пусть к0		— поле
алгебраических	чисел	конечной степени,			над которым пара (А, %)
рациональна.	Предположим,		что многообразие				А	простое,		0(oF ) с=
сг End(/1), каждый элемент из 0 (oF)				рационален			над к0		и к0	\|~\| К* —
максимальное	вещественное		подполе	в К*.	Определим				характеры \рх
группы (к0К*)2, как выше,			заменяя к		на	к^К*.		Тогда		функция

t,(s; A/k0, F) совпадает с точностью до конечного числа эйлеровых

множителей с функцией L(s, xpi). Точнее,				для	почти	всех	простых
дивизоров (\| поля	kQ	эйлеров	([-множитель	функции		£(s; A/k0,		F)
равен произведению		эйлеровых	^-множителей		функции		L (s,	ijjj),
где р — простой	множитель дивизора q в поле				к0К*.

Заметим, что каждый элемент кольца End(yl) рационален над полем к0К*\ см. Шимура и Тапияма [ 1 , § 8.5, предложение 30]. Типичный пример возникает в случае, когда А — эллиптическая кривая и k0 = Q[j) (см. (ii) из теоремы 5.7). В этом случае К* = К и к0К* = K(j). «Плохие эйлеровы множители» будут рассмотрены после доказательства.

Д о к а з а т е л ь с т в о .		Положим к =	к0К*.	Тогда [к : к0] =
= 2. Пусть	р — комплексное сопряжение		и т — элемент		группы
Ga\{kab/k0),	нетривиальный	па к. Так как В(К) =		E n d Q ( ^ ) ,	можно
определить	автоморфизм е	поля К, положив 0(а)т = 0(ае ).			Имеем

268				ГЛ.	7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
т =	р на К*,		так	что
		tr Ф(ае )		= tr Ф(а)г	=	t r Ф(а)Р		= t r Ф(аР) (Я 6 А")-
Поскольку			многообразие		А	простое,		отсюда	следует, что е = р
на	К	(Шпмура и Ташшма				[ 1 , §	8.2,	предложение 26]). Поэтому
0(а)т	=	0(аР). Положим £ 0			=	\|°ц.	Тогда т - 1		индуцирует автомор

физм модуля £0 (&7а), полилинейный относительно действия опера

тора 9(a). Поэтому отображение w

£ - 1 ( £ o ( u ; p ) T - 1 ) является

изомор

физмом из А/а р в А/а, линейным относительно

действия

элементов

порядка модуля а. (Заметим, что модули а и

О.Р

имеют

одинако

вые порядки, поскольку по условию 0(oF ) с

End(/i).) Мы полу

чаем,

таким

образом, элемент

группы

КЛ, для

которого

ZO.P = а

£,o(zw)x

£,o(wP)

при

всех

£ К/аР,

т. е.

ёо(у )

= bo(zvp)x

для

всех

v 6 К!а.

Для

каждого

элемент zT

опреде.теп

группе

кЛ

х[хх,

к] = [х,

к]х.

Заметим,

что \.i(xx) =

[i{x)p, и

определим

элемент а,

следуя

предложению

7.40.

Тогда

ёо (»)[хХ-4

to ( ^ ) T t j e t ' 4

Ео (zv»)1*' h ] x =

lo (a• ti (x)'1

zyP)T

= |o (op • Ц (ж1 )- 1 *')

(i> 6 A/a) .

Далее, ccPa = iV(il(a;'c )) и аР-р.(жт )_ 1 а = а. группы К", соответствующий элемепту хх.

Поэтому a p — элемент Следовательно,

(7.8.11)

Ь.(хх) =

^(х)р.

Пусть р, с р , / 1 , срр п Щ те же, что в доказательстве теорем 7.42

и 7.43, причем в предположении, что многообразие А обладает хорошей редукцией по модулю р п, следовательно, гомоморфизм ip>. неразветвлен в р. Пусть q — ограничение дивизора р на /с0

и срч —эндоморфизм Фробениуса	редукции А степени	N((\). Пред-
положим, что р ф р г ; мы можем	взять ср в качестве	ср т . Так как

в этом случае срр = cpq, то в силу (7.8.6) и (7.8.11)

(*)

det [1-Ri

(<pq) X] =

[1 -

% (ср ) X]

[1 -

(Ср) X] =

[ 1

% ( С р ) Х ] [ 1 - ч Р 1

(сТр)Х]..

Теперь допустим,

что

р =

р т

N(\>) = iV(q)2 ,

положим

гр(Ср). Тогда а

= гр(с^) =

гр(ср

аР, так

что

£ F. Имеем

ср2

срр, так что в силу

(7.8.6)

det

[l-R{№q)X]

(l-aX?.

Пусть а = ^р-) • Тогда 0(a)a — 0(aP), так что ср^ не коммутирует

с 0(a) для	a £ A , a $ F. Следовательно,					матрица	-f?K(Pq) и е является
скалярной,	и потому
(**)	det [1 - Д [ ( Ф	ч	) X] = 1 -	a X	2	= 1 - гр (с		) X	я	.
		ч			2	4	р		я

	§ 7.9. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ		269
Перемножая	соотношения	() и (*) при X = N(q) s для	всех
•«хороших»	q, мы получаем	утверждение теоремы.

Остается обсудить «плохие эйлеровы множители», для которых последнее утверждение теоремы неверно. В силу теоремы 7.42 доста точно рассмотреть такие простые дивизоры q поля к0, для которых гомоморфизм гр! иеразветвлеи в простых множителях дивизоров q в поле к. Из изложенного выше следует, что плохие множители могут встретиться в случае простых дивизоров поля к0, разветвлен ных в к. Другие же простые дивизоры являются «хорошими». Дей ствительно, справедливо

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.47. В обозначениях и предположениях теоремы 7.46 пусть q — простой идеал поля к0. Многообразие А имеет хорошую редукцию по модулю q тогда и только тогда, когда q неразветвлен в к и А имеет хорошую редукцию по модулю простых сомножителей дивизора q в поле к. Последнее утверждение теоремы 7.46 верно для такого простого идеала q.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть йо(0 (соответственно Sf(Z)) — поле, порожденное над к0 (соответственно над к) координатами точек порядка 1т иа многообразии А для всех целых положительных чисел т. Легко видеть, что каждый элемент кольца Епс1(Л) определен над

&о{1).	В	силу предложения 30 книги Шимуры и Таниямы [ 1 , § 8.5]
К* с:	\Х0(1)		н,	следовательно,	5f?0(Z) =	St(l).	Наше предложение
вытекает		непосредственно из этого факта и					из результата Серра
и Тейта		[1]	(см. (7.8.5)).
				§ 7.9. Дополнительные		замечания
			А.	Изменение модели	и поля	определения

В § 7.5 мы определили дзета-функцию специальной модели Vs пространства Г'\£3* над полем Q. На самом же деле существуют кривые V, определенные над полем алгебраических чисел к конечной степени, бирационально эквивалентные Vs над Q, но не обязательно над к. Поэтому естественно поставить вопрос об определении дзетафункции любой такой кривой V над к. Тот же вопрос можно отнести к абелевым многообразиям ^4S или их множителям А, А', рассмот ренным в § 7.5 п 7.6. Полное решение этой задачи представляется нам довольно сложным. Здесь мы обсудим несколько частных слу чаев.

(I) Пусть S, Vs	и As	те	же, что в § 7.3—7.5, и к — конечное
абелево расширение	поля	Q	с кондуктором (г); пусть т = [к : OJ.