Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 127

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

270 ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

где р — любое рациональное простое число, не делящее г и распа­

дающееся на m/f простых идеалов в поле к,

а и — переменная. Если

р — такой

простой

идеал в к,

то срр

(соответственно

лр)

— эндо­

морфизм

Фробениуса

степепн

/V(p)

(соответственно

р)

 

редукции

J 4 s . Пусть

Щ обозначает

Z-адическое представление

кольца

E n d ( y l s ) .

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П de t[ 1 -

vlR'i

( Ф р ) ] =

П de t [ 1 -

и • Xi (р)

R',

(пр)].

 

Щр

 

 

 

 

1 = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому,

если

положить

/ (z) =

Tj апе2лШ^

£Sh

(Г"),

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(s,

 

/, х)=

S в„-х (»)»"*»

 

 

 

 

 

как и в

§ 3.6;

если

же

 

 

п=1

 

набор

из (7.5.4'),

то дзета-

{ / i b . . ., /ги }

—

функция

кривой Vs

(или многообразия

A s)

над полем

к

совпадает

с точностью до конечного числа эйлеровых множителей с произве­ дением

т

у.

 

[ [

П L(s,

fev, Xi),

1 =

1 v = l

 

голоморфным на всей s-плоскостп

и удовлетворяющим некоторому

функциональному уравнению, о чем свидетельствуют замечание 3.58,

предложение 3.64 и теорема

3.66.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( I I ) Далее,

рассмотрим

пропзвольное

квадратичное

расширение

к поля Q с кондуктором (г). В силу результата А. Вейля [5] можно

построить такое абелево многообразие Вs,

определенное

над

полем

Q,

и такой изоморфизм X из As

на

Bs,

определенный

над

к,

что

Ха = —X для образующей а группы Gal(/t7Q). Пара (Бs,

X)

един­

ственна с точностью до изоморфизма над Q. Если грр

— эндоморфизм

Фробениуса степени р редукции Bs,

то

для почти всех р имеем.

гррЛ. = х(р) Хлр,

где %— характер

группы

(Z/rZ)*,

соответствующий

полю к. Поэтому дзета-функция многообразия

Bs

над

полем

Q

совпадает с точностью до конечного

числа эйлеровых

множителей

с

произведением

•л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П L(s, Av. X), v=l

голоморфным на всей s-плоскости и удовлетворяющим некоторому функциональному уравнению. Разумеется, можно провести анало­ гичные рассмотрения и для множителя А многообразия A s , вве­ денного в теореме 7.14.

§ 7.9. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

271

Б. Рациональные точки эллиптической

кривой

Группа рациональных точек эллиптической кривой, определен­ ной над полем алгебраических чисел, пад функциональным полем или над локальным полем, по сей день является предметом широких исследований. Великолепный обзор этой темы содержит статья Касселса [1], где читатель может найти ссылки на литературу, вышедшую до 1966 года. Мы ограничимся лишь формулировкой гипотезы Бёрча и Свиинертона-Дайера.

ГИПОТЕЗА БЁРЧА и СВПННЕРТОНА-ДАЙЕРА

[1]. Если дзета-функция

£,(s; E/Q) эллиптической

кривой

Е, определенной

над Q, имеет нуль

порядка

h ^

О при s = 1, то группа рациональных

точек кривой Е

над полем Q имеет ранг

h.

 

 

 

 

Эта гипотеза

проверена для многих кривых и, в частности, для

кривых

вида у2

= х3 — Dx.

 

 

 

 

Если

Е — кривая Vs

рода

1, изоморфная

факторпространству

T 0 ( N ) \ ! Q * ,

где число N принадлежит множеству

значений (7.5.G),

то функция

£(s; E/Q) задается

(возможно,

с точностью до «плохих»

множителей)

равенством

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

со

 

 

 

 

 

 

2 апп~° = Г (s)-1 (2я)8 j / (iy)

dy

 

 

 

 

n = i

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

C O

 

 

 

при некотором

элементе

/(z) =

2 a n e 2 3 I f n z

пространства 52 (Г0 (ЛГ )).

 

 

 

 

 

71=1

 

 

 

Последний интеграл сходится для всех s

(см. доказательство тео­

ремы 3.66). Так как кривая Vs

имеет род 1, то div(/(z)dz) = 0, так

что дивизор div(/) может быть получен из формулы предложения 2.16. Проверяя эллиптические точки группы r 0 ( i V ) , легко убеждаемся в том, что функция / не имеет нулей па мнимой осп, отличных от оо.

оо

Так как функция f(iy) = 2

я п е ~ 2 я п " принимает

вещественные зна-

71=1

 

 

чения, то £(s; E/Q) не обращается в нуль при s =

1. Бёрч установил,

что этот факт согласуется с приведенной

выше

гипотезой.

В. Эйлеровы множители

для простых

дивизоров; в которых

многообразие,

имеет плохую

редукцию

Для определения дзета-функции кривой или абелева многообра­ зия мы рассматривали лишь такие простые дивизоры, в которых многообразие имеет хорошую редукцию. Поэтому естественно задать­ ся вопросом об отыскании эйлеровых множителей п для «плохих»- простых дивизоров. Нерон [1] показал, что произвольное абелево многообразие над локальным (или глобальным) полем имеет модель, с «наилучшим поведением» в процессе редукции по модулю рас­ сматриваемого простого дивизора. С помощью этого результата.

272 ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

можно определить кондуктор абелева многообразия над числовым полем и его эйлеровы множители для плохих простых дивизоров (по крайней мере для эллиптических кривых). По поводу деталей мы отсылаем читателя к Оггу Серру и Тейту [1] и А. Вейлю [9]. С помощью этих множителей п понятия числа Тамагавы можно сфор­ мулировать гипотезу Бсрча п Свиииертона-Дайера в более точной форме (см. Бёрч и Свиннертон-Дайер [1] и статью СвиннертонаДайера в книге Касселса и Фрёлиха [1]).

Г Л А В А 8

ГРУППА КОГОМОЛОГИЙ, АССОЦИИРОВАННАЯ С ПАРОБОЛИЧЕСКИМИ ФОРМАМИ

§ 8.1. Группы когомологпй фуксовых групп

Мы построим сейчас некоторую группу когомологий, изоморф­ ную пространству Sh(T); впервые ее нашел Эйхлер. Здесь к — произ­

вольное (нечетное или четное) целое

число,

большее или равное 2.

Мы начнем с обычного определения

группы

когомологий #'((?, X)

при произвольной группе G и произвольном левом G-модуле X. Зафиксируем ассоциативное кольцо R с единицей и обозначим через R[G] групповое кольцо группы G над R. В дальнейшем кольцо R будет или кольцом Z, или полем. Мы будем считать, что X является /?[С]-модулем, и будем обозначать через Cl(G, X) для любого целого

£,

большего

или равного 0,

.ff-модуль

всех

 

отображений

группы

Gl

= G X . . . X G (произведение i экземпляров) в X;

подразуме­

вается, что C°(G, X) =

X. Для и б Cl(G, X)

определим

следующим

образом элемент ди модуля Cl+1(G,

X):

 

 

 

 

 

 

ди (а) = (а — 1) и,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

i = 0;

 

ди ( а 4 , а 2 , . .. , а г + 1 ) = at

• и ( а 2 , . .. , ai+i)

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

2 ( — l ) ' " ( a

i »

• • •»aJ-u

ajaj+u

. . . , а,-+ 1 ) +

 

 

 

 

 

 

3=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

(— 1 ) г + 1 и ( а ь

. . . , а г - ) ,

 

если £ > 0 .

Легко проверить, что 55 = 0. Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

Z1

(G, X) = {и е С* (G, Х)\ди = 0},

 

 

 

 

 

 

 

Б1

(<?, X )

 

[ 0,

 

 

 

 

если i = 0,

 

 

 

 

 

= 1 diC^iG,

X)),

если £ > 0 ,

 

 

 

 

 

Hl(G,X)

=

Z* (G, X)/Bl (G, X),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xй

= {х£Х\ах

= х для всех

а £ ( ? } .

 

 

 

Группу R~l(G,

X)

мы называем

i-й группой

когомологий

группы G

с

коэффициентами

в модуле

X.

Очевидно, что H°(G, X) и Z°(G, X)

могут быть

отождествлены

с

Xs.

Заметим,

 

что группа

Z\G, X)

состоит из всех таких

 

отображений и группы G в модуль X, что

(8.1.1)

 

u(aB) = u(a)•+

ait(8)

(а, В £ G),

 

 

 

18-01118

274

ГЛ. 8. ГРУППА К0Г0М0Л0ГИМ

а группа

B \ G , X) состоит из всех

таких отображений и группы G

в X, что

 

 

 

 

(8.1.2)

v(a) =

(а -

1)яг„

(а € G)

при некотором элементе х0

модуля X, не зависящем от а. Из формулы

(8.1.1) получается, что и(\) =

0 и

 

(8.1.3)

u(a - x )

= — a - 4t(a)

(а 6 G ) .

Зафиксируем теперь произвольное подмножество Q группы G, которое может быть и пустым, и через CQ(G, X) обозначим Л-под- модуль в C \ G , X), состоящий из элементов и, обладающих следую­ щим свойством:

(8.1.4)

 

и(л) £ (л — 1)Х

для каждого я 6 (?•

 

 

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zb(G,X)=&(G,X)

П

Ci,(G,X),

 

 

 

 

B l ( G ,

 

X)=d(Cb(G,X)),

 

 

 

 

Hl(G,

 

X)=IP(G,X),

 

 

 

 

HLQ(G,X)=ZLQ(G,X)/B'

 

( G , X),

 

 

 

 

Hb(G,X)

= Z2(G,X)/Bl(G,

X).

 

 

Заметим,

что

B \ G , X) cz 7?q (<?, X).

когда G — фуксова

группа

Будем

теперь рассматривать

случаи,

первого рода. Мы подразумеваем здесь, что G — подгруппа

группы

S L 2 ( R ) / { ± 1 } ,

но не группы SL 2 (R) . Обозначим через

Р множество

всех параболических элементов

группы

G и построим «изогению»

группы HQ ( G , X), где Q — некоторое подмножество

из Р , в неко­

торую группу когомологий, определенную относительно симпли-

цпального

комплекса

на Jp. Если

пространство G\SQ

компактно

и группа

G не имеет

эллиптических

элементов, то такая

изогения

на самом деле является изоморфизмом, и притом частным случаем хорошо известного изоморфизма Хопфа, Эйленберга, Маклейна и Эккмана. Таким образом, наша цель состоит в том, чтобы модифи­ цировать стандартные соображения и избежать трудности, возни­ кающие в связи с параболическими и эллиптическими элементами группы G .

Пусть {е*, . . ., 8Г } — множество представителей эллиптических элементов группы G , т. е. такое минимальное мноя^ество, что каждый эллиптический элемент группы G сопряжен в G с некоторой степенью какого-нибудь 8;. Пусть ej — порядок элемента е7- и Е — наимень­ шее общее кратное чисел el t . . ., ег . Положим Е — 1, если мно­ жество {SJ} пусто. Пусть <§* — объединение полуплоскости <Q и параболических точек группы G . Пусть с4 , . . ., ст — точки факторпространства G\^g*, соответствующие параболическим точкам группы G . Возьмем малый открытый круг D H HaG\§*, содержащий

§ 8.1. ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ ФУКСОВЫХ

ГРУПП

275

ch и такой, что замыкания всех таких кругов Du

. . ., Dm

попарно

не пересекаются. Например, если оо — параболическая точка груп­

пы G , соответствующая точке ch,

круг Dk

можно выбрать как

образ

множества {z £ jg* | Im(z) > у}

для подходящим образом взятого у,

как это делалось в

§ 1.3. Пусть

^ 0 — прообраз множества G\!Q* —

т

 

отображения

— > - G \ $ Q * . Мы

строим

— ( U Dk) относительно

симплициальный комплекс

К на пространстве £ 0 так, чтобы выпол­

нялись следующие

условия:

 

 

 

(8.1.5) каждый элемент группы G индуцирует симплициалъное ото­ бражение комплекса К на себя;

(8.1.6) неподвижная точка преобразования е;- на полуплоскости § является О-симплексом комплекса К; мы будем обозначать ее через dy,

(8.1.7) существует 1-цепъ th комплекса К,

 

отображающаяся

на

 

 

границу

круга

Dh;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.1.8)

существует

фундаментальная

область

факторпространства

 

G\$Q0,

 

замыкание

которой

состоит

из конечного числа

сим­

 

 

плексов

комплекса

 

К.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Такой комплекс К можно построить, взяв, например, фундамен­

тальную область

для

$$*IG,

как

в

доказательстве

теоремы

2.20,

и

сдвинув

части,

соответствующие

кругам

Dh.

 

 

 

 

 

Пусть (Ai,

д,

а) — цепной комплекс с коэффициентами в кольце

R

, полученный из К,

с обычным граничным оператором д и (единич­

ным) пополнением

а,

определенным

равенством

 

 

=

S SJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

i

для Sj 6 R и 0-симплексов

p j . Так как пространство

, § 0

гомеоморфно

евклидовой

плоскости, мы

получаем точную

последовательность

(8.1.9)

 

 

 

 

0 - > 4 2 ^ 4 , - t

i 0 A n ^ O .

 

 

 

 

В

силу

условия

(8.1.5)

группа

At

превращается

в

Д[(7]-модуль,

и оператор д коммутирует с действием кольца

R

[ G

] .

В силу

утвер­

ждения

(8.1.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.1.10)

 

 

dtk

= nk(qh)

 

— qk

 

(к = 1,

. . .,

т)

 

 

при некотором 0-симплексе qh и некотором элементе nh из Р. Таким образом, каждый параболический элемент группы G оказывается сопряженным с некоторой степенью одного из nh. Положим Q =

Пусть

А1(Х)

— модуль

R[G]-линейных

отображений группы

At

в X я оператор д: А1(Х)

—>• А1+ЦХ)

определяется равенством ди =

ид

для и dA'(X).

Пусть

Aq(X)

— подмодуль, состоящий из всех таких

элементов

и группы

Аг(Х),

что

u(th)

£ (nh — 1)Х для любого

к.

18*

Смотрите также файлы