Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

276

ГЛ.

8.

ГРУППА КОГОМОЛОГИЙ

Положим

Z\K,

X)

=

{и е А\Х) | ди = 0},

В\К,

X)

=

М * " 1 ^ ) ,

Щ(к,

X )

=

дАЬ(Х),

х) = z°(ff, х),

Н})(К,

X)

=

Z ^ Z ,

Х)1В\К,

X),

Н Ь ( К ,

X)

= Z \ K , Х)/ВЦК,

X).

Заметим, что в силу (8.1.10) В\К,

X)czZ1Q(K,

X).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8 . 1 . Для

i-—0,

1,

2 существует

R-гомоморфизм

g{ из НЪ(К,Х)

в Hi,(G,X)

и

R-гомоморфизм

f из

HlQ{G,X)

* ' ° ' '

=

^ г р у п п ы

HlQ(G,X)

)

'

(тождественное

отображение \

f

°gl=lE'{группы

HQ (К,

X)

J

'

В

частности,

если

R

— поле,

характеристика

которого

равна 0

или взаимно

проста

с

Е, то

группа

HQ (G,

X)

изоморфна

группе

H'Q

(К,

X).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

сначала

хорошо известный

цепной

комплекс

( М г ,

д,

а),

состоящий

из

следующих

частей:

(8.1.11)

Mi

для

любого

целого

i ^

0

представляет

собой

свободный

R-модулъ,

порожденный

всеми упорядоченными

множествами

[а 0 ,

с*!, .

. ., at]

из

i +

1

элементов группы

G;

(8.1.12)

оператор

д: Mt-^-

задается равенством

i

д[а0,

. ..,

а,-]=

S

(— l ) v

[ a 0 ,

.. .,

a v - i . a v + 1 ,

. • ., ccj];

v = 0

(8.1.13)

a ( S b v [ a v ] )

=

S b v

для

^\bv[av]eM0,

b4eR;

V

V

V

(8.1.14)

группа

G

действует

на

модуле

Mt

no

правилу

р[а0 , . . .

. . .,

а г ]

= [ра 0 ,

. .

,

8 а г ] .

Хорошо

известно,

что

(8.1.15) .. .^M2-^Ml-^M0-^R-^0

—точная

последовательность.

Обозначим

через

Мг{Х)

модуль

всех

7/?[(3]-линейных

отображений

из

Mt

в X

и

определим

оператор

д:

Мг(Х)

-*• Mi+1(X)

равенством

§ 8.1. ГРУППЫ КОГОМОЛОГПЙ ФУКСОВЫХ ГРУПП

277

С*(б, X ) на группу М\Х)

и

3U =

ди.

Определим

теперь

такое

R-линейное

отображение /: At^y

Mt,

что

(8.1.16)

af =

Еа, fd

=

df,

fa

=

af

(a

£ G),

.j-i

(8.1.17)

/ (dj) =

(E/ej).

S

[ej]

(j =

1, . . . ,

r ) ,

v = o

(8.1.18)

f(th)

=

£ - [ 1 ,

я к ]

(к

=

1,

. . .,

те).

цией по i (при этом нужно следить за элементами dj и tk).

Действи­

тельно,

определим сначала

f(dj) по формуле (8.1.17) и

положим

f(a(dj))

= af(dj) для всех a

£ G. Далее, возьмем конечное множество

а(р) при единственном р £ S я единственном a

6 G. Включим

точки

qh, удовлетворяющие равенствам (8.1.10), в множество S0-

После

этого положим f(a(p))

= Е Ла] для

всех

а £ G и всех р

£

S0.

Аналогично

фиксируем

конечное

множество

St

г-симплексов

(i = 1, 2) так,

чтобы

элементы a(s)

для

всех

a

£ G и

всех

s

£ St

образовали свободный Л-базис в At.

=

Включим

точки

tk

в

5 t .

Оче­

видно, что af =

Еа. Поэтому

af(ds)

0 для каждого s £

В

силу

(8.1.15)

можно

определить

элемент

f(s)

так,

чтобы

3/(s)

=

f(ds).

В частности, мы можем положить

/(2Й)

= £ - [ 1 ,

я ь ] ,

не

приходя

при этом

к противоречию. После этого мы полагаем,

что f(a(s))

—

Произвольному элементу

и 6

X) поставим

в соответствие

элемент

w группы Аг(Х)

с помощью

равенства

w =

и ° /. Если

и 6

6

Cp(G,

X),

то

u>(2fc) =

E-u(nk)

6 (яь — 1)Х;

следовательно,

и £

6

. ^ ( Х ) .

Кроме

того, легко

видеть,

что соответствие u*-*-w

ком­

мутирует с

д и

поэтому

определяет

гомоморфизм р

из # Q (G, X )

в Н% (К,

X).

нейное

отображение

g:

Mt^-Ai,

удовлетворяющее

следующим

условиям:

(8.1.19) ag = a, gd

=

dg,

ga

=

ag

(a 6

G),

(8.1.20)

g([l,

nk]) =

tk

+

( я й

—

l)&h,

где

bh — такая

1-цепъ, что

dbk

= Po —

qk.

278

ГЛ. 8. ГРУППА КОГОМОЛОГИЙ

определения отображения g положим сначала

g([a]) = а(р0)

для

всех

a

£ G,

а

потом определим g([l,

а])

так, чтобы dg([i,

a]) =

=

сс(ро) — Ро, и положим

g([a, В]) =

g([l,

сс _ 1 Р]).

В

частности,

эле­

мент

g([l,

лк])

можно

определить,

как в (8.1.20). Поскольку

dg(d[l,

а,

Р]) =

0,

элемент

g([l,

а,

PJ) можно

определить

так,

чтобы

dg([l,

a,

Р]) =

g(d[l,

a, p])

в

силу

точности последователь­

ности

(8.1.9). Положим g([a,

р, у])

= a g ( [ l , a _

1

p ,

а - 1 у ] ) .

Произвольному элементу х 6 АГ(Х)

поставим в соответствие такой

элемент

у

£ C'L(G, X),

что

у

= х о

g.

Если

х £ AQ(X),

то

у{лк)

=

=

у([1,

лк])

=

x(th)

+

(лк

— l)x{bk)

£ ( я й — 1)Х

и,

следовательно,

у £ CQ(G,

X ) . Кроме

того,

легко проверить,

что соответствие х\—*-у

некоторый гомоморфизм gl группы

H Q ( K ,

X )

в

H Q ( G ,

X ) .

Построим теперь /?-линейное отображение U: М"г ->- Mt+i,

обла­

дающее

следующими

свойствами:

(8.1.21)

Ua

=

aU

(a

б G ) ,

(8.1.22)

fog

— E-(тождественное

отображение)

=

dU

+

Ud,

(8.1.23)

J7([l,

nk))

6 ( я к -

1 ) M 2 .

Сначала

заметим,

что

f(g(x))

=

Ex

для

а: £ M 0 .

Полагая

(7 = 0

на

М0,

мы видим, что на М0

условие

(8.1.22)

выполняется.

Пусть

a

—

произвольный элемент группы G, отличный от лк.

В силу равен­

ства

З И П ,

а]))

-E[l,a]}

=

f(g(d[l,

а]))

-

£<3[1,

а]

=

0

мы можем, используя (8.1.15), определить элемент U([l,

а])

так,

чтобы

дЩИ,

a])

=

/ ( g ( [ l ,

а])) -

о ] .

Если а

=

лк,

то элемент U([l,

а]) следует выбрать несколько иначе.

Так как df(bk)

=

0, можно найти

такой элемент пк

в М2,

что

=

= f(bh).

и

Положим

U([l,

лк])

=

(лк

— 1)пк.

Согласно

формулам

(8.1.18)

(8.1.20),

/

№ .

-

Ш ,

я ^

=

(Як -

1)/(Ьк )

= дЩИ,

я ^ ) .

Положим

(7([a,

р]) =

aU{[\,

а _ 1 р ] ) .

Тогда

равенство

(8.1.22)

вы­

полнено

на Mt.

Далее

мы должны определить

элемент

U([l,

а,

р])

так,

чтобы

дЩИ,

а,

р])

=

f(g([i,

a,

pi))

-

E l i , a,

Р] -

Щд[1,

а, Р]).

§ 8 . 1 .

ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ ФУКСОВЫХ ГРУПП

279

Пусть

х £ Z L

(

G , X).

Тогда

существует такой элемент у группы

CL~1(G,

X),

что

y=*x°U.

В

силу

формулы*

(8.1.22)

xofog

—

— Ex

=

ду.

(Если i ^ 1, то

у = 0.)

Если i =

2,

то

y(nh)

=

x(U([l,

nh\))

=

( n h

— i)x(nh)

6 ( я ь — 1)X;

следовательно, у

£ C Q ( G ,

X).

Это говорит о том, что g1 о f

=

Е «(тож­

дественное отображение) для i = 0, 1, 2.

Аналогичным

образом

мы

получаем Д-линейное отображение

У: ^ j - ^ ^ l i + i ,

обладающее

следующими свойствами:

(8.1.24)

Уа

= а У

(а'и € G),

(8.1.25) go /

— Е-(тождественное

отображение) = ЗУ +

УЗ,

(8.1.26) V(th) = 0.

Так

как

a°g°f

= E-a,M&

А0,

мы

можем определить

для

s

£ <$о

элемент

y(s)

так,

чтобы

ЗУ(я) = g(f(s))

— Es.

В

частности,

можно

положить

V(qh)

=

Ebh.

Что

же касается элементов dj, то возьмем

1-цепь hj

на Ai

так, чтобы 9 ^

= рп

— d}, и положим

V(dj)

=

(E/ej).

2

e j ( ^ ) .

v=0

Тогда можно считать, что V(a(p)

=

аУ(р) для а £ (? и для произ­

вольного

0-симллекса

не приходя к противоречию. Проводя

жения U, мы определим отображение

У на множествах Si и Sz

так,

что

окажется

выполненным

условие

(8.1.25), и положим V(a(s))

=

=

aV(s) для

а £ G , s £ St.

Выбор

отображения У, обладающего

Заметим, что У =

0 на

Аг.

Пусть и 6 Zl(K,

X).

Тогда и о / о g — Ей =

д(и ° У). Если £ = 2,

то ы(У(^)) = 0; следовательно, и ° У £ ^4Q ( X ) .

Это доказывает

равен­

ство /* о g - ' == Е -(тождественное отображение)

и завершает

доказа­

тельство предложения 8.1.

На самом деле изоморфизм групп

H Q ( G ,

X) и HQ {К,

X)

можно

выявить сразу. Действительно, если w 6 Z ° ( K ,

X),

то w(p)

не зависит

от р.

Поэтому yw(p)

= w(y(p))

= w(p)

для всех у £ G и,

следователь­

но,

w(p)

£ XG

= HQ ( G , X).

Обратно, любой

элемент

из

Xе

соот­

ветствует некоторому элементу группы HQ (К,

X).

Таким

образом,

группа

H°Q(K,

X)

всегда изоморфна

группе Н% =

HQ

(G,

X).