Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 124
Скачиваний: 0
280 |
ГЛ. 8. ГРУППА КОГОМОЛСТИЙ |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Выберем фундаментальную область F для !д0 по модулю группы G, как это делалось в (8.1.8). Можно счи тать, что
(8.1.27) область F односвязна;
(8.1.28) если а4 , . . ., а^ суть 2-симплексы, содержащиеся в F, то
|
|
|
|
|
|
|х |
|
т |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*(2 «*) = |
2 <*h(tk)+ |
2 (в,-1)*} |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
i = |
l |
|
fc=i |
|
( = 1 |
|
|
Sj |
|
|
|
|
|
|
|
при |
некоторых ah, |
fiT£G и |
некоторых |
£Ai. |
|
|
|||||||||
В |
этой ситуации |
группа |
G |
порождается |
элементами |
6г и |
ahnha,hl, |
|||||||||||
а |
группа |
А2 |
— элементами |
y(at) |
для всех |
i и всех у |
6 G. Поэтому |
|||||||||||
любой |
элемент |
и |
группы |
Z 2 ( K , X ) определяется значениями |
и(аг). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим |
u{F) |
= |
2 |
u(ai) |
и |
допустим, |
что |
u(F) 6 Y. |
Тогда |
суще- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ствуют такие элементы yk |
и z( группы |
X , |
|
что |
|
|
|
|
|
|||||||||
(8.1.29) |
|
lu (*•) = |
2 ( < w £ « |
- 1 ) г/,4 |
+ |
2 |
(PJ - 1 ) |
* |
i . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
h=l |
|
|
|
,. 1=1 |
|
|
|
|
|
||
Можно |
найти такой элемент |
w группы |
AQ(X), |
ЧТО и = |
du>, w(th) |
= |
||||||||||||
= |
( я й |
— |
l j a j i ^ i , |
и |
u;(s;) |
= |
zj. |
Действительно, |
определим |
сначала |
||||||||
значения w на элементах th |
и s£ , как требуется. |
После |
этого |
значе |
||||||||||||||
ния отображения w на 1-симплексах, |
лежащих |
внутри |
области F, |
|||||||||||||||
определим одно за другим с помощью равенства |
u(aj) |
= |
w(daj). |
Это |
возможно в силу формулы (8.1.29). Затем продолжим w на всю группу
Ai, |
используя |
равенство |
wy |
= |
yw, |
верное для всех у |
£ G. |
Итак, |
||||||||
и 6 BQ(K, |
X), |
|
если u(F) б Y. Обратно, если и — dw при w £ |
AQ(X), |
||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
u[(F) |
= |
w (dF) = |
2 w (af t |
(**)) + ! S |
(PI — 1 ) Ш |
(S,) 6 |
У . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ft=l |
|
|
|
|
|
4=1 |
|
|
|
|
Доказательство |
|
закончено. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8.3. Предположим, |
что |
В. — поле |
и X |
— конечно |
||||||||||||
мерное векторное |
пространство |
над |
R. Пусть g — род |
поверхности |
||||||||||||
G\JQ*, |
a Y |
имеет |
тот же |
смысл, |
что в предложении |
8.2. |
Обозначим |
|||||||||
|
|
С = |
d i m ( Z G ) , |
X' |
= |
Aim(X/Y), |
|
|
|
|
||||||
|
|
I) |
= |
dim({x |
6 X |
I &jx = |
x}) |
(/' = 1, |
. . ., r), |
|
|
|||||
|
|
T)FT |
= |
dim((n f e |
— |
l)X) |
(k |
= |
1, |
. . ., |
m), |
|
|
|
где dim( ) — размерность над R, a 8y (соответственно nk) — предста вители эллиптических (соответственно параболических) элементов
§ 8.2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ФОРМЫ И КЛАССЫ КОГОМОЛОГИЙ |
281 |
группы G в указанном |
выше |
смысле. Тогда |
|
|
d i m (I-PQ (К, |
X)) = |
(2g - |
2) dim (X) + £ + |
+ |
|
|
т |
г |
|
|
|
+ 2 |
T i k + 2 ( d i m ( X ) - E , ) . |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
ft=i |
j = i |
|
|
Пусть К имеет прежний смысл ж Nt — |
число G-неэквивалентных i-симплексов в К. Тогда легко видеть, что
N0-Nl+N2+m |
= |
2-2g, |
|
|
г |
d i m (А0 (X)) = N0 • d i m (X) - |
2 (dim (X) - Ь), |
|
|
|
m |
d i m ( ^ ( X ) ) = i V 1 . d i m ( X ) - 2 ( d i m ( X ) - T ) k ) ,
d i m ( 4 2 (X)) = N2 • di m (X).
Далее,
2
2 ( - if d i m (Я£, (К, X)) = d i m (A0 (X)) - d i m (AlQ (X)) + d i m {A2 (X)). i = 0
Наше предложение следует теперь непосредственно из этих соотно шений, предложения 8.2 и наличия изоморфизма между H Q ( K , X ) и X .
Пусть Р — множество всех параболических элементов группы G.
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.1.30) |
|
|
|
НР (G, X) = Н1) |
( G , X ) . |
|
= |
Z Q { G , X ) . |
||||
Для доказательства достаточно установить, что Zp(G, X ) |
||||||||||||
Очевидно, |
что |
ZP(G, |
X ) cz ZLQ(G, |
X ) . Пусть |
и 6 Zfe(G, |
X ) |
и я |
6 <?• |
||||
Тогда ц(я) |
= |
(я — \)х |
при г 6 X , так что, согласно формуле (8.1.1), |
|||||||||
и(пт) = (1 + |
я |
+ . . . + я ш _ 1 ) и ( я ) = |
( я т — 1)х для любого целого |
|||||||||
положительного |
числа т, и |
в |
силу |
формулы (8.1.3) и(п~т) |
= |
|||||||
— —пти(п~т) |
|
= |
( я - т |
— \)х. |
Поэтому |
для |
каждого |
а 6 G и |
для |
|||
каждого U - 6Z имеем и(ая^а - 1 ) = |
( а я ^ а - 1 — |
1) (ах — |
и(а)). |
Примем |
во внимание теперь то, что произвольный элемент множества Р
имеет вид а я ^ а - 1 |
при некоторых я £ (?, а |
£ G, |
р. 6 Z. Поэтому |
и 6 Zp(G, X ) , так |
что Zp(G, X ) = Z\(G, X ) , |
и мы |
получаем тре |
буемое. |
|
|
|
§8.2. Соответствие между параболическими формами
иклассами когомологий
Для |
u l |
6 С2 |
и для произвольного |
целого п ^ 0 определим |
||
V |
||||||
|
|
|
|
|
||
(п - j - 1)-мерный |
вектор-столбец |
равенством |
||||
|
' и |
|
|
u n - V , |
|
|
|
v |
|
|
14У |
||
|
|
|
|
|
282 ГЛ. 8. ГРУППА КОГОМОЛОГИЙ
Тогда |
можно определить |
представление |
p n : |
GL2 (C) |
|
G L n + 1 ( C ) |
pa- |
|||||||||||||||||
венством |
|
|
|
|
|
|
" и ' |
|
|
|
' |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(8-2.1) |
|
|
|
|
|
Р л ( а ) |
= |
\[а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
_ V _ |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если п = |
О, то подразумевается, что |
|
|
= |
1 и р0 (а) |
= |
1 для каж |
|||||||||||||||||
дого а £ G. Существует |
единственная |
|
невырожденная |
билинейная |
||||||||||||||||||||
форма |
на |
C'l + 1 , представляемая некоторой вещественной матрицей |
||||||||||||||||||||||
в , такая, |
что |
|
|
т" и' п |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(8.2.2) |
|
|
|
|
• в „ . |
" X |
= |
|
|
'и |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
. У |
det |
У. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
V _ |
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Легко видеть, что Э 0 |
j 1 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(8.2.3) |
|
|
|
|
|
|
' 9 П |
= |
( - 1 ) ' 1 в п , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(8.2.4) |
|
a(z) |
|
|
|
*р„(а)вп рп (а) = |
det(a)»0 n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(8.2.5) |
|
|
|
= |
1 (а. г)"'1 |
р„ (а) |
z |
|
|
( a € G L 2 ( R ) , |
* б # ) , |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
G L 2 ( R ) |
П Кег(рп ) = { |
{12 }, |
|
} I |
если |
п |
нечетно, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ ± |
1 2 |
если |
п |
четно. |
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть |
Г — дискретная |
подгруппа |
|
группы |
SL 2 (R), |
являющаяся |
||||||||||||||||||
фуксовой |
группой |
первого |
рода, |
и |
|
Г |
= Г/(Г |
П { ± 1 } ) « |
Пусть |
Р |
||||||||||||||
(соответственно |
Р) |
— множество |
всех |
параболических |
|
элементов |
||||||||||||||||||
группы Г |
(соответственно группы Г). Пусть X — некоторый |
Г-мо- |
||||||||||||||||||||||
дуль, |
который |
мы |
будем |
рассматривать естественным |
образом |
как |
||||||||||||||||||
Г-модуль. |
(Это |
означает, |
что если |
— 1 £ Г, |
то — 1 действует |
как |
||||||||||||||||||
тождественное |
|
отображение |
модуля |
X.) |
Рассмотрим |
следующее |
||||||||||||||||||
условие на модуль |
X: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(8.2.6) |
|
|
если |
х £ X |
и |
2х = |
0, |
|
то х |
= |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При выполнении этого условия из включений — 1 6 Г и и 6 Z\T, |
X) |
|||||||||||||||||||||||
следует, |
что |
0 = |
и{(—I)2) |
= и(—1) |
+ |
и{—1), |
|
так |
что |
и(—1) |
= |
0. |
||||||||||||
В этом случае элемент и можно естественным образом |
рассматривать |
|||||||||||||||||||||||
как элемент из группы Z\T, |
X). |
Поэтому группу Zp(T, |
X) |
(соответ |
||||||||||||||||||||
ственно .б^Г, |
X)) |
можно естественным образом отождествить с |
груп |
|||||||||||||||||||||
пой Zp(T, |
X) |
(соответственно с |
БХ (Г, |
X)), |
так |
что |
НР(Т, |
X) |
отож |
|||||||||||||||
дествится |
с Яр(Г, |
|
X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим |
теперь представление |
W группы Г в группу |
GL r (R) |
|||||||||||||||||||||
при произвольном |
г > |
0, |
удовлетворяющее следующим |
двум |
усло |
|||||||||||||||||||
виям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.2.7) |
W отображает |
Г |
в компактную подгруппу |
группы |
GL r (R); |
|||||||||||||||||||
(8.2.8) |
ядро |
отображения |
W |
имеет |
конечный |
индекс |
в |
группе |
Г, |
|||||||||||||||
|
если |
последняя |
имеет |
параболические |
|
точки. |
|
|
|
|
|
|
|
§ 8.2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ФОРМЫ И КЛАССЫ КОГОМОЛОГИЙ |
283 |
||||||||||||
Обозначим через Sh(Y, |
W) векторное пространство всех голоморфных |
|||||||||||||
отображений |
/ полуплоскости |
в пространство |
С , |
удовлетворяю |
||||||||||
щих следующий! |
двум |
условиям1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(8.2.9) |
/(сф));(а, |
z)~k |
= ¥(a)/(z) для всех |
а 6 |
Г; |
|
|
|
||||||
(8.2.10) |
если группа |
Г |
имеет |
параболические |
точки, |
то |
компоненты |
|||||||
|
отображения |
f |
принадлежат |
пространству |
1 ?/,(Кег(Чг )). |
|||||||||
|
(Это имеет смысл в силу (8.2.8).) |
|
|
|
|
|
||||||||
Векторное |
пространство |
Sh(T'0, |
яр) |
из § |
3.5 |
доставляет |
пример |
|||||||
пространства |
Sh(T, |
¥ ) . |
В § 9.2 мы дадим такой пример |
представле |
ния ¥ , в котором группа Кег(¥) не является подгруппой конечного индекса в Г, а группа Г не имеет параболических точек.
Если |
представление |
Y абсолютно |
неприводимо |
и |
— 1 £ Г, |
то |
||||
Sk(Y, |
W) |
Ф {0} лишь тогда, когда |
¥(—1) = |
( — l ) h . |
Далее, если |
¥ |
||||
является |
прямой суммой двух представлений 4% и г Р 2 , то простран |
|||||||||
ство |
Sk(T, |
Y) |
можно отождествить с |
прямой |
суммой |
пространств |
||||
Sk(T, |
Wi) |
и Sh(T, ¥ 2 ) . |
Поэтому, |
почти не |
теряя |
в |
общности, |
мы |
||
будем |
впредь |
считать, что |
|
|
|
|
|
|
||
(8.2.11) |
|
= |
( - 1 ) й |
если |
— 1 6 Г . |
|
|
|
В соответствии с предположением (8.2.7) найдем такую положи тельно определенную вещественную симметрическую матрицу Р, что '¥(а)Р¥'(а) = Р для всех а 6 Г . После этого зададим положи тельно определенное эрмитово скалярное произведение на 5Й(Г, ¥ ) (зависящее от Р) равенством
(/, £ ) = f lfPg-yh-2dxdy |
(f,g£Sh(r,4); z = х + iy). |
г\$ |
|
Это обобщение скалярного произведения Петерсона из § 3.4; сходи мость интеграла в данном случае показывается аналогично. В даль нейшем мы зафиксируем группу Г и представление ¥ и будем рас
сматривать пространство Sn+2(Y, |
|
х¥) при неотрицательном целом |
||||||||||||
числе |
п. |
Основная |
цель |
настоящего |
параграфа — отыскать |
изо |
||||||||
морфизм |
из |
5 П + 2 ( Г , |
X F) в группу когомологий НР(Т, |
X) |
при |
под |
||||||||
ходящим |
образом |
выбранном |
Г-модуле X. Зададим |
сначала |
для |
|||||||||
каждого |
элемента |
/ |
£ Sn+2(T, |
W) голоморфную |
векторную диффе |
|||||||||
ренциальную |
форму |
Ь(/) |
со значениями в |
Сг |
сЗ> С ' + 1 : |
|
|
|||||||
(8.2.12) |
|
|
|
b ( / ) = / ® |
z |
n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
n = |
0, |
то b(/) = f(z)dz. |
Положим |
|
|
|
|
|
|||||
(8.2.13) |
|
W = |
P |
cg> e n , |
|
%(a)]= |
¥ (a) |
eg) pn (a) |
(a |
£ Г). |
|
284 |
ГЛ. 8. ГРУППА КОГОМОЛОГИЙ |
В силу формул (8.2.4), (8.2.5) и (8.2.9) мы получаем
(8.2.14) |
' Х ( а № ( с 0 |
= W |
(а 6 Г), |
(8.2.15) |
Ъ(/) о а = |
%(a)b(f) |
(а € Г), |
где о а обозначает преобразование дифференциальной формы с помо щью элемента а. Так как матрица %(а) вещественна, то
(8.2.16) |
Re(b(/) о а) = х ( а ) -Re(b(/)) (а £ Г), |
где Re означает вещественную часть. Поэтому мы можем определить R-значную R-билинейную форму A(f, g) на пространстве 1?П + 2 (Г, ~V) равенством
(8.2.17) |
|
А (/, g) = |
j |
'Re |
(b (/)) Д |
W-Re (b (g)). |
|
|
||||
В силу |
формулы (8.2.2) |
<Ь(/) |
Д |
И Э Д |
= |
- ( 2 i ) ' , + I |
- ' / ^ V |
Л |
||||
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.2.18а) |
|
g) = (20"-Ч(/, |
g) |
+ |
(~l)n+1(g, |
/)3, |
|
|
||||
(8.2.186) |
Л(/, |
g) = |
(-l)n+lA(g, |
|
/), |
|
|
|
|
|
||
(8.2.18B) |
Л(/, |
in~lg) = |
2" -Re((/, g)). |
|
|
|
|
|||||
Поэтому |
форма A(f, |
g) |
невырождена. |
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим |
теперь |
R r |
<g> R n + 1 |
(соответственно |
С ® C n + 1 ) |
как |
Rfri-модуль (соответственно как С[Г]-модуль) относительно пред
ставления %, а также как К[Г]-модуль (соответственно |
С[Г]-модуль), |
||||||||||
причем ¥(—1) = |
(—1)'" при — 1 £ Г. В последующем мы обозначаем |
||||||||||
этот |
Rfri-модуль |
(соответственно С[Г]-модуль) через X (соответ |
|||||||||
ственно через Хс)- |
Если необходимо явно указать п и Ч?, мы пишем |
||||||||||
Х |
= |
Х*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
Зафиксируем |
произвольную |
|
точку |
z0 полуплоскости |
!Q И |
ДЛЯ |
||||
£ & П + 2 ( Г , Y ) положим |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(z) |
= |
j b ( / ) + |
y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zo |
|
|
|
|
|
|
где |
г; — произвольный фиксированный |
вектор |
пространства |
Хс. |
|||||||
Так |
как форма Ь(/) голоморфна, |
функция F(z) |
не зависит |
от пути |
|||||||
интегрирования. Для каждого а |
|
б Г в силу формулы (8.2.15) имеем |
|||||||||
|
|
|
a(z) |
a(z0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(a\z))= |
j b ( / ) + |
j |
b(f) + v = X(*)F(z) |
+ |
t(a)t |
|
|
||
г д е |
|
a(io) |
zo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(zo) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*(a) = j |
©(/) |
+ [ 1 - Х ( « ) ] « > . |
|
|
|
|
ZO