Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

§ 8.2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ФОРМЫ И КЛАССЫ КОГОМОЛОГИЙ

285

Поэтому t(a$) = t(a)

+

%(a)t($),

так

что

t £ Z*(r,

Хс).

Заметим

также, что изменение вектора v (и, следовательно, точки z0 )

сказы­

вается на t лишь прибавлением некоторого элемента

из 2?Х(Г,

Хс)-

Предположим, что группа Г имеет параболическую точку s.

Выберем

Г1 ЪГ

р 6 SL2 (R)

так, чтобы

p(s) =

оо

и

элемент

р - 1

О 1

р

при

h >

О

порождал группу

{у

£ Кег(¥)

| y(s)

=

s)

(см. § 2.1).

В

силу

(8.2.10)

можно

считать,

что

/ ( р - 1 ,

z)~n ~2 /(p- 1 (z))

=

Ф(д),

где

Ф(д) — голо­

морфная

С-значная функция переменной q = enizlh.

Полагая p(w)

=

= Я р - 1 ,

w

) n

•р~1 (и; )",

получаем

z

p(z)

j

/

(w) №'1 dw =

j

/ (р-1

(ш)) у (р-1 , г ) - " " 2 р (w) dw =

го

Р(*0)

P(z)

Jg*).

По

этой

причине

имеет

смысл

выражение

F(s)

= l i m F(z).

Тогда

Z-*S

F(s)

=

F(n(s))

= X(n)F(s)

+

t(n).

Этим

доказано,

что

t £ Zp(T,

Xc).

Беря

Re(b(/))

вместо

b(/),

положим

z

(8.2.19)

f ( z ) = J R e ( b ( / ) ) + a ,

ZO

где a — произвольный

фиксированный

элемент

из

X.

Тогда

(8.2.20)

f(a(z))

=

Х ( а ) f(z) + u(l)

(a

£ Г),

где и £ Zp(T, X).

Как было показано выше, класс когомологий эле­

точки z0 . Поэтому можно определить

R-линейное

отображение

<р

из £ П + 2 ( Г ,

¥ ) в Ер(Т, X) равенством

ф(/) = класс когомологий элемента и.

ТЕОРЕМА 8.4. Для каждого (четного

или нечетного)

целого п ^

0

it каждого

представления

Чг группы

Г, удовлетворяющего условиям

(8.2.7), (8.2.8), (8.2.11),

отображение

<р является

Т{.-линейным

изо­

морфизмом

пространства

Sn+2(T,

Ч;)

на пространство

Нр(Т,

Х%).

Результат такого же

типа,

но в

несколько иной форме впервые

286

ГЛ. 8. ГРУППА КОГОМОЛОГИЙ

ление W тривиально. В данной же форме эта теорема при разных

ограничениях

была доказана в следующих статьях:

I . Шимура

[3, теорема 1], для четного п и тривиального Y;

I I .

Шимура [6, теорема 2], для четного п и группы Г без пара­

болических точек. Метод этой

статьи применим

и для

нечетного

п.

I I I .

Мацусима и Шимура

[ 1 , предложение

4.4],

для группы

Г

Пусть / и g

— элементы

пространства

5 П + 2 ( Г , W). Определим

f и и,

как в формулах

(8.2.19) и (8.2.20). Аналогично положим

i 2

8 ( 2 ) = ' J R e [ b ' ( / ) ] + b

с произвольным

фиксированным

Ь £ X.

Тогда

(8.2.21)

g(a(z)) = x (a)e(z)

+ v(a)

(a 6 Г)

при

некотором

v из

ZP(T,

X).

Так

как

dt = Re[b(/)] и dg =

= Re[b(g)l, то

A(f,g)=

j

' d f A ^ d g .

ремы 2.20,

дИ =

2

t^x — o \ ( 5 0 1 i г Д е S

K С У Т Ь

1-симплексы и эле-

менты о\

группы

Г

таковы,

что

A(f,g)=yA

J f W d g - ^

j

l\Wda.

§ 8.2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ФОРМЫ И КЛАССЫ КОГОМОЛОГИЙ

287

(8.2.22)

Л ( / , я) = 2 (

" К ' ) ^

\

ft.

Предположим теперь, что ф(/) =

0. Тогда, выбирая

подходящим

образом постоянный вектор а в (8.2.19), мы можем положить и =

0.

Но тогда

из (8.2.22)

следует,

что

A(f,

g)

= 0 для

каждого

g 6

6 5 П + 2 (Г, х ¥). Так как

форма A(f,

g)

невырождена, элемент / должен

Далее, вычислим размерность пространства Нр(Т,

X ) ,

предпола­

гая,

что представление

W тривиально.

В

этом

случае

X =

i?""f l

и %=

Рп-

(Условие «¥(—1)

=

(с — 1)",

если

— 1 £ Г»

означает

тогда,

что

— 1

$ Г,

если

п нечетно.)

Мы

покажем, что

(8.2.23)

размерность

пространства

Нр(Т,

X)

над

полем

R

равна

удвоенной

размерности

пространства

5 П + 2 (Г) над

полем С.

Пусть

е1 ? . . .,

ег

и

пх,

. . .,

лт

определены для Г в соответ­

ствии

с § 8.1. Пусть

т] к , £ и £'

те же, что в предложении 8.3. Так

как Яр(Г,

X)

=

Нр(Т,

X),

то, согласно

равенству (8.1.30)

и

пред­

ложениям

8.2

и

8.3,

(8.2.24)

d i m (ЛИГ,

X)) =

( 2 g - 2 )

( п + 1 ) + £ +

£'

+

m

т

+

2

л**

2

(п+1-Ь).

Предположим

сначала,

что

п =

0.

Тогда

чь — 0 и

£; =

£ =

С' = 1;

следовательно,

d i m (Яр (Г, X)) =

2g

и (8.2.23)

верно. Далее,

пред­

положим,

что

гс>>0.

Жорданова

нормальная

форма

(матрицы,

представляющей

преобразование)

я& имеет вид

или

— 1

1

0

- 1

в зависимости

от того,

является

соответствующая параболическая

точка

регулярной

или

нет

(см.

§ 2.1).

Поэтому, учитывая вид

Рп

1

1

^,

мы легко

устанавливаем,

что

0

± 1

f)n[Sj)

имеет п + 1 характеристических корней со'1, со'1 - 2 , . . .,

со2 - '1 ,

<о- п

при некотором корне из единицы со, порядок которого равен

е}

или 2e^ в зависимости

от того, нечетно или четно в]. Поэтому

п

+

+ 1 — \з — число

таких корней, отличных

от 1. Мы можем

пока­

зать,

что

п +

1 -

\} = 2Л{п +

2)(е, -

1)/2в,],

где

[х] — наибольшее

целое число,

не превосходящее х. Мы

опу­

элементарно и довольно утомительно. Наконец,

£ =

£'

=

0.

Чтобы

это показать, рассмотрим х

6 Хт,

т. е. элемент х,

удовлетворяющий

равенству рп(а)х

= х при любом а £ Г. Положим p(z) =

'а;0п

z

1

Согласно

(8.2.5),

p(a(z))j(a,

z)n

=

p(z)

для

всех

а

£ Г.

Поэтому

р 6 £-п(Г), если группа

Г не имеет параболических

точек. Если

же

^ — параболическая

точка

группы

Г, то возьмем такой элемент р

группы SL 2 (R),

что

p(s) =

оо

и

р - 1

Г1 h~

р порождает

группу {у 6

6 Г

| y(s)

=

s).

Положим

t(z)

=

p(p - 1 ( z ))/(P _ 1 » ZT-

Тогда

t —

много­

член от z и t(z +

2h)

—

t(z).

В силу сказанного многочлен t

должен

быть1 константой. Следовательно, р

£ (?_П (Г). Так как (?_П (Г)

=

{0}

для

ге>0в

соответствии с теоремами 2.23 и 2.25, то р — 0, так что

х

=

0. Это означает, что

Хт

=

{0};

следовательно,

— £

=

0.

Чтобы

показать

справедливость

равенства

£' = 0, рассмотрим

модуль

Y

из предложения 8.2. Пусть х — такой элемент из X,

что гу®пх

=

0

для всех у £ У. Тогда для каждого

w £Х

ш каждого

а

£ Г

0

=

'[(р„(а-1 ) -

i)w)6nx

= 'и>еп(рп(а)

-

1)х,

так

что

(рп (а)

— 1)ж =

0;

следовательно,

х 6 Х г .

Так

как

Хт

=

=

{0}, этим

доказано

равенство Y

= X;

отсюда

— £ '

=

0.

Итак, мы определили необходимые нам

г|ь, £ и £'.

Подставляя

эти

числа в

(8.2.24)

и

сравнивая результат

подстановки

с

числом

d i m ( 5 n + 2 ( r ) ) ,

найденным в теоремах 2.24

и 2.25,

получаем

(8.2.23).

ставления Y.

Случай нетривиального ¥ будет рассмотрен в следую­

щем параграфе.

§ 8.3. Действие двойных смежных классов на группе

КОГОМОЛОГИЙ

Пусть r f

и Г 2 — соизмеримые фуксовы группы первого

рода,

заданные как подгруппы группы SL 2 (R), и Л — полугруппа,

содер­

жащаяся в

G L ^ R ) и содержащая 1\ и Г2 , причем группа

а Г ^ а - 1