Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

292

ГЛ.

8. ГРУППА

КОГОМОЛОГИЙ

естественное

вложение

группы

Zp(T,

D) в

группу

ZP{T,

DR)

опре­

деляет Z-линейное отображение

(8-4.1)

/:

Я Р ( Г ,

D)^HHT,

DR).

Рассмотрим

группу

НЦТ,

DR)

как векторное

пространство

над

R.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ S.6.

Образ

группы

Нр{Т,

D)

при

отображении

j

является

решеткой

(т. е.

дискретной

подгруппой

максимального

ранга) в Нр(Т,

DR),

и ядро

Кег(/)

конечно.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Группа

Г

имеет

конечное

множество

образующих,

скажем

{ а ь

. . .,

а т } .

(Например,

элементы {у,,}

из формулы (1) в доказательстве теоремы 2.20 составляют

множество

образующих

группы Г; ср. упражнение 1.35.) Далее, каждый элемент

и группы ZP(T,

X)

при произвольном Г-модуле X полностью

опреде­

ляется элементами

и(а{),

. . .,

и(ат).

Это говорит о том, что группа

ZP{T, D) (соответственно ZlP(T, DR))

конечно

порождена

над

Z

(соответственно над R). Кроме того, мы получаем R-линейное ииъек-

тивное отображение

и

у-*

{u(Oi),

. . .,

и(ат))

группы

ZP(T,

DR)

в

группу

DRl.

Условия

(8.1.1)

и (8.1.4)

можно

записать

в

виде

(1)

т

! j E h

u ( o t )

=

0

( Ь = 1 , 2 , . . . ) ,

i

т

(2)

S^««*(ff,)-0

( / 1 = 1 , 2 , . . . ) ,

где Fh! — отображения

того

же

типа. Положим

Z'

=

{и

Е ZP(T,

DR)

I и(у) 6 D для всех у 6 Г } ,

В'

=

Z'

П Б\Т,

DR).

§

8.4. КОМПЛЕКСНЫЙ

TOP

293

бражение X: DR

DR

равенством

Х{х) =

((o"i -

1)х,

. . ., (от

-

1)х)

{х е

DR).

Тогда

можно

найти

такое

положительное

целое число

г, что

r-[X(DR)

П

Dm\cX(D).

Пусть

и 6 В'

П

/?).

Значит,

(u(ff,),

• • •, «(>m))

=

при

некотором

х

6 I

V Так

как

Х(х) £ A | D r )

П -О"1 , можно

найти эле­

мент у

из

D,

для которого

r-A,(a;) =

Х(у). В этой ситуации

г-и £

6 ^ ( Г ,

D ) .

Так

как группа Z^(T, Z>) конечно порождена над Z,

это означает,

что

ядро Кег(/) конечно. Доказательство закончено.

Из этого предложения, в частности, вытекает равенство

(8.4.2)

HUT,

DR)

=

НР(Т,

D)

<g>z

R.

Предположим теперь, что группа D удовлетворяет следующему

условию:

(8.4.3)

ШТ]-модулъ

DR

изоморфен

прямой

сумме

конечного

числа

модулей

Xni,

• . .,

Xj*

шипа, рассмотренного

в § 8.2.

© = 5 „ 1 + 2 ( Г ,

ф . . . ф 5 п в + а ( Г , ¥ . ) .

Положим

L

= (х(у'(Яр(Г,

Z)))). Тогда

L — решетка

в пространстве

©, и мы получаем комплексный тор

Пусть

а — такой элемент

группы

G L 2 ( R ) , что

группа

а - 1

Га

соизмерима

с Г. Тогда

класс

ГаГ действует и на пространстве

©,

и иа пространстве Нр{Т,

DR).

Это действие коммутирует с [х в

соот­

риантно подпространство Hlp(T, D),

если

alDaD.

Поэтому действие

класса ГаГ определяет некоторый

эндоморфизм

пространства

6 / L .

Например, пусть Г — подгруппа группы SL2 (Z) конечного индек­

са

и D =

Z ' l + 1

при некотором п ^

0. Исходя из представления р,м

мы

можем

рассматривать • группу

D как Г-модуль. В этом случае

Rlrl-модуль

DR

есть ие

что ииое,

как

Хп при тривиальном

пред­

ставлении х ¥, так что © =

5, 1 + 2 (Г) . Поэтому мы получаем решетку L

пространства

5 П + 2 ( Г ) , инвариантную

относительно

( Г а Г ) п + 2

для

каждого

а £ M 2 (Z) f] G L 2 ( R ) . Тем самым мы доказали утверждение

(3.5.20),

которое было нам нужно

при доказательстве

теоремы

3.48.

В работе

автора [3] показано, что £ „ + 2 ( Г ) / £

обладает структурой