Файл: Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 116

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г Л А В А 9

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФУКСОВЫ ГРУППЫ

§ 9.1. Группы единиц простых алгебр

До сих пор в наших теоретико-числовых исследованиях мы огра­ ничивались фуксовыми группами типа конгруэнц-подгрупп группы GL 2 (Q) . Сейчас мы покажем, не вдаваясь в детали доказательств, что большую часть установленных выше результатов можно обоб­ щить на случай арифметических фуксовых групп, полученных из кватернионных алгебр. В этом параграфе будет рассмотрена группа единиц произвольного порядка в любой простой алгебре над полем алгебраических чисел.

Пусть В — простая алгебра иад полем Q. Мы можем определить кольцо аделей ВА и группу пделей Вл алгебры В следующим обра­ зом (ср. А. Вейль [7], [10]). Положим

В со = Вц = В <g)Q R)

 

Bp = В

® Q Qp

(р — простое

рациональное

число).

Для произвольной Z-решетки j

алгебры В положим $ р

=

j ®%LP и

 

 

M j ) = {а 6 Вр

 

I j p a c z

 

 

 

 

Тогда

Вл — это

подкольцо

в В с*

X [\ Вр,

состоящее из таких эле-

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

ментов

( а » , . . .,

tip, . . .), что ар

£ о р (у.)

для

всех, за

исключением

(конечного числа,

простых чисел р.

Кольцо Вл

содержит

подкольцо

 

 

о (г)

= Boo

X П о р (s).

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

локально компактное относительно обычной топологии

произве­

дения. Введем топологию на ВА,

объявив

о (у.)

открытым

подколь-

цом в

Вл- Можно Вл определить

и просто как В ®QA.

В этом

случае группа иделей В\ как абстрактная группа является группой

обратимых элементов кольца Вл-

Другими

словами, ВА

состоит

пз таких элементов (ЙОО, . . .,

ар,

. . .), что

ар 6 Ор(т.)*

для

всех,

кроме конечного числа, простых чисел р. Группа Вл содержит

под­

группу

 

 

 

 

 

о(ъУ = ^

Х

П ° Р ( Е ) Х ,

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

локально компактную относительно обычной топологии произведе­ ния. Введем топологию на Вл, объявив о ($)* открытой подгруппой

 

 

§ 9.1. ГРУППЫ ЕДИНИЦ ПРОСТЫХ АЛГЕБР

 

 

295

в В"А.

Определение топологического кольца

ВА и топологической

группы ВА

не зависит от

выбора решетки

т.. Следует

также

отме­

тить, что

топология на ВА

не индуцируется

топологией кольца

ВА.

В

дальнейшем мы пишем GQ вместо Вх

и

полагаем

 

 

 

 

 

С™ = 5 с ,

Gp = Bp ,

GA — Вл.

 

 

 

Группу GQ можно рассматривать как группу

Q-рациоиальных

точек

некоторой

алгебраической

группы G, определенной над

Q, a GA

—

как аделизацито группы G. Если читатель незнаком с общей теорией алгебраических групп и их аделизаций, то он может рассматривать

GQ И G A

просто

как

новые

обозначения

для Вх

и

В'А.

Обозначим

через G 0

неархимедову часть

группы

GA

и через

G<»+

компоненту

единицы в Goo. Эти обозначения согласуются с обозначениями гл. 6 ,

если В =

M 2 (Q) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы отождествляем В (соответственно GQ) С некоторым подмно­

жеством

в

Вл

(соответственно

в

GA)

посредством

диагонального

вложения

х

н-*• (х, х,

х, . . . ) .

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

F — центр

кольца

В

и

v — редуцированное

норменное

отображение из В в F. Отображение v можно естественным образом продолжить до отображения из ВА в FA, которое по-прежнему будет обозначаться через v. (Заметим, что v = det, если В = M2 (Q).) Положим

G% = {xeGA\v(x) = l},

G$ = { * 6 G Q | v ( x ) = l } .

Хорошо известна следующая фундаментальная теорема.

 

ТЕОРЕМА

9 . 1 . ( 1 ) Группа

Gq

является дискретной

подгруппой

в

GA.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 )

Факторгруппа G Q \ G 1 компактна,

если В — алгебра

с деле­

нием.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

Для

любой

открытой

подгруппы

S группы GA,

содержащей

Geo,

пространство

орбит

Gq\GA/S

конечно.

 

 

 

(4)

Для

каждой

открытой

подгруппы

Т группы GA,

содержащей

группу

G^o, пространство

орбит

Gq\GA/T

конечно.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о

 

см.

у А. Вейля [ 7 ] , [ 1 0 ] . Эти

резуль­

таты можно обобщить на редуктивные алгебраические группы; см.

Борель [ 1 ] , Борель

и

Хариш-Чаидра

[ 1 ] , Мостов и Тамагава [ 1 ] ,

Годеман [ 2 ] .

 

 

 

 

 

Пусть g — число простых архимедовых дивизоров поля F и F » =

= F cg> Q R . Тогда

мы

можем

положить

( 9 . 1 . 1 )

В о,

=[B«,T

®

. . . ®

В - , ,

( 9 . 1 . 2 )

Fco

= Foe,

е

• • • Ф

F-g,

296

 

ГЛ. 9. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФУКСОВЫ ГРУППЫ

 

где Fс», —

центр кольца В

поле Fo=i равно или R, или С; кольцо

В относится

к алгебрам одного

из следующих трех типов: M„(R),

МП (С), МП (Н),

где Н — кольцо с

делением гамильтоновых

кватер­

нионов.

Положим (?coj =

5coj.

Тогда G оо

G оо I X . . .

X Geo,

и группа Geo; оказывается группой одного из следующих трех типов:

GL„(R),

 

GL„(C),

GL„(H).

Положим Gff = GA П G0 , G» =

G » П

GZ,i = С»,- П G U T .

Тогда

G £ =

GS,, X . . . X

G £ G .

Зафиксируем

теперь

произвольную

открытую

компактную

подгруппу Т в Go

и положим Т =

T0G%„

Г Т =

Т П GQ.

 

 

 

 

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

9.2. Пусть

Г — проекция

группы Г Т

е С » . Тогда

Г — дискретная

подгруппа

в G £ . Кроме того,

факторпространство

T\G%> компактно,

если В —

алгебра с делением.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В силу утверждения (1) теоремы 9.1

группа

GQ дискретна

в GA,

так что Г Т —

дискретная

подгруппа

в Г 0 X

GJJ,. Так как группа

Т0

компактна,

то в силу

утверждения

(3) предложения

1.10 проекция Г группы Г Г в G £ дискретна в G £ .

Согласно

утверждению

(4) теоремы 9.1, произведение

GQT является

открытым

подмножеством

в

GA.

Предположим, что

В — алгебра

с делением. Согласно утверждению (2) теоремы 9.1 и предложению

1.3, GQT = GQK при некотором

компактном подмножестве

К из

Т.

Так как Т =

T0G%,,

мы можем взять множество К в виде К

= T Q H ,

где П — компактное подмножество в G^ . Запишем каждый

элемент

группы GA в виде (х,

у), где я 6 Go и y£G£.

Так как G<»c=

GQTQH,

каждый

элемент (1, у), где у

6

можно записать в впде (1, у)

=

=

(a,

a)

(t, h), где

K E G Q ,

t£T0

и h £ Я . Но тогда а 6 G $ Л У

=

=

Г Г .

Так как y = ah,

из сказанного следует, что С £ , = Г Я .

Согласно

предложению

1.3,

факторпространство T \ G ^ компактно.

 

 

 

§ 9.2. Фуксовы группы, получаемые из кватернионных

алгебр

 

 

Под

кватернионной

алгеброй

над полем к мы подразумеваем

простую

центральную

алгебру над к ранга

4. Пусть к обозначает

алгебраическое замыкание поля к. Алгебра R над к является

кватер­

нионной тогда и только тогда, когда алгебра R ® hk изоморфна алгеб­ ре М?(к) над к. Кватернионная алгебра R над полем к либо изоморфна

алгебре М2(А:), либо является алгеброй

с делением. Пусть t r и v —

редуцированный

след

и

редуцированная норма из R в к. Тогда

можно определить инволюцию

t алгебры R над полем к (т. е. /с-ли-

нейное взаимно однозначное отображение алгебры R в себя, для

которого (ху)1 =

у1х1,

х

=

(х1)1)

равенством

 

а ; т

^

= tr(x)

(х 6 R).

Действительно, если /—произвольный /с-линейный изоморфизм алгебры R ® f t к в М2(к) и f(x) = с d , то, очевидно, tr(x) = tr(f(x))

 

 

 

 

§ 9.2.

ФУКСОВЫ ГРУППЫ

297

и,

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

/ (о-) = t r ( / > ) ) - / ( * ) =

d

~ Ъ

 

 

 

0

— Г

 

 

•с

а

 

где

)

Таким образом, i определяет инволюцию алгебры R

1

О

 

 

 

 

 

 

 

над к, которую мы называем главной инволюцией

алгебры R. Можно-

легко проверить, что v(x) =

хх1,

(у~гху)1

= у_1х1у

для всех х £ R,.

yen*.

Возвращаясь к простой алгебре В и ее центру из § 9 . 1, сделаем следующие допущения:

(9.2.1) поле F вполне вещественно;

(9.2.2) алгебра В является кватернионной над F.

В этой ситуации все компоненты F и з разложения (9.1.2) должны быть равны R, так что компоненты В «>i из разложения (9.1.1) равны либо M 2 ( R ) , либо Н, потому что M 2 ( R ) и Н — единственные кватерииоиные алгебры над R. Изменяя при необходимости порядок алгебр- В оог-, можно считать, что

 

-Do

 

, M 2 ( R )

 

( i < i < r ) ,

 

 

 

 

Н

 

( r < i < g ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

где g = [F

: Q] и г — число простых

архимедовых

дивизоров

поля

F, иеразветвленных в В

(см. ниже объяснение по поводу Рв).

В по­

следующем изложении мы будем предполагать, что

 

(9.2.3)

 

 

г >

О,

 

 

 

 

и зафиксируем раз и навсегда отождествление

5 » ; с M 2 (R) или с Н_

Группы

G СО j G со-}- и

G£> в данном

случае

можно

записать

так:

 

с?»

= G L 2 ( R ) r

х

(Н")г-Г ,

 

 

 

Gcc+

=

GL|(R)r

x

( H " ) * " ,

 

 

 

GJo =

S L 2 ( R ) r

x

{Hu)*-r,

 

 

где H " = {x e H I v(*) = 1} .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9.3. В обозначениях предложения 9.2 пусть Г' — проекция группы Г сомножитель S L 2 ( R ) r группы G°o+, и пустьвыполнены предположения (9.2.1) — (9.2.3). Тогда Г' — дискретная подгруппа в S L 2 ( R ) r . Кроме того, если В — алгебра с делением, то факторпространство r'\SL2 (R)r компактно.

Это следует немедленно из предложений 9.2 и 1.10, так как про­ странство Н" компактно.

298 ГЛ. 9. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФУКСОВЫ ГРУППЫ

Пусть

теперь

G L ^ R ) и

<g те же, что выше.

Тогда

GL^R)''

дей­

ствует на

fQr

покомпонентно.

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G..i+

=

G0G00+,

 

GQ+

=

GQ fl

 

G . . j + .

 

 

 

 

 

Определим действие " элемента а

группы

GQ+ на пространстве

Jgr

как действие проекции элемента а на сомножителе

G L K R ) 1 -

группы

G < » + . Заметим, что

группа

F*

содержится

в группе

GQ+ И совпадает

с множеством всех элементов

группы

GQ+,

тривиально

действующих

на Jg'". Обозначим через

тг

вложение поля F в поле R, полученное

отождествлением

Foot

с

R.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G Q

+

=

{а

6 В

| v(a)*i >

0

(1 <

 

i <

г)}.

 

 

 

 

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

9.4. Пусть

К — чисто

мнимое квадратичное

рас­

ширение поля Fug

— некоторый

F-линейный

изоморфизм

из К

в В.

Тогда группа д(Кх)

 

содержится

в GQ+ и

каждый

элемент

группы

д(К)х,

не содержащийся

в F,

имеет единственную

неподвижную

точку

w на £)'", являющуюся общей для всех таких элементов

из

д(К").

Кроме того, д(Кх)

=

{у 6 GQ+ | y(w)

=

w}.

Обратно,

если

какой-

нибудь

элемент

а

группы

GQ+,

не содержащийся

в поле

F,

имеет

неподвижную

точку

на £>г, то поле F(a)

изоморфно

чисто

мнимому

квадратичному

расширению

поля

F.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы

называем

точку

w неподвижной точкой

группы

q{Kx)

на

<gr.

' Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть а £ К",

а

 

F, а

=

д(а) и а ( 1 ) , ...

. . ., а< Г )

— проекции

элемента а

на

В <*>\,

. . .,

В<»г. Пусть

о г изо

морфизм поля К в поле С, совпадающий с тг иа F. Так как поле К

чисто

мнимое,

собственные

значения

оператора a( i > суть

а°1

и

aa »p ,

где р — комплексное

сопряжение. Поэтому а<{) задает эллиптическое

преобразованпе на .<§ (см. § 1.2) и, следовательно, имеет единственную

неподвижную точку

wt

на ^ . Положим

w =

. . .,

wr). Пусть

6 6 q(K").

Тогда 6(u>) =

6сс(и>) = а($(и>)),

так что

B(u>) —

неподвиж­

ная точка преобразования а на пространстве

@г.

Так

как w —

единственная неподвижная точка для а, то fi(w) =

w.

Предположим,

что y(w) =

w при у

£ GQ+. Заметим, что изотропная

подгруппа

 

 

{ I

е GL+(R) | l { w t ) =

w t }

 

 

 

изоморфна1 группе R* -SO(2) (см. § 1.2) и, следовательно, комму­ тативна. Таким образом, элемент у коммутирует с каждым элементом

группы д(Кх).

 

Поскольку д(К)

является своим коммутантом в В,

элемент у

принадлежит группе

q(K).

 

 

 

 

 

Обратно,

пусть

а

6 GQ+,

a $ F,

a(z) =

z при

z £

Пусть

 

— проекция

элемента a

иа В m i .

Заметим, что a^) ие принадле­

жит

центру R

алгебры Boot.

Поэтому преобразования

с^1 ), . . .,

эллиптические,

и

ни

одно

из

собственных

значений операторов

с^1 ),

. . .,

aW

не может быть вещественным;

следовательно,

первые

г

архимедовых простых дивизоров поля F, соответствующих

хи . . .

.

. .,

тг ,

разветвлены

в поле F(a).

Остальные g— г

архимедовых

Смотрите также файлы