Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Для любого

открытого

множества U

пространства X группы

Г (С/, ©) и T(U

П У, ©)

изоморфны.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Единственность

пучка © очевидна. Дей­

однозначно

определяют все его стебли: Sx =

Sx при х є У и

Sx=0

при х ф. У.

Во-вторых, всевозможные множества вида

s(U[)Y)[J

[){(U(](X—

У))Х 0), где U — произвольное

открытое множество

пространства X, a s — произвольное сечение

пучка ©

над

множе­

ством U, образуют, как легко видеть, базу топологии

пространства

X. Этим не только доказана единственность пучка ©,

но и дан ме­

ства

X

группу §и =

Г(£/Г)У,6) и

каждому открытому

множеству

V cz U

гомоморфизм

ограничения

rv: Г (U f) Y, ©) -> T(V f) Y, в ) ,

мы,

очевидно, получим над пространством X некоторый

предпучок.

свойством,

что ©|У =

©. Кроме того,

поскольку

подпространство

У по условию замкнуто, каждая точка х є І - У

обладает

откры­

той окрестностью

U,

для

которой

U П Y =

0,

и потому

§и =

0.

Следовательно,

© | X — Y =

0.

О п р е д е л е н и е .

Построенный

пучок

©

называется

тривиаль­

ным распространением

пучка

©.

З а м е ч а н и я .

1)

Построенный

предпучок

{§и> rv) является

ка­

ноническим

предпучком

пучка

©.

2)

Если

в некоторой граничной точке подпространства

У сте­

бель пучка © отличен от нуля, то пространство S не хаусдорфово.

2.5. Примеры.

1)

пусть

X — топологическое

пространство,

а

А — абелева

группа.

Тройка

{Ху^А,п,А),

где

X Х>4 — прямое

произведение пространства X и группы Л, наделенной

дискретной

топологией,

а

я: Х\А—*Х

— проекция

этого

произведения

на

его

первый множитель,

является,

очевидно,

пучком над пространством

X (суммой

и

разностью

точек (х, а)

и

(х,

а')

пространства

будут

при

этом

точки

(х, а-{-а')

и

{х,а

— а')

соответственно).

Этот

пучок

называется

постоянным

пучком

над

пространством

X

со стеблем

А и, как правило, отождествляется с

группой А.

2)

Пусть

снова

X — топологическое

пространство.

Сопоставив

каждому непустому открытому множеству U пространства X ад­

дитивную

группу

Sv

всех

непрерывных

комплексных

функций,,

определенных на U, и каждой паре открытых множеств

V cz U го­

моморфизм

гЦ: Sy-^Sy,

относящий

функции

на

U ее ограничение

на V, мы, очевидно, получим над пространством X некоторый

предпучок

[Sy,

Гц.] Порожденный

этим

предпучком пучок

Сс

на­

зывается пучком

ростков

комплексных

непрерывных

функций.

жеству U мультипликативную группу Sh

не

принимающих

нуле­

вого значения комплексных

непрерывных

функций,

определенных

на U. Имеет место естественный

гомоморфизм 5у—>5у,

сопо­

ставляющий

функции / <= Sv

функцию

e2n'f

<= Sb-

Эти

гомомор­

физмы

определяют

гомоморфизм

предпучков

{Sy,

г ^ } - > { 5 у ,

г^}

и,

значит, гомоморфизм

пучков

Сс—>-С*

(см.

2.2).

Ядром

гомо­

морфизма Сс

-> С* является

подпучок

пучка

X X С, изоморфный

постоянному

пучку,

стеблем

которого является группа целых чи­

сел Z. Каждый элемент z0

мультипликативной

группы

С* отлич­

ных

от

нуля

комплексных

чисел

обладает

открытой

окрестностью,

в которой может быть выбрана

однозначная

ветвь

функции

log г.

ставить

росток

(2jTi)~'log&

из Сс .

Поскольку

при

гомоморфизме

Сс->С*

росток

( 2 m ' ) - I l o g £

переходит

в росток k,

тем самым

до­

казано,

что

гомоморфизм

Сс—>Сс" является эпиморфизмом

(с

яд­

ром Z). Другими словами, над пространством X имеет место точ­

ная последовательность пучков

0 ^ Z - > C c ^ C ^ 0 .

(9)

3)

Пусть

X

—

гладкое

n-мерное

многообразие.

Это означает

(см.,

например,

д е

Р а м

[1], Л е н г

[1]), что X

представляет

собой

хаусдорфово

пространство

со счетной

базой,

для

каждой

точки

х ^ X

которого

указаны

некоторые

вещественные

функции,

опре­

рять следующей

аксиоме:

Существуют

такая открытая

окрестность U точки

х

и

такой

гомеоморфизм g

этой окрестности на открытое подмножество

про­

странства R™, что вещественная

функция f, определенная

в

окрест­

ности V произвольной

точки у е

0, тогда и только тогда гладка в V,

когда функция

ftr\

где h =

g\U

(\ V, является

^-дифференцируе­

мой функцией

в точке g(y)

пространства

R™.

Здесь

//г 1

— вещественная функция,

определенная в

некоторой

открытой

окрестности точки g(y)

пространства

Rn . Такая

функция

точки g(y)

существуют все

ее частные

производные

и

эти

произ­

водные непрерывны.

Фигурирующий

в этой аксиоме гомеоморфизм g называется

допустимой

картой

гладкого

многообразия X.

Для каждого

открытого

множества

U гладкого

многообразия

X рассмотрим аддитивную группу всех комплексных дифференци­

руемых функций

в

U (комплексная

функция считается дифферен­

цируемой,

если

дифференцируемы

ее

действительная

и

мнимая

части). Как и в примере 2), эти группы образуют некоторый

пред-

пучок

{Sv, г"}. Пучок

Сь, порожденный

этим

предпучком,

назы­

вается

пучком

ростков

комплексных дифференцируемых

функций.

Аналогично определяется пучок

Сь ростков

нигде

не

обращающихся

в нуль

комплексных дифференцируемых

функций.

Точно

так же,

как в примере 2), показывается,

что пучки Сь и Сь связаны

точной

последовательностью

0 - > Z ^ C b - > C j - * 0 .

(10)

4)

Пусть,

наконец,

X — комплексное

n-мерное

многообразие.

гладкого многообразия

(см.

А. В ей л ь

[2]): хаусдорфово прост­

ранство X со счетной базой

называется

комплексным

многообра­

зием,

если для каждой

точки

х е ! указаны некоторые

комплекс­

ные

функции, определенные

в окрестности этой точки

(своей для

комплексно-аналитическими)

в

точке

х є і ,

должны

удовлетво­

рять следующей

аксиоме:

Существуют

такая открытая

окрестность

U точки

х

и

такой

гомеоморфизм g

окрестности

U на открытое подмножество

прост­

ранства

С„, что комплексная

функция

/,

определенная

в

окрестно­

сти V произвольной

точки у е U, тогда

и только тогда

голоморф­

на, когда

функция

fh~l, где

h =

g\U[]V,

голоморфна

(в

обычном

смысле)

в точке

g(y).

гообразия определен

пучок С и ростков

голоморфных

функций:

в

соответствующих определениях следует лишь принять за Sv

адди­

тивную группу комплексных функций, голоморфных в U. Анало­

гично

определяется

и пучок

С© ростков

нигде не

обращающихся

в нуль

голоморфных

функций,

связанный с пучком

С ш точной

по­

следовательностью

0 ^ Z - * C a - > C ^ 0 .

(Н)

З а м е ч а н и я .

Пучки

Сс , Сь, С м

можно

рассматривать

и

как

пучки

С-модулей.

Однако

говорить

о точных

последовательностях

данном

пучке © над пространством X. Построение производится

в

три

этапа. На первом

этапе

строятся группы

когомологий

Hq

(U, ©)

произвольного

открытого

покрытия It =

{Ui}i є

j простран­

ства X

с

коэффициентами

в данном

предпучке

@. Затем группы

когомологий # ? ( U , © )

покрытия U с коэффициентами в данном

пучке

©

определяются

как

группы

когомологий

этого покрытия

группы

когомологий

Нч(Х,®)

и Я<?(Х, ©) пространства

X

опреде­

ляются как прямые пределы групп Нч(УХ,Щ

и

Я « ( и , © )

соответ­

ственно по «всем» открытым покрытиям

пространства X.

Г р у п п ы к о г о м о л о г и й

Hq (U, @) и

Hq (U, ©)

Пусть

® = {5у, г^} — произвольный

предпучок

над

топологи­

ческим

пространством

X и U =

{£/;}.є /

— произвольное

открытое

покрытие

пространства

X. Функция

/,

сопоставляющая

каждой

(q + 1)-членной последовательности

(/0 ,

iq)

индексов

из

мно­

жества / некоторый элемент f(i0,

L)

группы

S(u.

а ...

пи- \,

называется

q-мерной

коцепью

(покрытия

U с

коэффициентами

в предпучке

©).

Все

g-мерные

коцепи

очевидным

образом

обра­

зуют аддитивную группу С (U, ©). Формула

где f f= С

(U, ©),

определяет,

очевидно,

гомоморфизм

б": Cq(U,

@ ) - > C ' + , ( U , ©),

Группы

когомологий

Нч (U, ©) с коэффициентами

в пучке

©

определяются теперь как

группы

когомологий с

коэффициентами

в каноническом предпучке

пучка

©.

Г р у п п ы

к о г о м о л о г и й Hq

(X, ©) и Нч (X,

©)

Пусть

покрытие ® =

{ 1 / / } / є /

вписано в покрытие

U = {Ul}i

е / .

Рассмотрим

произвольное

отображение т: / - » / ,

обладающее

тем