Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

свойством, что VjCzUxf

при любом / е

/ . Формула

(т7)(/0 .

h) = ri'(f(rj0,

т.д),

где

/ є С ( U , ©), определяет, очевидно,

гомоморфизм

%': C ( U , Щ->С{Ъ,

©).

Здесь положено W=*Vf0[)

...'[\Vi

и

= t / T / p n

••• ПС/т/, так

что

І Г с Г ' .

*

Для любого q^O имеет место

коммутативная

диаграмма

C 9 + I ( U ,

© ) ~ > C " + I ( 2 S , ©)•

Следовательно, гомоморфизм т* индуцирует

гомоморфизм

й:

Я*(П,

©).

Л е м м а 2.6.1. Гомоморфизм

t% зависит

только

от открытого

покрытия

U и

вписанного

в

него

открытого

покрытия

Ъ и не зави­

сит от выбора

отображения

х:

Кроме

того, гомоморфизм t\

является

тождественным

отображением

и

для любого

открытого

покрытия

Ш,

вписанного

в

покрытие

23,

имеет место

равенство

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть т

и х'

— два отображения

из /

в I,

обладающие

тем свойством, что Vt

cr Ux! П С///. Для каждого

q ^

1 определим гомоморфизм (оператор гомотопии)

формулой

где

/ є С

(U, ©). Здесь

положено

^ = ^ /

о п . . .

n v ,

^

= с ч л

• • • п с / т / А л с / ^ / д п с ^ х - / А + 1 л •• • n t / t V l ,

так

что W с Wh.

Ясно,

что

k^

=

{x')"

~х\

6 « - ^ Ч ^ + ,

в « =

( т У - т *

для

Этим доказана первая часть

леммы. Остальные утверждения

те­

О п р е д е л е н и е .

Группой

когомологий

№(X,

®)

топологиче­

ского пространства

X

с коэффициентами

в данном

предпучке

©

называется прямой предел групп # ? ( U , ©) по отношению к гомо­

морфизмам

t%, где

U пробегает

все собственные

покрытия

про­

странства X.

Группой

когомологий

Я«(Х, ©) пространства

X

с

коэффициен­

тами в пучке

©

называется

группа

когомологий

этого простран­

ства с коэффициентами

в каноническом предпучке для ©.

Группа когомологий H°(U, ©) по определению представляет

собой группу функций /, сопоставляющих

каждому

индексу і <= /

некоторое сечение fi

пучка ©|£/* и обладающих тем свойством, что

fi = fi на

Uif)Uj.

Следовательно,

#°(U ,

<гэ)=Г(Х,

©) . Иными

словами, имеет

место

Т е о р е м а

2.6.2. Группа

когомологий

#°(Х,

©)

естественно

изоморфна

группе

Т(Х,

©) сечений

пучка

© над пространством

X.

Т е о р е м а

2.6.3.

Группы когомологий

Hi{Y, ©)

и

Нч(Х,<5)

естественно

изоморфны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Каждое открытое

покрытие

U =

{ £ / J i ( S /

пространства

X определяет некоторое открытое покрытие

U \Y =

= {UІ Г) У}/є /пространства Y, причем любое

покрытие подпростран­

ства Y может

быть

так получено. Далее, для каждого открытого

множества U пространства X группы T(U Л Y, ©) и T(U,

©) есте­

морфизмами ограничения

для V а 0.

Следовательно, для всех

а имеют место изоморфизмы

C(VL\Y,

S ) s C ' ( U ,

§) ,

сов {С4

(U | Y, ©)} и {С (U, ©) и потому,

индуцирующие изомор­

физмы

Hq{\\\Y, <S)s* Hq{\\,

©).

Теорема

доказана.

A.: Hq{\\, Щ^Н"(\\,

©).

H"(U,

®)—+Hq(\\,

©)

4

4

(12)

Я " (S3,

(«В, © ) ,

тельность предпучков над пространством X (см. 2.4):

О -> ©' — > © - >©" - >• О

(13)

Здесь 0 — нулевой предпучок, сопоставляющий каждому

откры­

тому множеству пространства X нулевую группу. Пусть

U — произ­

вольное открытое подмножество пространства^. Предпучки

©', @ и

@ " СОПОСТаВЛЯЮТ ЭТОМУ МНОЖеСТВу НеКОТОрЫе ГруППЫ Su,

S(j

и Sy,

0 - *C'(U , © ' ) — > С ? ( U , ©) - ^ - >C 9 (U, ®")-+0,

(14)

индуцированная последовательностью (13), также является

точ­

ной.

логий

о - > я ° ( и ,

©0 — > я ° ( и ,

© ) - ^ я ° ( и ,

©")—*-> я 1 (U,

© ' ) - *

•••

. . . ->Hq(U,

©') — i> Н" (U, © ) я 9

( U ,

©") — > я 9 + ! ( U ,

©о - > .. .

(15)

Здесь гомоморфизм б'

определяется

следующим

образом. Пусть

6 е Я ' ( i t ,

©"), и пусть

/ є С ' ( U ,

©") — произвольный представи­

тель класса когомологий Ъ. В

силу

точности

последователь­

ности (14)

существует

такая коцепь g <= Cq (U, ©), что

ht(g) = f.

Так как 6gf~0,

то htdqg

— 0 и,

следовательно,

коцепь

dqg при­

надлежит

подгруппе

Cq+l

(U, ©')

группы

C 7 + 1 ( U ,

©).

Поскольку

б7 4 "1

{tfg) =

0.

коцепь

б9 определяет некоторый

элемент

группы

Нч+Х

(It, ©')"• Этот

элемент

и принимается

за

6qb.

Ясно,

что

для

любого

открытого покрытия

93,

вписанного

в покрытие U, имеет

место коммутативная

диаграмма

Я ' ( И ,

® " ) - ^ > Я " + ! ( и ,

©')

'

4

4

(16)

У

У

Я"(93, © " ) - ^ > Я " + 1 ( 9 3 ,

©')•

б?: Hq(X, ®")->Hq+1(X,

©0.

.н"(п,

© о - ^ я ' т ,

©)-*** я ' ( и ,

©") — > я " + 1

( и .

©о-

А

А

А

А

(17)

'si

'щ

гщ

гш\

У

У

У

У

Я«(93,

© ' ) — % Я * ( и ,

@ ) - * І > Я * ( » ,

© " ) - £ > Я , + 1

( » ,

© ' ) -

Л е м м а

2.7'.1.

Каждая

короткая точная

последовательность

0 _ * © ' - > @ ^ @ " - > 0

предпучков

над топологическим

пространством

X естественным

образом определяет

точную

последовательность

групп

когомоло­

гий

0->Н°(Х, © ' ) - > Я ° ( Х / © ) - > Я ° ( Х ,

© " ) - > # ' ( * , © ' ) - > . . .

... ->Hq(X,

®')->Hq(X, ®)->Hq(X,

®")^+Hq+x{X,

©0-*... (18)

С л е д с т в и е .

Если точная

последовательность

0 - > © ' - > © — • >

о предпучков

над

топологическим

пространством

X

обладает

тем свойством,

что

=

©'0 = 0

Н"{Х,

для

всех

q^O,

то гомоморфизм

Л.:

НЦХ,

®)-+Hq{X,

©)

является

изоморфизмом

(для

всех

q ^ 0).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

h(®)—образ

гомоморфизма

h.

Тогда имеют место точные последовательности

0 ^ © ' - > © - * / г ( © ) - > 0

и О-» Л ( © ) - > © - • в * - * 0,

и

потому^ отображения

№(Х,

©)-> НЦХ,

h(®))

и НЦХ, h(©))->

О п р е д е л е н и е .

Открытое покрытие

и = { £ / ; } г < = ;

простран­

ства X

называется

точечно

конечным,

если

каждая

точка

про­

странства X принадлежит лишь конечному числу множеств

Ui.

Покрытие

Ц

называется

локально

конечным,

если

каждая

точка

пространства X обладает открытой окрестностью, пересекающейся

лишь с конечным числом множеств

Ui.

О п р е д е л е н и е .

Топологическое

пространство

X

называется

паракомпактным,

если оно хаусдорфово и

в

любое его открытое

покрытие можно вписать локально конечное покрытие.

Т е о р е м а

2.8.1

( Д ь ё д о н н е

[1],

теорема

1).

Каждое

пара-

компактное

пространство

нормально.

- Т е о р е м а

2.8.2

( Д ь ё д о н н е

[1], теорема

3). Каждое

локаль­

но компактное

пространство,

являющееся

объединением

счетного

числа

компактных

подпространств,

паракомпактно.

В

частности,

каждое

локально

компактное

пространство

со

счетной базой

пара-