Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

З а м е ч а н и е .

Если

£ есть

О(q)-расслоение,

то

это

же

рас­

суждение показывает, что p(i|)(£)) =

g ф £. Однако

если

g ориен­

тировано, то,

как легко

проверить,

естественные

ориентации

на

— q {q—U

рі|>(£) и | ф |

отличаются на

множитель ( — I ) 2

4.6. Пусть

X— гладкое m-мерное

многообразие,

необязательно

ориентируемое

(см.

пример

3.2.5). Пусть U =

{ t / j i

e /

— открытое

покрытие X, такое, что каждое £/,• допускает гладкую систему ко­

ординат

х\1\

х(£. Контравариантным касательным

GL(m, R)-

расслоением

R 0 для

X

называется

гладкое расслоение,

задаваемое

U-КОЦИКЛОМ

f

=

{fij},

где

(10)

и где fa

— якобиева

матрица

координатных преобразований

от

Uj

к

Ui. Расслоение

R9 есть элемент из когомологического

множества

Я 1

(X, GL(m, R)t), и

мы

будем

его

просто называть

касательным

расслоением

для

X.

к

X — это

Допустимая карта

для

гладкий

гомеоморфизм

от­

крытого

подмножества

UH

из

X

на

открытое

подмножество

Vu

ности, можно

рассмотреть

открытое покрытие

U =

{ £ / и } и є /

с ,

где

К— множество всех допустимых карт для X.

По

формуле

(10)

МОЖНО ПОСТРОИТЬ U-КОЦИКЛ / =

{fij}.

С помощью коцикла / можно построить (см. 3.2а)

векторное

расслоение

я £

над

X

со

слоем

R M

и структурной

группой

GL(m, R ) .

Расслоение д $

представляет

собой векторное расслое­

ние контравариантных касательных векторов к X. Согласно 4.5(9),

fij можно

рассматривать

также

как

отображения

Ui Л Uj

в

GL(m,C) . Тогда коцикл f определяет векторное

расслоение

Д

со

слоем Ст,

которое называется

комплексификацией

расслоения

RZ.

О п р е д е л е н и е .

Классами

Понтрягина

pi (X) є

Нн

(X,

Z)

гладкого многообразия X называются классы

Понтрягина

каса­

тельного расслоения нб над

X.

X можно

Ориентированное

m-мерное

гладкое многообразие

по­

стемы координат х\{),

х^,

согласованные с

ориентацией

(ориентация определяется

порядком

х\1)

х<£у

Отображения

fij из (10) для такого покрытия

дают

коцикл

UІ

(\.U

-* GL + (m,

R),

тературе

несколько

отличаются

от

данного здесь

(см.,

например,

С т и н р о д

[1]). Приведенное определение достаточно для целей

настоящей работы.

Из теоремы 4.5.1 немедленно следует

Т е о р е м а

4.6.1. Классы

Чженя

ct

почти комплексного

много­

образия

X связаны

с классами

Понтрягина

р{

для

X,

рассматри­

ваемого

как

гладкое

многообразие,

соотношением

оо

оо

оо

/ * = 2 ( - I ) ' P < = 2 2( - I

г=о

г=о

/=о

4.7. Пусть

теперь X — комплексное

многообразие

комплексной

размерности

п (см. 2.5, пример 4).UДопустимая) 4

карта

для

к —

это голоморфный гомеоморфизм

открытого

подмножества

UK из X

на открытое

подмножество

VK

из_ С п .

Карта

определяет

на

£/„

комплексные

координаты. Пусть U =

{ £ /,J x e E / < — открытое

покры­

тие X,

где К — множество всех допустимых карт для

X.

9 для X

Контравариантным касательным GL(n, С)-расслоением

называется

комплексно-аналитическое

расслоение,

задаваемое

U-КОЦИКЛОМ f = {fij}, где

fdz{l)\

f<! = [jjn]'<

tfi№-*GL(n,

С).

Как и

в 4.6(10), fa — якобиева

матрица

координатных

преобразо­

ваний

из

Uj

в

и{.

Согласно сказанному в п. 3.2а, с помощью коцикла / можно

построить над X векторное расслоение

£

со слоем

С„,

ассоцииро­

ванное

с 0.

Расслоение 2 является векторным расслоением кон-

травариачтных

касательных

векторов к X,

Аналогично

с

помощью

О п р е д е л е н и е .

Классами

Чженя с,- (X) єн Н2І

(X, Z)

комп­

лексного многообразия

X

называются классы Чженя

касательного

расслоения в к X. Если X рассматривать как гладкое

многообра­

зие, то над X определено

векторное расслоение R£C СО слоем

Сгя

(см. 4.6). Имеются гладкие изоморфизмы

2- © 2>

(И)

Г 0 Т ,

(12)

2 л р г ф я * г .

(13)

Р+Ч—г

фициентами.

Разложение

(13) соответствует однозначному

пред­

ставлению такой формьг в виде суммы форм

степени

г

и

типа

(p,q)

с р +

q = г.

Наконец,

упомянем о главном

касательном

расслоении

к

ком- -

плексному многообразию X. Оно ассоциировано с касательным

GL(M, С) -расслоением 0

и может

быть построено, как

в

3.5. Его

слоем

в точке х єн X является

множество всех

изоморфизмов

фик­

сированного

векторного

пространства

С „ с векторным

простран­

ством

Zx

контравариантных касательных векторов к I

в

точке

х.

4.8. Пусть X — ^-мерное

гладкое

подмногообразие

m-мерного -

гладкого

многообразия У. По определению X является

замкнутым

подмножеством в У со следующим свойством: каждая точка

х є і

обладает

открытой

окрестностью

U в У, имеющей гладкие

коорди­

наты

Щ, «2,

• • • » ит,

В КОТОрЫХ Uf]X ЗЭДаеТСЯ ураВНеНИЯМИ Uft+i

=

Обозначим через /: X—>У

вложение подмногообразия

в много­

образие,

и рассмотрим контравариантное касательное

расслоение

R£ для У. Пусть L — ассоциированное

расслоение над У со слоем

®(k,m

— &;R), построенное в п. 4.1 g.

Поле касательных /г-плоско-

стей

к X

определяет гладкое

сечение

для j * L .

Следовательно,

по

слоение RQ(X) К X. Факторрасслоение

R v называется нормальным

расслоением

подмногообразия

X в У. По теореме

4.1.4

r R 6 ( y )

= R e W 0 R v .

(14)

Аналогичный

результат имеет

место,

если X

и

У ориентированы.

В этом случае нормальное расслоение будет

GL+(m — k, R) -рас­

слоением. В

частном случае,

когда

m — k — 2,

нормальное рас­

ния R v

определен класс

Чженя.

Т е о р е м а

4.8.1.

Пусть

/:

X—*Y — вложение

ориентированного

компактного

( т — 2)-мерного

гладкого

многообразия

X в

Ориен­

тированное

компактное

m-мерное

многообразие

У.

Пусть

h

е

є Я2 (У, Z) — класс

когомологий,

определенный

по

отношению

к

данным

ориентациям

(пг — 2) -мерным

классом

гомологии,

пред­

ставленным

подмногообразием

X. Пусть

R v — нормальное

расслое­

ние для

X в

У.

Тогда

с , ( ^ ) = /'Л.

(15)

Д о к а з а т е л ь с т в о . По

утверждению

4. lb IV),

примененному

к вложению SO(m)czGL+(m,

R),

касательное

GL+(m, R)-pacoioe-

ние к У можно рассматривать

как SO (m) -расслоение. Следователь­

но, У допускает риманову

метрику. С помощью этой

метрики

мож­

но построить замкнутую трубчатую окрестность В для X в У. Эта

окрестность

В

будет

расслоением

над

X

с

единичным

кругом

| г | ^ 1 ,

г є С

в качестве

слоя, ассоциированным

с

нормальным

U(1)-расслоением R v

{Том [2]). Пусть

В—

компактное

простран­

ство, получающееся

из

В

стягиванием границы

S

многообразия

В

в точку; В можно также получить из У стягиванием

замкнутого

подмножества

У— (В — S)

в

точку. Отображение

г:

У —• В

опре­

деляет гомоморфизм в когомологиях г*: Н*(В,

Z)—>Я* (У, Z). По­

этому в обозначениях

теоремы 4.3.2

4.9. Пусть X — Xk — комплексное подмногообразие

комплекс­

ного многообразия Y=Yn(kr^Zn).

По определению X — замкну­

тое подмножество в У и каждая точка Ї Є

І имеет

открытую

окрестность

U в У с комплексными координатами Z\,

z2, . . . ,

z„,

для которой

U(]X задается уравнениями zh+\

— ...

— zn =

0.

Рассмотрим

вложение /: X-*Y

и касательное

GL(n, С) -расслое­

ние 9(У) для

У. Как и в 4.8, ограничение /*0(У)

расслоения 8(У)