Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

на X допускает подрасслоение и факторрасслоение.

Подрасслое-

нием

является

касательное расслоение

В(Х)

к X.

Факторрасслое­

ние v

является

комплексно-аналитическим нормальным расслое­

нием для X в У. Если все расслоения рассматривать как гладкие

расслоения,

то

/*9(У) является суммой Уитни 9(А') и v.

Рассмотрим

теперь частный случай,

в

котором

X =

А'п _1 яв­

ляется комплексным подмногообразием

в

Y =

У„ комплексной ко­

размерности 1.

В этом случае X называется неособым

дивизором

в Y. Имеется

покрытие

У открытыми

множествами

Uiy

такими,

что X[)Ui

определяется

уравнением fi =

0.

Здесь

ft

— голоморф­

отличны от нуля в каждой точке y^Uif]X.

Функции

fij =

fifjl

голоморфны

и не обращаются в нуль на UiOUj.

Коцикл

{/г з } опре­

деляет комплексно-аналитическое С*-расслоение [X]

над

У,

зави­

сящее только от дивизора X. Например, расслоение цп

из 4.2

опре­

деляется неособым дивизором P„_i(C) в Р„(С) .

Т е о р е м а

4.9.1.

Пусть

X — неособый

дивизор

компактного

комплексного

многообразия

У,

и пусть / г є Я 2

( У Д ) — класс

кого­

мологий,

определенный

ориентированным

(2п—2)-мерным

циклом

X. Тогда

сЛ ([X]) =

п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Мы используем

те же

обозначения,

что

и в доказательстве теоремы 4.8.1. Расслоение

[X] тривиально

над

У—X, поэтому существует

расслоение [X] над

В, такое,

что [X]

=

=

г*[Х]. Как

и в теореме 4.3.2,

cl{[X})

=

r-cl([X])

= r*(g'st(l))

=

h.

Наконец,

пусть

X =

X2k

— ориентированное

гладкое

подмного­

образие

почти

комплексного

многообразия

У = У„

(2k<.2n),

предположим, что на X задана почти

комплексная структура.

Пусть / — вложение X в У.

О п р е д е л е н и е .

X

называется почти

комплексным

подмного­

образием

в У, если существует

гладкое GL(п — k, С)-расслоение

v

над X,

такое,

что

GL(« — k, С) cz GL+(2ft — 2k, R)

I)

при

вложении

расслоение

v

отображается в нормальное расслоение к X в У;

П)

f e ( y )

=

9(A*)©v.

Это определение почти комплексного подмногообразия

несколь­

ко грубо, однако оно достаточно для наших целей.

Согласно

сказанному в п. 4.8, условие

I)

всегда

выполняется

в

случае

п —

k=

1. Ясно, что

комплексное подмногообразие

ком­

( С ' т и н р о д

[1], 39.7

и

41.8;

другое

доказательство

намечено

в 4.11).

Т е о р е м а

4.10.1.

Пусть

Vn

— компактное

почти

комплексное

многообразие

и c n e / i 2 n ( V „ , Z )

— его 2п-й

класс Чженя.

Есте­

ственная

ориентация

Vn определяет целое число сп [У„]

(см.

0.3),

которое

равно

эйлеровой

характеристике

многообразия

Vn.

Эйлерова

характеристика

для Р„(С)

равна п + 1 .

Этот

факт

Понтрягина для Р„(С).

Т е о р е м а

4.10.2.

Пусть

hn

є

Я 2 (Р„ (С), Z)—образующий

элемент,

определенный

в

4.2.

Класс

Чженя

комплексного

много-

п

образия

Р„(С)

равен

(1 +

hn)n+l

=

^] ("

1"1 )hl n .

Класс

Понтря-

гина гладкого

многообразия

РП{С)

равен

(l +

hn)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

теореме

4.10.1 формула

для

класса

Чженя

верна для

n =

1.

Предположим,

что

формула

уже

дока­

зана для P„_i(C), и рассмотрим

вложение

/:

P„_i(С)—>• Р„(С).

Используя теорему 4.9.1,^формулу

умножения

Уитни

и

тот

факт,

что j*hn

— hn-.u

получаем

Гс (Р„ ( с ) ) = с (Р„_, (С)) • г

(і + К)

= г

а

+

К)п+\

Но

/*: H2i(Pn(C),

г ) - > Я 2 ' ( Р „ _ 1 ( С ) ,

Z)

является

изоморфизмом

для

i^.n—1,

следовательно,

с(Рп

(С)) =

(1 +

hn)n+1

mod Я 2 П ( Р „ (С),

Z).

По

теореме 4.10.1

сп (Р„ (С)) — (п + 1) /г". Этим

завершается

дока­

4.11.

Пусть

X—

компактное

ориентированное

многообразие

и

і — SO (q)-расслоение

над X. Конструкцию теоремы 4.3.2 можно ис­

пользовать для

определения класса

Эйлера e ( ^ ) e W ' ( I , Z )

для

\.

Пусть В-+Х—

расслоение с единичным

шаром

D'7

=

|(A;1,

xq)

q

e R ' ;

Д] x ? « ^ l }| в

качестве слоя, ассоциированное

с

| ; В — мно-

«=1

>

и ориентацией, согласованной с ориентациями

гообразие с краем

X и R9 . Граница S

многообразия В является расслоением над X

со слоем

Пусть s: X—>В— S — вложение

X

в качестве

нуле­

вого сечения в В. Имеется гомоморфизм

Гизина

s.:

Я ' (X, Z) -> Hc+q

(В -

S,

Z),

і >

0,

определенный,

как в 4.3. Пусть X'—

другое

компактное

ориенти­

рованное

многообразие

и /: X'—>Х — непрерывное

отображение.

Тогда по SO (q) -расслоению

/*| также

можно

построить В', S',

s',

и имеется

естественное

отображение

/: б 7

— 5 ' — —

5.

В

этих

обозначениях

имеет

место

Т е о р е м а

4.11.1

( Т о м [1]). Гомоморфизм

Гизина

является

изоморфизмом

для

і ^

0, и

диаграмма

Н' (X,

Z)

- £ >

W (Х\

Z)

s

s'\

*

HifiB-S,

V

Z)^Hitq{Bf-S',

У

Z)

коммутативна.

Пусть

1 є Я ° ( Х , Z) —единичный

элемент.

Класс

Эйлера

е(|)

для £ определяется

равенством

e(g) =

s*s*l. Согласно

4.lb,

класс

Эйлера

определен

также

для

любого

QL+(q,

R)-расслоения

|

над X.

Т е о р е м а

4.11.2.

Пусть

X,

Y —

компактные

ориентированные

многообразия,

f:

Y—*Х — непрерывное

отображение,

| —

SO(q)-

расслоение

над

X,

а

| ' — SO (q') -расслоение

над

X.

Тогда

I)

2е (|) =

0,

если

q

нечетно;

II)

е(П)

=

Ге&);

III)

e{im')

=

e(l)e(V);

IV)

еЦ) =

с1(1),

если

q — 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из определения s, следует, что

st(s*b-c)=

= b • s,c

для

b <= Н'с(В — S,

Z),

с є

Н1

(X, Z). Следовательно,

st (2е (£)) = 2st

( s \

1) =

2st 1 • st 1 = 0

для

нечетных

q,

так

как

w-произведение антикоммутативно. Так как

s* — изоморфизм,

то

2е(|) — 0

для

нечетных q. Этим доказано I ) . Утверждение II)

следует

из теоремы

4.11.1. Чтобы доказать

I I I ) , рассмотрим

рас­

ничные шары

С для £ ®

Пусть t: В—*С,

t'\ В'—*С — вложения,

определенные

прямой суммой, и u — ts =

t's' — вложение X

в С,

определенное нулевым сечением. По теореме 4.11.1

s,s"l — t%l

и,

следовательно,

Значит,

и'иА

=s'f(0)

• s'r'(U) = sX(s"l) •

s'Y.is'l).

Таким

образом, e(£ ® \')

= e(Qe(l'),

как и требовалось. Утверж­

дение

IV) следует из изоморфизма

S O ( 2 ) = £ / ( l )

и теоремы 4,3.2.

З а м е ч а н и я .

1) Определение класса Эйлера, теорема 4.11.1

и теорема

4.11.2 в

действительности сохраняют

силу

для

SO(q)-

расслоения

|

над

произвольным

допустимым

пространством X

(см.

4.2). Следовательно,

(16)

также справедливо в

этом

случае.

2) В случае когда | есть О (q)-расслоение,

определение

s* не­

применимо, так как расслоение

В уже ориентированным

естествен­

ным

образом

не

является.

Если

же

все

группы

когомологий

берутся

с

коэффициентами

Z2 , то теорема 4.11 остается

справед­

ливой

и

в

этом

случае,

и

S*S , ( 1 ) GW « ( JC,Z 2 )

есть

q-й

класс

Уитни

wq(l)

для

£. Можно

определить

полный

класс

Уитни

q

W(Q

—

2

wt

&)• Он обладает следующими свойствами:

I)

Для

всякого

непрерывного

О (q) -расслоения

|

над

допусти­

мым

пространством

X и для всякого

целого

числа

і ^

0

определен

класс

Уитни до* (£) е Н1 (X, Z 2 ) ;

©о (і)

есть

единичный

элемент,

w0(l)=

1.

(&)•

Н)

о»(/*£) =

IV) ш(т]п ) =

1 + hn,

где

т]„ —

О(1)-расслоение

над

п-мерным

вещественным

проективным

пространством

P n ( R ) ,

определенное

аналогично

U (1) -расслоению

тг\п

из 4.2, a hn

— ненулевой

элемент

из

tf'(P»(R),Z2).

многообразие

с касательным

рас­

В

случае

когда X — гладкое

слоением

R0, класс Уитни

w(X) — w(nQ)

иногда

называют

клас­

сом Штифеля — Уитни.

Доказательства существования и единственности классов Уитни

вполне аналогичны соответствующим

доказательствам

из 4.2 для

классов Чженя. Имеется также определение W\, аналогичное опре­

делению

Сі в теореме 4.3.1. Точная

последовательность

i-^soto)->o(<7H?>z2^i

определяет

гомоморфизм

р»: НХ(Х, 0(q)c)

^-НХ(Х,

Z 2 ) , такой,

что

р„(|) =

Следовательно, гладкое

многообразие

ориентируемо

тогда

и только тогда, когда

W\(X) = 0.

3)

Вложение

SO (q) <zz O(q)

определяет

класс

Уитни

и

класс

Понтрягина

для SO(q)-расслоения

£. В этом

случае

Доі(|)

совпа­

дает

с е(1)

по модулю 2. Если |

есть

SO (2q) -расслоение,

то (см.

4.5) SO (4д)-расслоение

p(if>(£)) отличается

от | ф

|

на множитель

(—1)9, учитывающий изменение ориентации, и, следовательно,

Ря (!) = (~ D* с*я (Ч> (&)) = (~ 1)а* е (£ Ф I ) =

е

(If.

Наконец, если £ является U(^-расслоением

над X,

то р(£) будет

SO (2д)-расслоением. В

этом случае

до2г(р(|))

совпадает

с

редук­

цией по модулю

2 классов

Cj(|),

и І02і+і(р(І)) = 0,