Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Библиографические

замечания

99

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ

ЗАМЕЧАНИЯ

Доказательства лемм 1.5.2 и 1.7.3, а также приложения

мультипликативных

последовательностей к когомологическим операциям можно

найти у А т ь и и

Х и р ц е б р у х а [4].

вливается

только

для паракомпактных

пространств

(теорема 2.10.1). Для произ­

вольного

топологического пространства

X первое определение групп когомологий

с коэффициентами

в пучке, удовлетворяющее аксиоме точности когомологической

последовательности, было дано Г р о т е н д и к о м

[2]. Эти группы определяются

с помощью гомологической

алгебры, или, эквивалентно, с помощью вялых резоль­

вент ( Г о д е м а н

[1]). В

случае когда X паракомпактно, когомологий Гротен-

связаны спектральной последовательностью

( Г о д е м а н [1], гл. II, 5.9.1).

Более полное изложение теории расслоенных пространств дано в

книгах

С т и н р о д а [1] и Х о л ь м а н а [1]. Очень

удобно заменить все условия

на базу

слоение. Такое

изложение в терминах нумеруемых

расслоений было дано

Д о л fa-

д о м

[3]; более того, расслоенные пространства

рассматриваются как

частный

случай

более общих

(не обязательно

локально

тривиальных)

расслоений. Резуль­

таты

§

3 обобщены

в

других

направлениях

Г р о т е н д и к о м

[1],

Ф р е н к е ­

л е м

[1], X о л ь м а н о м

[2].

Пусть G — топологическая

группа, Е — главное расслоение,

ассоциированное

с G-расслоением

т) над паракомпактным пространством Y,

и [X, Y] — множество

гомотопических классов (см. 4.lb) непрерывных отображений

X-+Y.

Рассмотрим свойство

(*)

Отображение

Т: [X, Y]-*-Hl(X,

Gc), заданное равенством

T(f)

=

f*r\, яв­

ляется естественной

эквивалентностью.

X тогда -

Свойство

(*)

выполняется

для

всех паракомпактных пространств

и только тогда, когда Е стягиваемо

( Д о л ь д

[3], 7.5). В этом случае

простран­

вается классифицирующим

пространством

B(G) для G. Такие

пространства

всег­

да существуют ( М и л н о р

[1], Д о л ь д

[3], 8.1). Расслоение

Е называется

уни­

версальным расслоением.

В общем случае классифицирующее

пространство

бес­

конечномерно. Например,

В (U (q)) =

lim @ (q, N; С), В (О (<?)) =

lira

© (q, N; R).

N->°o

N-><x>

Предположим, что E линейно связно и гомотопические группы nf(E)

три­

виальны для I

і ^

п. Доказано,

что в этом случае

условие

(*)

выполняется

для

некоторых

категорий

пространств

X. Д о л ь д ([3], 7.6)

доказал

это

для

паракомпактных

пространств

X,

являющихся

локальными

ретрактами

клеточных комплексов размерности

^.п;

К а р т а н

([1], сообщение VIII)

доказал

это для локально компактных паракомпактных X размерности

^ п ; С т и н р о д

([1], 19.4)—для конечных клеточных комплексов размерности

^ я . В этих

слу­

чаях главное расслоение Е называется

п-универсальным

Если

G — компактная

группа Ли, то такие расслоения всегда существуют и имеют

в качестве

базы

конечномерное

гладкое многообразие ( С т и н р о д

[1],

19.6). Например,

расслое­

ние

U (q +

N)/U (N) над © (q, N; С) является 2Л?-универсальным (см. 4.2), а рас­

слоение 0(k

+

N)IO{N)

над ®(k, N\ R)

(N — 1)-универсально.

Основные

теоремы

о

классах

Уитни и Чженя

имеются у

С т и н р о д а

[1].

инвариантами ( Т о м [1]). Классы

Понтрягина не являются топологическими ин­

вариантами ( М и л н о р

[6]). Однако С. П. Н о в и к о в [1] недавно

доказал, что

рациональные классы Понтрягина

являются топологическими инвариантами. Оп­

ределение рациональных

классов

Понтрягина для комбинаторных

многообразий

(необязательно гладких) было дано

Т о м о м

[3} и

Р о х л и н ы м

и Ш в а р ­

ц е м

[1].

В

приложениях к алгебраической

геометрии

над

более общими

полями важ­

В

изложении

Г р о т е н д и к а

[4]

классы

с,(|)

также

определены

через

С] (|)

с использованием метода расщепления. Каждое

GL(q, С)-расслоение

£ опре­

деляет

в обозначениях: п. 3.1с расслоение

X -*- X со слоем

P a _ i ( C )

и

точную

последовательность

0 - >г) - >а|)*| - »|ч> - 0

расслоений

над X. Так

как

т|* ®

I

является

GL(q—1,

С)-расслоением,

то

0 =

cq (ц* ®

I) =

с„ (тГ ®

ч>*1) =

У +

V * i

(£) +

• • •

+ Гсч

(І),

где у = —С] (г)). Так как

— мономорфизм,

то

эта формула

(формула

Хирша)

может

быть взята

в качестве определения классов с*(£) для

< >

1. Этот

же ме­

Сформулированы

некоторые

результаты

из

теории

кобордизмов

Т о м а [2]. С их

помощью доказывается, что

индекс многообразия

Mih выражается

многочленом

от

классов

Понтрягина

этого

мно­

гообразия (теорема 8.2.2). Этот

результат

используется в п.

19.5

чаться через x[Vn].

Если А—

аддитивная

группа

и х єн Hn(Vn,

А),

то х[Уп ]єнЛ. Это определение естественным

образом

распростра­

няется и на случай,

когда х єн Нп

(Vn,

А) ® В.

Тогда x[Vn]<=A

<8> В.

При фиксированном х это значение x[Vn]

зависит от ориента­

ции. Однако если

Vй

связно,

то

оно определено

с

точностью до

знака.

Пусть теперь размерность n—\k

многообразия

Vа

делится

на 4,

и пусть р{ — классы Понтрягина

для

Vn,

р{ єн Я 4 ' (Vn,

Z) (см. 4.6).

Для каждого произведения p.p.

...

р.

веса

k =

/, +

. . . + /, можно

образовать целое число pfp.

. . .

р/

[V").

Всего

существует

n(k)

таких чисел, что

n(k)

— число

разбиений

числа

k.

Эти числа

назы­

ваются числами

Понтрягина многообразия

V".

Рассмотрим кольцо

многообразие

Vik

индуцирует

гомоморфизм

модуля

23ft в

кольцо

коэффициентов

В;

сопоставленным элементу

а е

23ft элементом

из

В будет a[Vik]

єн 23.

Если размерность п многообразия Vй

не

де­

лится

на 4,

то

мы

полагаем

все числа Понтрягина

для

Vй рав­

ными

нулю.

5.2.

Пусть

Vn

и

Wm — два

ориентированных

многообразия,

и

пусть

Vn X Wm

— их

произведение, ориентированное

ориентацией,

R6 (Vn

X Wm) = fR9 (Vn) 0 gp

(Wm),

где /: Г

Х Г

- >

Г

и

g: Vа

X Wm->Wm

-

проекции, a R9(Kn ) —

касательное

GL(rc,

Я)-расслоение

к У" (см.. 4.6).

Мы

обозначим через pt классы

Понтрягина для Vй через

р'{ —

классы

для

Wm

и

через

pi—классы

Понтрягина

для

V " X

Wm.

Тогда

в

целочисленном

кольце

когомологий

произведения

(по

модулю

кручения)

имеет

место

следующее равенство

(см.

4.5):

1+РЇ

+

РЇ+

.. • = Г ( 1 + Р 1

+ Р 2

+ . . . ) £ * ( 1 + ^

+

Р 2 + - - - )

(1)

Вводя

переменную

z,

можно

переписать

(1)

в

виде „много­

членного

уравнения"

со

оо

со

2

PbZk

= 2 Ї*(Pt)z'

2

g*(Р^)2;

по

модулю

кручения.

(2)

Кроме

того,

имеет

место

равенство

(Г (*) g* (У)) Wn

X Щ

=

х [Vn]

• у [Wm]

(3)

для всех

х є= Я " (7 я ,

Z) ® 5

и j / є Я т

(1Гт ,

Z) ® В.

Пусть

теперь

V4 f t

и

Wir

— ориентированные

многообразия

раз­

ного

произведения V4k X Wir можно выразить с помощью уравне­

ний

(2) и (3) через числа Понтрягина сомножителей.

ных последовательностей из § 1.

Л е м м а 5.2.1. Пусть

{Kj(pu

.. •, pj)}

— некоторая

m-последова-

тельность (см. 1.2), К, є

333-. Тогда

Kk+r[Vik

X

= Kk [Vik]

• Kr

Wir\.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из равенства

(2)

и из 1.2(3), (4), Сле­

^

* * н Ж . • • - p'Ur)=r{Kk{PvPk))•

g(Kr(P[>

• • •> К))-