Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Для /(-рода некоторой

m-последовательности {Kj{p\,

Pj)}

имеем

K(Vn+

Wn)

= К (Vа) + К (Wn),

(I*)

K(-Vn)

= -K(Vn).

(2*)

6.2. Мы введем теперь для ориентированных «-мерных много­

образий следующее отношение эквивалентности: Vй «

Wn

будет

означать, что соответствующие числа Понтрягина для

Vn

и Wn

совпадают. Для n ^ 0 m o d 4

все n-мерные многообразия

образуют

ных многообразий превращается в аддитивную

группу

Qn.

Группа

йп

при

n ^ 0 ( m o d 4 )

состоит

из нулевого

элемента.

Обозначим

прямую

сумму всех

групп

йп

через

Q, так

что

всякий

элемент

оо

а є й

однозначно записывается

в виде

а =

^

ап,

где

a „ e f i " и

ап

=

0 для достаточно больших

п. Имеем

оо

оо

Q =

2

Q" =

V

Q4ft_

(3)

№ c f i n + m .

(4)

Разложение в прямую сумму (3) определяет

на

Q градуиров­

ку, и имеет

место

Л е м м а

6.2.1.

Q

является

коммутативным

градуированным

кольцом

без

кручения.

6.3.

Для

классов

Понтрягина

pi(VAh)

можно

формально

напи­

сать (в смысле

п.

4.4)

k

Piz1 +

p2z2 + . . .

+ P k z k

1 +

=

П

(1 +

Р » .

(5)

Мы определим целое число s(V4h)

для

ориентированного

мно­

гообразия Vih

с

классами Понтрягина Pi(V4h)

при

помощи ра­

венства

s(V4 f t ) = (P? + P*+ . . .

+РІ)[У 4 *] .

О п р е д е л е н и е .

Последовательность

{Vik},

k — 0,

1

ориентированных

многообразий

называется

базисной

последова­

тельностью,

если s(V 4 f t )^=0 для

всех k.

Т е о р е м а

6.3.1.

Пусть

{V4k}

— некоторая

базисная

последова­

тельность ориентированных

многообразий. Далее,

пусть

В — ком­

мутативное

кольцо,

содержащее

поле

рациональных

чисел.

Тогда

для

любой

последовательности

а^

элементов

из

В

существует, и

только одна, ш-последовательность

{К,(р\,

/?,)} (с

коэффи­

циентами

из В,

см. 1.2), такая,

что соответствующий

К-род

прини­

мает на

V4k

значения

ah.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

каждой

m-последовательности

одно­

значно соответствует

степенной ряд

Q(г) = 1

+ 6,2 +

^ 2 2 4 . . . .

с коэффициентами

из В.

Нам надо показать, что существует в точности один степенной

ряд

Q(z),

такой, что для любого многообразия

V4h

из нашей по­

следовательности,

классы

Понтрягина

которого

записаны в

виде

(5), выполняется равенство

ft

где

Kk — это коэффициент

при

zk

в

I l Q ( M ) -

Это

равенство

имеет вид

«•=1

Й£ =

s ( V 4 f

t ) + многочлен от b\, Ь2,

bk-x

веса

k.

(6к)

З а м е ч а н и е .

Предыдущее

доказательство

показывает,

что

верно и

обратное:

если

для

некоторой

последовательности

{Vik}

ориентированных

многообразий

выполняется

заключение

теоремы

6.3.1, то {V4k}

образует

базисную

последовательность.

Т е о р е м а

6.3.2.

Комплексные

проективные

пространства

Ргь(С)

комплексной

размерности

2k образуют базисную

последо­

вательность,

а

именно

s(P2 f t (C)) =

2 * + 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

h — образующий

элемент

в

#2 (P2 ft(C), Z) .

Тогда

класс

Понтрягина

для

Р2ь(С)

равен

( l + / i 2 ) 2 h + 1

(см. теорему

4.10.2)

и

m-последовательность,

принад­

лежащая

степенному

ряду

1 +

zk, определяет «род»

(см. 5.2),

который на любом Vik

принимает

значение

s(V4k),

а

на

Ргл(С)

принимает, следовательно, значения 2k + \.

6.4. Мы

определим

в

этом

пункте

структуру

кольца

Q ® Q.

Всякое

ориентированное

многообразие

V4k определяет

элемент

из

Q4 f t <8> Q, который

мы обозначим

через (V4h).

По определению

тен­

зорного

произведения

всякий

элемент из Q4k

®Q

можно записать

Т е о р е м а

6.4.1.

Пусть

{У4*} — некоторая

базисная

последова­

тельность

ориентированных

многообразий.

Для

любого

разбиения

(/) = (/ь

/2> ...,

j r )

числа

k обозначим через

VU)

ориентированное

произведение

vu)=v4l>xv4l*x

. . .

XV4'r.

Тогда всякий

элемент

а

из

Q4 f t <8> Q однозначно

представим

в

виде

о =

И'*(/)(^ш),

f | / | S Q .

(7)

где сумма

распространена

наг все

разбиения

(/)

числа

k.

Далее,

для

любой

системы

рациональных

чисел а ( Л существует

элемент

а ЄЕ Q4 f e

<8> Q, числа

Понтрягина

которого

совпадают

с ау>.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

элементарным

теоремам

о

системах

линейных

уравнений

достаточно доказать, что соотношение

2>rU)(vU))

=

o

(суммирование

по всем

разбиениям

числа k) влечет

= 0.

Пусть

S г (/) (V(n) —

0-

Пусть

qu

q2, ...

— последовательность

перемен-

(/.)

числа

t ^

0

рассмот­

ных. Для любого целого неотрицательного

рим ту /n-последовательность, которая на

У4 Й

принимает

значе­

ние q\

(теорема

6.3.1). Имеем

(8)

При этом

обозначает

произведение

qs

qr ...

qf . Так как

q(j)

попарно различны, то из (8) следует, что все

равны

нулю

(определитель Вандермонда), что и требовалось

доказать.

Мы

приведем еще следующее

дополнение к

теореме

6.4.1.

Т е о р е м а

6.4.2.

Для

любой

последовательности

{V4h}

много­

образий

имеют место следующие

утверждения:

I) Из соотношения

(7)

следует, что

s(a)

= rhs(V").

(7*)

II)

Если

для

всех

k

любой

элемент

а из

U4h

<8> Q

представим

в виде

(7), то {Vі1} — базисная

последовательность.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

I)

Пусть

{Kj} — m-последовательность,

принадлежащая

степенному

ряду

1 +

zk-

Эта

т-последователь-

ность

принимает

на

всех

элементах

а с= &4h

<8> Q значение

s(a),

а на всех элементах

из

Q4J j8> Q с

1 ^

/ <

k

значение

0. Отсюда

следует

(7*).

II)

Если бы s(V4h)

=

0 для некоторого k,

то s(a)

равнялось бы

нулю

на всех

элементах

из

а є Q4 f t

® Q,

что

неверно,

так

как

s(P2 f e (C)) =

2k +

1 (см. теорему

6.3.2).

Из теорем 6.3.2 и 6.4.1 вытекает

непосредственно

Т е о р е м а

6.4.3.

Градуированное

кольцо,

Q <S> Q

изоморфно

градуированному

кольцу

Q[zi, z2 ,

...]

многочленов

от переменных z%

с рациональными

коэффициентами.

Изоморфизм

сохраняет

гра­

дуировку,

т. е.

изоморфизм

отображает Q4 f t

® Q на

полиномы

от

Zi веса

k. Для

произвольной

последовательности

элементов

а,- <=

6 Й 4 '

с

s (а,-) ф

0, / =

1,

2,

отображение

а,-—*гг- индуцирует

изоморфизм

Q ® Q на

Q [ z b г2 ,

. . . ] ,

и

всякий

изоморфизм

Q <S) Q

на Q [zi,

z2 ,

. . . ] может быть так

получен.

З а м е ч а н и е .

Из

теоремы

6.4.1

следует,

в частности,

что для

образия

V4k.

В

п.

5.2 мы

уже указывали

на то,

что

не всякая

система

ci(j) Может

служить

системой чисел Понтрягина для неко­

торого

V4h.

Естественно теперь поставить вопрос: каково наимень­

шее целое

положительное

число

Nh,

такое, что

всякая

система

NhU(j), где

— целые, является

системой

чисел

Понтрягина для

некоторого

V4k}

Из работы М и л н о р а [3] следует,

что число Nh

равно знаменателю (x(Lf t )

многочлена

L k

(см. лемму

1.5.2).

6.5. В этом пункте мы

рассмотрим

кольцевые

гомоморфизмы

кольца

Q® Q в поле рациональных чисел Q. Пусть {Kj(pu

... Pj)}—