Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

№

c

Q

" +

m

и

сф =

( - 1 Г >

для

a e Q ^ J e Q ™

(1)

Для приложений, которые мы имеем в

виду, не

обязательно

знать точную структуру кольца Q. Достаточно знать результаты

Тома об

Q ® Q,

которые

мы

и

опишем

в

следующем

пункте.

7.2. Мы хотим построить изоморфизм

Q ® Q — > Q ® Q

между

кольцом кобордизмов «по модулю кручения» и кольцом

& ® Q,

определенным в § 6. Первым шагом будет следующая

теорема

Понтрягина [2].

Т е о р е м а

7.2.1.

Числа

Понтрягина

многообразия

Vй,

являю­

щегося краем,

равны

нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Числа

Понтрягина

равны нулю

по

опре­

делению,

если размерность

многообразия

не делится

на

4.

Пусть

Vkh

является

ориентированным краем многообразия с краем

Xik+l,

и пусть

/ — отображение

вложения

V4k

в

X4h+\

Классы

Понтря­

гина

касательного расслоения

ф(Х1к+і)

к Х 4 Й + 1

обозначим

через

Рі є

# 4 І

(Х4 & +4 , Z).

Следует

обратить

внимание

на

то,

и

что

это

расслоение определено также и над точками края V4h

что

его

ограничение

на

край

является

суммой

Уитни

двух

расслоений,

а именно касательного расслоения к Vth

и

нормального

расслое­

ния

к V4h

в

Х4к+К

Последнее

расслоение,

очевидно,

тривиально.

Поэтому

по 4.5

I I I классы

Понтрягина

для

V4h

совпадают

с

j*p{.

Всякое число

Понтрягина

для

Vth

совпадает

со значением

4/г-мер-

ного

коцикла

в H4h(X4h+l,

Z)

на

цикле

Vik,

который

гомологичен

нулю, и поэтому равно нулю.

Теорема Понтрягина утверждает, что кобордантность влечет

отношение

эквивалентности

определенное в

6.2.

Поэтому

мы

получаем естественный кольцевой эпиморфизм Q на Q, который

индуцирует кольцевой

эпиморфизм

q>: Q ® Q->Q

® Q.

(2)

Т е о р е м а

7.2.2

( Т о м

[2]).

Группы

Qn

конечны

при

і ф 0(mod4). Группа

Q4k

является

прямой

суммой.

n(k)

(число

разбиений числа

k)

групп

Z

и некоторой конечной

группы.

стоит

из двух частей.

I)

Показывается,

что группа

изоморфна

гомотопической

группе nh+i(M(SO{k))),

i<k,

где

М(SO(k))—

некоторый комп­

лекс,

I I )

Гомотопическая группа яи+іМ ( S O ( & ) )

вычисляется

по

мо­

дулю конечных групп с помощью С-теории Серра. В части I

используются теоремы деформации и изотопии. Пусть B(SO(k))

—

классифицирующее пространство

для группы

S O (k)

(см. библио­

графические замечания к гл. I ) . Рассмотрим

расслоение

A(SO(k))

над B(SO(k)),

ассоциированное

с универсальным

расслоением,

слоем

которого

является единичный шар

Dh =

{(х\,

Хи)\

2

в Rs . Пусть M(SQ(k)) — комплекс, полученный стяги-

t=i

J

физм

ni+h(M(SO(k))).

Пусть Vі — ориентированное

гладкое

многообразие. Так как

i<.k,

то

имеется вложение Vі в

(k-\-i)-

мерную

сферу

Si+k.

С помощью соображений изотопии

можно по­

казать,

что

два таких

вложения

имеют

изоморфные

нормальные

расслоения,

и,

следовательно,

существует

отображение

/: N ->

- » - y 4 ( S O ( f t ) ) трубчатой

окрестности N для

Vі в Si+k, которое ото­

бражает

Vі

в

нулевое сечение

в

A(SO(k))

И границу

ON для Лг

в границу

для

A(SO(k)),

Рассмотрим

теперь составное

отобра­

жение

s' + f e - >

: ! ! + f e

= — - >

A ( s o m

= ^ ( s o ( * » .

S t + k - N

dN

dA(SO(k))

Это отображение

определяет элемент из

Tii+h(M(SO(k))),

который

образия

Vі.

С помощью деформаций можно показать, что гомо­

морфизм

I I

*Пі+и(М(SO(k))),

i<.k, является изоморфизмом.

Часть

основана на вычислении групп когомологий для

M(SO(k))

и

использует свойства комплексов Эйленберга — Мак-

лейна

и

алгебру Стинрода.

Явные

результаты

для

і <17

таковы:

Q° = Z, Q' = Q2 = Q3=

0 i

Q4=

Z (

Q5=

z2 , & = & =

Из теоремы 7.2.2 и формальных результатов §

6 следует те­

перь

непосредственно

Т е о р е м а

7.2.3 ( Т о м

[2]). Гомоморфизм

(2)

qp:Q(g>Q->Q<g>Q

является

изоморфизмом.

Таким

образом,

структура

алгебры

О, <8> Q дается

теоремой

6.4.3.

Два

ориентированных

многообразия

VAh

и

Wik имеют одинаковые

числа

Понтрягина тогда и

только

тогда,

когда

некоторое

целочисленное

кратное

многообразия

V 4 S

+ (—W4 h )

является

краем.

7.3.

Пусть задана

функция

гр,

которая

сопоставляет

каждому

ориентированному

компактному

дифференцируемому

многообра­

зию рациональное

число, не

равна

тождественно

нулю и

обладает

свойствами

I)

гр (Vn

+ Wn)

— гр (Vа)

+ гр (W% гр ( -

Vn) =

- гр (У"),

II)

гр (Кя

X Wn) =

гр (У") • гр ( Г п ) ,

III) гр(1/п) = 0, если

Vn является

краем.

Тогда гр(Уп ) равно нулю на

всех

ориентированных

многообра­

зиях,

размерность

которых

не

делится

на

4,

и

существует одна

и только одна пг-последовательность

{Kj(pi,

pj)}

с рациональ­

ными

коэффициентами

такая,

что для

всякого

ориентированного

многообразия Vih

имеем

^(V^)

= Kk(p{,

pk)[V*k},

т. е. гр совпадает

с К-родом

для

последовательности

{Kj}.

Согласно § 1, m-последовательность {К,} соответствует некото­

рому

степенному

ряду

Q(z)

=

1 + b\z

+ b2z2

+

. . . .

Коэффициен­

ность Ргй(С)

комплексных

проективных

пространств размерности

2k

(теорема

6.3.2).

З а м е ч а н и е .

Свойство

II) следует

из свойств

I ) ,

I I I ) и сле­

дующего частного случая

II'*) свойства I I ) :

II*) Существует по крайней мере одна базисная

последователь­

ность {Vih},

такая,

что

для любого произведения

многообразий

V4h

имеем

гр (1/4/> X Vі1*

X . . .

X

Vі1 г) = гр (F4/0

гр (V^) ...

гр

(Vі'')

ственных значений для Q(x,y).

Разность р+ — р~ называется

индексом Q (х, у).

8.2. Как известно, каждому

компактному

ориентированному

4&-мерному многообразию Mik можно следующим

образом сопоста­

бых элементов х,

y^H2k(Mik,R)

берем их w-произведение

ху и

по нему находим

вещественное число xy[Mik]

(см.

5.1).

Билинейная форма xy[Mih]

определена на

вещественном

век­

торном пространстве H2h(Mih,

R) и является

топологическим

ин­

вариантом ориентированного

многообразия

М 4 \

Индекс

этой