Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

= %{Vn)x{Wn),

и

тем самым

П)

доказано.

Более подробное

до­

казательство

приведено

у Ч ж е н я ,

Х и р ц е б р у х а

и С е р ­

р а

[1].

III) доказано Т о м о м

[1]. Доказательство

вкратце

следующее.

Предположим,

что Vik

является

ориентированным

краем

для

X4h+1,

и обозначим

через /: V4 f t

—^ A'4 f e +1

соответствующее вложение.

Том рассматривает

следующую

диаграмму:

H2k(X4k+\

R)

-*-** H2k(V4k,

R)-+H2k+l(Xik+lmodVik,

R)

1

І

I

H2k+l(Xik+lmodVik,

R)^H2k(Vik,

R)

H2k{XAk+x,

R)

Пусть A2k -

образ /* в H2k

(V4k, R), a K2k

~

ядро /„

в

H2k (Vik,

R).

Тогда

A2k

двойственно

к

H2k

{Vik,

R)/K2k

относительно

двойствен­

ности

между H2k{Vik,

R)

и

H2k{V4k,

R).

G другой

стороны, из

диаграммы

следует,

что

для

х є. H2k

(Vik,

R)

x

є

A2k^i(x)^K2k-

Следовательно,

если

b2k

= dim H2k

{V4k,

R) есть

2/г-мерное число

Бетти

для

V,

то

и

dim A2k

= dim K2k — hk — dim K2k

dimA**=±b2k.

Если

x =

j*y є= Л г й

и

у — фундаментальный

цикл

для Vih,

то

х 2 [V i h ]

= (j*y2)[v]

— г

/

2

=

0. -

Следовательно,

конус

{х<=

^H2k(Vik,

R) |x2 [F4 '1 ] =

0} содержит линейное

подпространство

A2h

размерности -^b2k.

Отсюда

следует, что для билинейной формы

jq/[V4 f e ]

имеем

р+=

р~ и, следовательно,

что r(V 4 f t ) =

0. Это дока­

зывает

III) и заканчивает доказательство теоремы 8.2.1.

Из

теоремы

7.2.3

и

утверждения

п.

7.3

следует

теперь,

что

индекс

т можно

выразить

с

помощью m-последовательности мно­

гочленов.

Индекс,

комплексного

проективного

пространства

x(P2k(C))

равен

1 для

любого k.

Единственной

т-последователь-

последовательность

{Lj(pu

pj)} (лемма 1.5.1

и теорема

4.10.2).

Т е о р е м а

8.2.2. Индекс

компактного

ориентированного

глад­

кого многообразия

Mih

может быть представлен

линейной

комби­

нацией чисел

Понтрягина.

Имеет место

соотношение

x(M4*)

=

Lk(Pi

pk)[M»],

f(x)[Vn-2]

= vx[Mn].

(3)

Из теоремы 8.2.2 и формул (2) и (3) следует, что

x{Vn~2) = A\hv^iLt(p^Mn)

р{(Мп))

(4)

В (4) мы в первый раз воспользовались

сокращенным

обозна­

00

Пусть и" есть n-мерная компонента элемента и <= 2 Hk{Mn,

А)® В.

Тогда ня [и] = и™ [Мя].

Формула (4)

тривиальна, если п ^ 5 2 mod 4. Левая часть

тогда

по определению

равна нулю, в то время как выражение в скобках

также равно нулю. Приведем явные выражения для

(4)

в случае

я =

2, 6, 10:

л = 2,

т(У°) = V [М2 ];

п = 6,

т(У*) = т г ( - у 3

+

РР)[М°\;

п — 10,

т(У8 ) =

- 5Plv3

+

(7р2

9.3. Пусть

Мп будет компактным

ориентированным

гладким

многообразием,

как и в 9.1. Пусть

vu

v2,

Vr — элементы

груп­

пы

H2(Mn,Z).

Предполагается,

что Vi соответствует

циклу,

реали­

зием У" - 2 , что ограничение v2

на У п ~ 2 соответствует

в ] / п ~ 2

циклу,

реализованному в У п ~ 2 подмногообразием

Vn~2

и т. д., что огра­

ничение vr на У™-2^-1) соответствует

в У " - 2 ^ 1 )

циклу,

реализован­

ному подмногообразием У«-2 г

многообразия У,™-2^-1). Формулу (3)

предыдущего

пункта можно

обобщить

на

этот

случай.

Пусть

X(= Нп~2г(Мп,А)

<8> В. Обозначим

через

/

вложение

Vn~2r в Мп.

Тогда имеем

r(x)(Vn~2r)

= vlv2

. . . vrx[Mn}.

(ЗО

Повторным применением

формулы

(2) получаем с помощью

(3')

следующее обобщение формулы (4):

оо

т ( У " - 2 г ) = х п th o,th v2

... th vr

2 U (pi {Mn) . . . P l {Mn)) .

(40

i=0

J

Согласно

Т о м у

[2],

всякий

двумерный

целочисленный класс

когомологий

компактного

ориентированного

гладкого

многообра­

зия Мп реализуется

некоторым

подмногообразием Vn~2

в М. По­

указанными в начале этого пункта. Из формулы

(4/)

видно, что

x(Vn~2r)

зависит

только

от (неупорядоченного)

множества

(vu

vr).

Мы

обозначим

правую

часть уравнения

(4')

через

x(vlt

..., vr)

и назовем %{vu

vr)

виртуальным

индексом

для

(oi,

vr).

По

приведенной

выше

теореме Тома

всякий вирту­

th (и + v) = th (и) + th (у) - th (и) th (v) th (н + v).

(5)

Т е о р е м а

9.3.1.

Виртуальный

индекс

является

функцией,

ко­

торая

каждому

{неупорядоченному)

набору

г

элементов vu

...,

vr

2-мерных целочисленных

классов

когомологий

компактного

ориен­

тированного

гладкого

многообразия

Мп

сопоставляет

целое

число

x(vu

v2,

vr). Он

равен

нулю,

если

п — 2 r ^ 0 m o d 4 . Он

также

равен

нулю,

если 2r > п

или

если

одно

из

и,

равно

нулю.

Функ­

ция х удовлетворяет

следующему

функциональному

уравнению,

со­

ответствующему

функциональному

уравнению

для

функции

th:

x(vu

vr,

и +

v) =

x(vb

хг,

u) +

x(vb

vr,

v) —

— %{vu

. . .,

Vr, U, V, U + v).

(6)

В

частности, если

n =

4k +

2,

то

*

x {и +

v) =

x (и) +

х (v) — х (и,

V,

и +

v).

(6')

многообразия MAk+2

(Pi обозначает, что Ft

выкинуто). Мы

хотим

вычислить %{а\Х\ + а2х2 +

. .. + a2k+\X2k+i),

где йі — целые

числа,

воспользовавшись

формулой

(4). Так как

все классы Понтрягина