Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 107
Скачиваний: 1
для М 4 А + 2 |
за исключением р0 |
= 1 равны 0, то |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x(alxi |
+ а2х2 |
+ |
. . . + |
a2k+ix2k+\) |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
и«+ 2 |
[th (a^j |
+ . . . |
+a 2 ft+ix 2 & + 1 ) ] |
|
= |
|
|
|
|||
|
= |
- |
W |
T r |
^ + 2 ^ |
+ |
••• |
+ a 2 * + , W 2 |
f e |
+ |
, ] |
= |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0,02 • • • |
a 2 f e + ith ( 2 f t + 1 ) (0) . |
|||||
Тем самым мы доказали, что индекс компактного |
ориентированного |
||||||||||||||
гладкого многообразия Vik, |
которое |
можно |
вложить в |
произведе |
|||||||||||
ние (2k + 1)-двумерных ориентированных сфер S2 так, |
чтобы |
ин |
|||||||||||||
декс пересечения с каждым сомножителем равнялся |
1, равен |
зна |
|||||||||||||
чению |
(2kJr\)-u |
производной |
функции th(x) |
в |
точке |
0. По |
при |
||||||||
веденной |
в |
9.3 |
теореме Тома такое |
многообразие |
V4h |
существует |
|||||||||
для любого |
k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ |
|
|
|
|
|||||||
Все |
результаты о кобордизмах, использованные в этой главе, |
принадлежат |
|||||||||||||
Т о м у |
[1], [2]. Правда, у него несколько иные предположения гладкости, однако |
||||||||||||||
можно |
показать/ что все |
его результаты (в |
частности, |
теорема 7.2.2) остаются |
справедливыми, если под дифференцируемостью понимать дифференцируемость класса С™. Полное изложение теории кобордизмов с этой точки зрения дано в
лекциях |
М и л н о р |
а [9]. |
|
|
|
|
|
оо |
|
Том определил |
также кольцо неориентированных кобордизмов 9Ї = ^ |
5^" |
||
Здесь |
Щп |
|
№=0 |
|
представляет собой группу компактных неориентированных |
глад |
ких многообразий размерности п относительно следующего отношения эквива
лентности: Vn ~ |
2wn, |
если |
Vn + |
W" является |
краем компактного |
неориентиро |
||||||
ванного многообразия |
Хп+1. |
По классам Штифеля — Уитни |
аи,- є Н' (Vn, Z2) опре |
|||||||||
деляются |
числа |
Штифеля — Уитни w^w^ |
... |
Wj |
|
є |
Zj. Том |
доказал, |
что |
|||
Vn ~ 2Wn |
тогда |
и только тогда, |
когда Vй |
и Wn |
имеют |
одинаковые |
числа Шти |
|||||
феля— Уитни, и |
что |
У1 является |
кольцом |
многочленов |
Z2[X2, *4 , х5, |
хв, хе, х9 > |
...] |
над |
Z2 с одной образующей xt |
|
для каждого |
і ф |
2Г — 1. Кроме того, он показал, |
|||||||
что |
в качестве четномерных образующих х2п |
можно взять |
вещественные проек |
|||||||||
тивные пространства |
P2n(R) ( Т о м |
[2]). Явное |
построение |
других |
образующих |
|||||||
для |
было дано Д о л ь д о м |
[1] (см. также |
М и л н о р [7]). |
|
||||||||
|
Теперь полностью известна |
структура колец Q и Q, определенных в 6.2. М и л |
||||||||||
н о р |
[3] доказал следующий, более точный вариант теоремы 6.4.3: П изоморфно |
|||||||||||
градуированному |
кольцу Z [ г ь |
г2 , . . . ] , причем изоморфизмом служит отображе |
||||||||||
ние, сопоставляющее |
одночлену |
г, компактное ориентированное гладкое много |
||||||||||
образие Vі', |
такое, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
.і, |
{ |
±1> |
если 2 / + |
1 не |
является |
степенью |
простого |
числа; |
|||
|
s (Vі1) |
= \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
±q, |
если 2/ -)- I есть степень |
простого |
числа q. |
|
|||||
Группу Я4 * можно представить в виде прямой суммы |
|
|
|
|||||||||
где |
Т> •— подгруппа |
элементов |
|
конечного порядка в Q' |
(и |
Т' = |
если / Ф О |
mod 4). М и л н о р [3] доказал, что Т' не содержит элементов нечетного порядка,
и явно построил образующие для |
Qik. |
После |
этого |
У о л л |
[1] |
доказал, |
что |
Т' |
|||||||||||||
не содержит элементов порядка 4 и нашел полную систему образующих |
для |
Q. |
|||||||||||||||||||
Из |
его |
результатов следует, |
что |
Vn |
~ |
Wn |
тогда |
и только тогда, |
когда Vn |
и |
Wn |
||||||||||
имеют |
одинаковые |
числа |
Понтрягина |
и Штифеля — Уитни. Относительно |
даль |
||||||||||||||||
нейшего развития |
теории |
кобордизмов |
см. А т ь я |
[4], К о н н е р |
и Ф л о й д |
[1], |
|||||||||||||||
М и л н о р |
[4], У о л л |
[2]1 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Из |
теоремы об индексе |
8.2.2 |
следуют |
различные |
факты о |
поведении |
индекса |
|||||||||||||
ориентированного |
гладкого |
многообразия V. Например, пусть /: |
W - > V |
— глад |
|||||||||||||||||
кое покрытие степени п. Тогда pi(W) |
— f*pi(V), |
и из теоремы об |
индексе |
выте |
|||||||||||||||||
кает, что |
%(W) = |
nx(V). |
Остается |
ли |
верным этот результат, если V и |
W — то |
|||||||||||||||
пологические многообразия |
(не гладкие) ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пусть Е, В, F — компактные связные ориентированные |
многообразия |
(необя |
||||||||||||||||||
зательно |
гладкие), |
и |
пусть |
Е->В |
|
расслоение |
со |
слоем |
F, |
для |
которого |
фун |
|||||||||
даментальная группа |
Яі(В) |
действует тривиально на кольце когомологий |
H*(F, |
||||||||||||||||||
R). |
Тогда имеется |
прямое |
топологическое |
доказательство |
того, |
что |
х(Е) |
= |
|||||||||||||
= |
X(B)T(F) |
(см. Ч ж єн |
ь, |
X и р ц е б р у х |
и С е р р |
[1]). |
|
|
|
|
|
|
|
Из теоремы об индексе следует, что L-род ориентированного гладкого много образия М зависит только от ориентированного гомотопического типа М. Соглас но К а н у [1], L-род с точностью до рациональных кратных является единствен ной рациональной линейной комбинацией чисел Понтрягина, которая является инвариантом ориентированного гомотопического типа. Далеко идущие обобщения теоремы об индексе (имеющие отношение к дифференциальным операторам и к действиям конечных групп на многообразиях) были получены Атьёй и Зингером. Они обсуждаются в приложении 1 (§ 25).
') Более поздние |
результаты |
по теории кобордизмов см., |
например, в обзо |
рах С т о н г а [ 1 ] и Б |
р ё к е р а |
и Т о м а Д и к а [I]. — Прим. |
перев. |
Глава III
РОД ТОДДА
В этой главе Мп |
будет компактным |
гладким (класса |
С°°) почти |
|||||
комплексным |
многообразием. |
Касательное |
GL(ra, С)-расслоение |
|||||
к Мп |
(см. 4.6) |
будет обозначаться через 0(М„). Мы будем иссле |
||||||
довать |
«род», |
ассоциированный |
с мультипликативной |
последова |
||||
тельностью {Tj(c\, |
|
Cj)}, определенной в 1.7, а также «обоб |
||||||
щенные роды», |
ассоциированные |
с |
«-последовательностью |
|||||
{Т}(у\ |
с и |
С))} |
из |
1.8. |
|
|
|
|
§10. Определение рода Тодда
10.1.Пусть X — допустимое пространство (см. 4.2), и пусть £ —
непрерывное |
GL(q, С)-расслоение |
над |
X |
с |
классами |
Чженя |
|
СІ е H2I(X, |
Z). |
Полный класс Тодда |
для |
| |
по |
определению |
равен |
|
|
t d d ^ i r ^ c , , |
с,), |
(1) |
|||
|
|
|
/-о |
|
|
|
|
где {Tj{cx, |
С/)}—«-последовательность из 1.7. |
Если £' — непре |
|||||
рывное |
G L ^ ' , С)-расслоение |
над |
А', |
то по |
1.2 классы Тодда |
||
удовлетворяют равенству. |
|
|
|
|
|
||
|
|
t d ( g © £ ' ) |
= td(6)td(&'). |
(2) |
|||
Если ? |
= 1 |
и С! (|) = d є Я 2 |
(X, Z), |
то |
|
|
|
|
|
td |
(&)•=• |
|
|
|
Заметим, что td (g) начинается с 1 и, следовательно, поскольку X конечномерно, существует обратный элемент (td(g))""1. Полный класс Тодда можно определить также и с помощью формальных разложений: если
2 С/*/ = =П(1 + Уїх),
то
t d ( i ) = n |
v< |
Аналогично определяется (полный) |
характер |
Чженя для | , а именно: |
|||||||||
|
|
|
|
c h ( | ) = i e v ' . |
|
|
|
(3) |
|||
По 4.4.3 |
характер |
Чженя |
удовлетворяет равенствам |
|
|||||||
|
|
|
c h ( | 0 |
| ' ) = |
сЬ.(|) + сп(Г), |
|
|
||||
|
|
|
ch (g <S> g') = |
ch (g) ch (g')- |
|
|
|
( 4 ) |
|||
Если |
q=\ |
и с, (I) = d є Я 2 (X, Z), то ch (g) = |
ed . В общем |
случае |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
ch (&) = |
</ + |
S c h f c ( i ) , |
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сп,(£) = ^ - є Я 2 * ( Х , |
Z ) O Q и sk |
= ^ |
у?, |
|
||||||
Симметрические |
функции |
sfe |
|
и |
с,- связаны |
между собой |
форму |
||||
лами |
Ньютона (ср. 1.4(10)) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
s f e - c 1 Sfc _ ,+ |
.... +(—l)*cf c fc |
= |
0, |
|
Связь характеров Чженя с классами Тодда дается следующей теоремой.
Т е о р е м а 10.1.1. Пусть £ — |
непрерывное CL(q, С)-расслоение |
над допустимым пространством |
X. Тогда |
2(-irchAT = (td(£)r4 (|).
|
|
|
г =0 |
|
q |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если 2 |
с, (|) х-' = П (1 + Y;*)> то по 4.4.3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
/=0 |
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c h A T = S r ( Y ' - + - + 4 |
|
|
|
|
|
|||||
где |
суммирование |
ведется |
по |
всем |
комбинациям |
ix |
|
ir |
||||||
с |
1 ^ |
г, < . . . |
< ir^q. |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
||||
2 ( - i ) ' c h n * = n o - e - v o = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r=0 |
|
|
i= l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— (Yi • • • Y„) П 1 ^ Т ~ ' = ( t |
d |
|
С< |
|
|||||
|
10.2. Пусть |
Мп |
— почти |
комплексное |
многообразие |
(4.6). Оно |
||||||||
естественным |
образом |
ориентировано. |
Если |
« є Я * ( М „ ) |
и |
и<2"> |
||||||||
есть |
2п-мерная |
компонента |
для |
и, то |
мы будем писать у,п(и) |
= |
||||||||
= |
и(2«) [Мп]. Пусть с, ^ |
Я2 г ' (Мп, |
Z) — |
классы |
Чженя |
для |
9 ( М п ) , |
Всякое |
произведение |
CjCj |
...Cj |
веса ra = |
/ i + . . . |
+ |
j r |
опреде |
||||||||||||
ляет |
целое |
число |
с/ |
Cj2 ... |
Cj |
[Мп]. |
Всего |
существует я (ft) |
|
таких |
||||||||||
чисел, где я (ft) — |
число |
разбиений |
числа п. Они называются |
чис |
||||||||||||||||
лами |
Чженя для |
Мп. |
Например, |
по теореме |
4.10.1 |
число |
Чженя |
|||||||||||||
сп [Мп] совпадает с эйлеровой характеристикой для |
Мп. |
Рассмот |
||||||||||||||||||
рим |
кольцо '23 = |
В [си |
с2 , . . . ] из 1.1 |
(см. также |
1.3). |
Как и |
в 5.1, |
|||||||||||||
всякий |
элемент |
b є= 23n |
определяет |
|
некоторый |
элемент |
£>[УИП]ЄЕ В. |
|||||||||||||
Произведение |
Vn |
X W m |
Двух почти |
комплексных |
многообразий |
|||||||||||||||
естественным образом снова почти комплексно. Пусть |
/ — проек |
|||||||||||||||||||
ция |
Vп X W1 m |
на |
Vn, |
|
a |
g — проекция |
на |
|
Wm. |
Касательное |
||||||||||
GL(« -f- m, С)-расслоение |
произведения |
совпадает с суммой |
Уитни |
|||||||||||||||||
П Є ( У п ) ) Є б * ( Є ( № т ) ) . Как и в 5.2, |
верна |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Л е м м а |
10.2.1. Пусть |
{/(,•( Сі, |
|
|
с,)}— некоторая |
ш-последо- |
||||||||||||||
вательность |
(см. 1.2, |
1.3; |
/CJGE23; ). |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Кп+ш Wn |
X Wm] = Кп [Vn] • КТ |
[WM\. |
|
|
|
|
||||||||||
Kn[Mn] |
будем |
называть |
К-родом для Мп. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Рассмотрим |
т-последовательности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
(Г/(с,, |
|
|
Cj)}, {Tj(y; |
Cj, |
|
Cj)}, |
|
|
|
|
||||||
определенные |
в |
1.7, |
1.8 |
и |
соответствующие |
степенным |
рядам |
|||||||||||||
|
Q(*) = |
-; |
|
—. |
|
г- и Q{y; х)=>-. |
|
+ )> |
|
—ху. |
||||||||||
|
^ v |
' |
1 — е х р ( — л ) |
|
^ V i " |
•* |
|
1 — ехр (— X ( # + |
1)) |
|
3 |
|
Рациональное число Тп [Мп] будет обозначаться через Т [Мп] и называться родом Тодда (или Т-родом) для М„. По 1.8 Тп{у, сх,
сп)[Мп] является многочленом степени п от у с рациональ ными коэффициентами. Этот многочлен будем обозначать через
Ty(Mn)=j^Tp (Mn)y»
и называть обобщенным родом Тодда (или Ту-родом) для М„. По определению Г0 (Мп) = Т° (Мп) = Т (Мп).
По лемме 10.2.1 имеем
Ty(VnXWm) = Ty(Vn)Ty(Wm);
в частности,
Рациональные числа Тр(Мп) удовлетворяют следующей формуле двойственности (см. 1.8(13)):
Г>(М„) = ( - 1 Г Г - ' ( М „ ) .