Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 112
Скачиваний: 1
Далее, выполняются соотношения (см. 1.8(16), теорему 4.10.1 и теорему 8.2.2)
|
Т-1 |
(Мп) = t ( - l f T p |
(Мп) = |
сп [Мп], |
(5) |
||
|
Т1{Мп)=Ътр{Мп) |
= х{Мп). |
|
|
(6) |
||
Таким |
образом, |
Т-Х (Мп) совпадает |
с |
эйлеровой |
характеристикой |
||
для Мп, |
a Ti(Mn) |
является индексом |
для |
Мп. |
Заметьте, |
что по |
|
приведенной выше формуле двойственности 7"і(Л1п )=0, если п нечетно.
10.3. Полный класс Чженя комплексного проективного про
странства |
Р„(С) равен |
( І + Л п ) " ^ 1 (см. теорему |
4.10.2). Из |
лемм |
|||||||
1.7.1 |
и 1.8.1 |
следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
10.3.1. |
Т-род |
является |
единственным родом пг-по- |
|||||||
следовательности |
с |
рациональными |
коэффициентами, |
который |
|||||||
принимает |
значение 1 на |
всех |
комплексных |
проективных |
простран |
||||||
ствах; Ту-род является |
единственным |
родом |
пг-последовательно- |
||||||||
сти с коэффициентами |
в Q[y], |
который |
на |
Р„(С) |
принимает |
значе |
|||||
ние |
\ — у + у2-\-. |
. . - И — \ ) п у п . |
|
|
|
|
|
||||
§11. Виртуальный обобщенный род Тодда
11.1.Пусть Vn-k — (компактное) почти комплексное подмного образие почти комплексного многообразия Мп и /: Vn-k-*Мп —
отображение вложения. Расслоение j*Q(Mn) является суммой Уитни расслоения 8(У„-ь) и почти комплексного нормального рас
слоения v |
многообразия Vn^h |
в Мп (см. 4.9). Отсюда следует |
(4.4.3,11), |
что |
|
|
rc(Mn) = |
c(VH-k)c(v). |
Рассмотрим теперь частный случай, когда k — 1. По теореме 4.8.1 c(v) = l + / * u , где v — двумерный класс когомологий, v^H2(Mn,Z), соответствующий ориентированному подмногообразию V„_i в ори ентированном многообразии Мп. Следовательно,
1 + с 1 0 ' „ _ 1 ) + £ 2 ( У „ - 1 ) + . . . |
= |
|
= Г[(1+с1(Ма) |
+ с2(Мя)+ |
. . . ) ( 1 + »)"']• (1) |
Теперь можно получить формулу для Города многообразия V„_i.
Турод соответствует степенному ряду Q{у; х) = |
[см. 10.2(1)], |
где |
|
е х (У+1)_ |
! |
Из (1) вытекает, что
Как и в 9.2, |
отсюда |
далее следует, что |
|
|
|
(3) |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
R(y; |
v)%T,(y, |
Cl(Mn),.... |
С / |
( а |
д |
(4) |
|
Формула |
(4) при |
г/ = |
1 переходит в формулу |
9.2 |
(4) |
в силу |
||||
1.8 (16). |
При у = —\ |
получается |
формула для эйлеровой характе |
|||||||
ристики |
E(Vn-i): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(_1)«-і £ ( V n _ , ) = 2 |
( - 1 ) ' о я - ' с , ( В Д Л І я ] . |
|
(5) |
||||||
Разумеется, |
формулу (5) можно вывести и непосредственно |
из (1). |
||||||||
Для у = О получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Г (7Л _1 ) = |
хя [(1 - e - * ) t d ( e ( M „ ) ) ] . |
|
|
|
(6) |
|||
11.2. Переходим теперь к определению виртуального Г^-рода.
Д ля v u |
О Г Ё Я ! ( М „ , |
Z) положим |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
Г у ( о ь . . . . vr)M = xn |
R(y, |
Vi)...R(y;vr) |
2> Т, (у; |
сг(Мп),c/(Af„)) |
|
|
|
L |
|
/=о |
|
(7)
Здесь нижний индекс М указывает, в каком многообразии строится виртуальный род. Мы будем его иногда опускать, если из кон текста ясно, какое многообразие имеется в виду.
Из 1.8 |
следует, что Ty(v\, |
|
ип)м |
является |
многочленом |
с ра |
|||||
циональными |
коэффициентами относительно |
у степени п — г. Так |
|||||||||
как |
R(y;x) |
делится |
на х, то Tv(vu |
.... vr)M |
= |
0 для г > п. |
Для |
||||
г = |
п имеем |
Ty(vu |
vn)M |
= ViV2 ... |
vn[Mn]. |
Мы |
будем |
назы |
|||
вать |
Ty(v\, |
|
VT)M |
виртуальным |
Туродом |
для |
(vu |
vT). |
Вир |
||
туальный 7^-род не зависит от порядка vu |
..., |
vr. Мы будем да |
|||||||||
лее |
называть |
виртуальным |
почти |
комплексным |
подмногообразием |
||||||
многообразия М„ комплексной размерности п всякий набор г
элементов из Н2(Мп, |
Z) . Мы будем |
писать |
|
|
|||
|
Т„{Щ, |
|
о , ) ж = 2 І |
T"(vu |
vr)Myp. |
|
(8а) |
Рациональное |
число |
ps=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 > „ |
. . . . vr)M = |
Tu(vlt |
vr)M |
= TQ(vu |
о г ) ж |
(8b) |
|
будет называться |
виртуальным родом |
Тодда виртуального |
под |
||||
многообразия |
( V \ |
vr). Выполняется |
формула |
двойственности |
|||
Tp(vu |
vr)M |
= {-ir~rr-r-p{vi, |
v,)M; |
(9) |
|||
Из формулы |
11.1(3) |
текает |
|
Т е о р е м а |
11.2.1. |
образие многообразия соответствующий Vn-i
Є Е Я 2 ( М п , Z). Тогда
Ty{fv2,
В частности,
и |
определения |
виртуального |
/ у р о д а |
вы |
||||
Пусть |
Vn^\ — почти |
комплексное |
подмного |
|||||
Мп, |
у. Vn-i->Mn—вложение |
и v^H2(Mn, |
Z)~ |
|||||
класс |
когомологий. |
Далее, |
пусть v2,..., |
vгє= |
||||
|
j*vr)v |
= |
Ty(v, |
v2, |
|
vr)M. |
|
|
Ty(Vn.l) |
= |
Ty(v)M. |
|
|
|
|
||
11.3. Виртуальный Г-род удовлетворяет функциональному урав нению, частным случаем которого является функциональное урав-
нение для индекса 9.3(6). Для R(x) =
метры, выполняется равенство
R (и +v) = R(u) + R(v) + (y-l)R(u)R(v)
еах'— 1
а х |
, где а и у — пара- |
Є-р у
- yR(и) R(v) R(u + v).
(10)
Положив |
a = |
1 |
+ у, |
получим |
функциональное |
уравнение |
для |
|||
R(y;x). |
При у = |
1—это |
функциональное |
уравнение для ihx |
при |
|||||
у = 0 — функциональное |
уравнение |
для 1 — е ~ х и |
при у = — 1 — |
|||||||
функциональное |
уравнение для |
х(1 |
+ х)~\ |
Таким |
образом, |
имеет |
||||
место |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
11.3.1. |
Виртуальный |
Ту-род |
удовлетворяет |
функ |
|||||
циональному |
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|||
Ty(vi, |
vr, |
ы + |
v) = Ty(vu .... |
vr, u)-\-Ty(vu |
||||
|
+ (y — 1) Ty |
(vu |
..., |
vr, |
u, |
v) уТу |
(у, |
|
где vit |
vr, |
и, v — элементы |
из |
Н2(Мп, |
Z). |
|||
В |
частном |
случае |
г = 0 |
имеем |
|
|
||
vr, v) +
vr, и, v, и + v),
Ty(u + v) = Tg(u)-r-Ty(v)-(y-l)Ty(u, |
|
|
v)-yTy(u, |
v, |
u + |
v). |
||||||
При |
у — 1 |
получаем |
уравнение |
для |
виртуального |
индекса |
|
|||||
|
|
|
т (« + |
v) = |
т (и) + |
т (У) — т {и, |
v, и + |
v). |
|
|
||
При |
у = |
0 |
получаем |
уравнение |
для |
виртуального |
рода |
Тодда |
||||
|
|
|
|
T(u-\-v) |
= T(u) |
+ |
T(v)-T(u, |
v). |
|
|
|
|
При |
у= |
— 1 |
получаем |
уравнение |
для |
виртуальной |
эйлеровой |
|||||
характеристики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Г_! (и + |
v) = |
Г_! («) + |
Г_! (v) - 27V, («, |
о) + Г_! (и, У, |
и + |
У ) . |
||||||
|
|
§ 12. Г-характеристика GL(q, |
С)-расслоения |
|
|
||||||||||||||||
12.1. |
Пусть |
|
| — непрерывное |
GL(<7, |
С)-расслоение над Мп. |
Так |
|||||||||||||||
как |
всякое |
гладкое |
|
или |
комплексно-аналитическое |
GL(q, |
(^-рас |
||||||||||||||
слоение |
можно |
|
рассматривать |
как |
непрерывное |
GL(q, С)-расслое- |
|||||||||||||||
ние, |
то |
все |
определения |
и |
теоремы настоящего |
параграфа |
при |
||||||||||||||
менимы |
и в дифференцируемом и комплексно-аналитическом |
слу |
|||||||||||||||||||
чаях. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
c{Ma)=%cti |
i=0 |
c(t)=Zdh |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
где с,, |
|
Я 2 ' (Мп, |
Z) и |
с0 = |
d0 |
= 1. |
|
|
с помощью |
равенства |
|||||||||||
Определим |
рациональное |
число |
Г (М„, £) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Г(М П , |
g) = |
«„[ch(l)td(9(Af„))]. |
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||
Т(Мп, |
I) |
называется |
Т-характеристикой |
|
GL (q, |
С)-расслоения | |
|||||||||||||||
над |
Мп. |
В |
частном |
случае |
С*-расслоения |
£ |
с |
классом |
Чженя |
||||||||||||
1 -4- d, d є Я 2 ( M n , Z) равенство |
(2) |
переходит в |
|
равенство |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Г(М„, g) = |
x n (e d td(6(M„))] . |
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||
Так |
как |
С*-расслоения над Мп |
взаимно |
однозначно |
соответствуют |
||||||||||||||||
элементам |
d |
из Н2(Мп, |
Z) (по |
3.8), |
то |
в |
формуле |
(3) |
вместо |
||||||||||||
Т{Мп, | ) |
мы будем писать также Т(Мп, |
|
d). |
Из |
определений |
сле |
|||||||||||||||
дует, что |
|
|
|
Т(М, |
d) = |
T(M)-T(-d)M. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если |
| есть |
GL(<7, С)-расслоение, а |
£' есть GL(^', С)-расслое- |
||||||||||||||||||
ние |
над |
Мп, |
то |
из |
первого |
уравнения |
10.1 (4) вытекает, что |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Т (Мп, |
1®%') |
= |
Т (Мп, |
1) + |
Т (Мп, |
г). |
|
|
|
(5) |
|||||||
Если £ есть GL(q, С)-расслоение над V„, а г| есть GL(r, С)- |
|||||||||||||||||||||
расслоение |
над |
|
Wm , то по 10.1(2) и |
10.1(4) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Т (Vn |
X Wm, |
Г (I) ® |
(Л)) = Г (Vn; |
1) Т (Wm, |
г,), |
|
(6) |
||||||||||||
где f и £ — проекции на первый и второй множители, как и в 5.2.
12.2. Чтобы распространить результаты п. 12.1 на случай Ту-ха- рактеристики Ту(Мп, £), необходимо ввести в рассмотрение рас слоение 0* над Мп, двойственное к касательному расслоению. Пусть №(Q*) есть р-я внешняя степень (см. 3.6) расслоения 0*. Рассмотрим формальные разложения
п п q q
U c / J t ^ I I O + Y / * ) |
и |
2,d,xl |
= |
U(l+6{x) |
|
1=0 |
i=\ |
|
\=0 |
|
1=1 |
(см. 12.1 (1)). Тогда классы Чженя для |
0* |
будут элементарными |
|||
симметрическими |
функциями |
от |
— yit |
а |
классы Чженя для |
