Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 111
Скачиваний: 1
кр (9*) — элементарными симметрическими функциями от — (Yf,+
+Уіг + • • • + Уір) (см. 4.4). Поэтому из 1.8(15) следует, что
|
|
Т(Мп, |
ХРЮ) = Тр(Мп). |
|
|
(7) |
|||
Рассмотрим, далее, |
тензорное |
произведение |
расслоения |
Яр (6*) |
|||||
с \ . |
Рациональное |
число |
|
Т (Мп, Кр (9*) ® £) |
обозначим |
через |
|||
Г Р (М„, | ) и положим |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ТУ(МП,1)=%ТР(МП,1)УР. |
|
|
(8) |
||||
Ту(Мп, |
£) называется |
Т^-характеристикой |
GL(<7, С)-расслоения £ |
||||||
над М л . Из равенств |
(2) и 10.1 (4) следует, что |
|
|||||||
|
Тр |
(Мп, £) = х„ [ch (|) ch (lp (9*)) td (9 (M„))]. |
(9) |
||||||
Тривиальное |
обобщение |
|
вычисления, использованного |
в 1.8 |
|||||
для доказательства формулы |
(15), дает |
|
|
|
|||||
|
|
|
i e |
^ |
^ f |
S M j r . r |
, , |
•••• с,)] |
(Ю) |
|
|
|
fc=i |
|
|
/ \ / = о |
|
|
|
Заметим, что Г_] (М я , £) при у — —1 зависит только от ранга q расслоения | и равно ^-кратной эйлеровой характеристике Мп.
Заменяя |
в формуле |
(10) у на |
и умножая обе части равенства |
|||||||||
на |
(— у)п, |
найдем, что правая |
часть |
(10) перейдет |
в |
|
||||||
|
|
|
S e - "+")«l)(Sr / ( y ; C l , . . . , * / |
) |
|
|
||||||
и |
с помощью теоремы 4.4.3,1) |
получим |
формулу |
двойственности |
||||||||
|
|
|
ynTL{Mn, |
1) = {-\)пТу{Мп, |
Г) . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
тр(мп, |
і) = {-\)птп-"{мп, |
Г) . |
|
|
(її ) |
||||
В частности, при р = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Т(МЯ, |
| ) = ( - 1 ) " Г ( М „ , Г |
(8*)® 6*). |
|
(12) |
|||||
Обратно (11) можно |
вывести |
из (12): заменим в (12) | на 1®ЯР (9*) |
||||||||||
и вспомним, что Я Я (9)®(|®Я Р |
(9*))*==Г®Я"(9*)®ЯР (Є)=Г®Г-/ '(Є*). |
|||||||||||
|
Расслоение Я" (9*) является |
С*-расслоением и называется |
кано |
|||||||||
ническим |
С*-расслоением |
для Мп. |
По теореме |
4.4.3 его класс |
||||||||
Чженя |
равен 1 — ct (М„). • |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Для |
расслоения |
| над А/„ с формальными корнями Ь ь |
bq |
||||||||
положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ch(,) (|) = e{i+y) |
e' + |
• •. + е(і+у) |
6ч є= Я* (Aln , Z) ® Q. |
|
Тогда, как и в 10.1 (4), ch( „, (£ 0S')=ch( ,> (|) + ch( y , (V), с п ы ( £ ® | ' ) =
= ch( i / ) (I) • ch(i,) (g')'> и |
з |
этих соотношений |
следует, что |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
7\,(М„, |
1 0 1 ' ) = |
^ |
(Л<д, |
+ |
|
|
|
1% |
|
|
|
(13) |
||||||
|
|
Г , ( У „ Х ^ , |
Г(1)®г, (т1)) = Г , ( У | Р |
£ ) Г „ ( Г т > |
ті). |
|
(14) |
|||||||||||||||
В равенствах (13) и (14) мы воспользовались |
теми |
|
же'обозна |
|||||||||||||||||||
чениями, что и в равенствах |
(5) и (6) из 12.1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
12.3. |
Пусть I есть Oh(q, |
С)-расслоение над Мп. Для vit |
|
vr є |
||||||||||||||||||
є Я 2 ( М „ , |
Z) |
можно |
определить виртуальную |
/^-характеристику |
||||||||||||||||||
для |
£ относительно |
виртуального |
подмногообразия |
(vh |
|
vr) |
||||||||||||||||
(ср. 11.2). Обобщением равенства 11.2(7) является |
|
следующее |
||||||||||||||||||||
определение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ty(vu |
|
|
vr |
І, І). |
|
ch( j / ) |
(S) П R (у; |
vt) |
2 |
Т, |
{у; |
с, (Мя), |
...) |
.(15) |
||||||||
|
|
|
|
|
м • |
|
|
|
|
і=1 |
|
|
/=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Как |
и |
в |
11.1, мы |
|
|
|
|
|
|
М, |
если |
ясно, |
||||||||||
|
будем |
опускать |
индекс |
|||||||||||||||||||
о каком |
многообразии |
идет речь. Если |
І — тривиальное |
GL(<7, С)- |
||||||||||||||||||
расслоение, то Ty(vu |
|
|
|
vr\, |
Q = qTy{vu |
|
|
vr). |
Естественно, |
|||||||||||||
при у = 0 мы будем |
писать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Г 0 (о„ |
. . . . vr\, |
| ) = |
Г(о „ |
|
or |, |
6) |
|
|
|
|
|
||||||
и называть Г ( У ь |
ог |
|, £) виртуальной |
7'-характеристикой. |
|
||||||||||||||||||
Обобщением |
теоремы |
11.2.1 |
является |
следующая |
|
|
|
|
||||||||||||||
Т е о р е м а |
12.3.1. |
Пусть |
! / „ _ , — почти комплексное |
|
подмного |
|||||||||||||||||
образие многообразия |
Мп, /: Vn-l |
-»• Mn —вложение и v^H2(Mn, |
|
Z)— |
||||||||||||||||||
класс |
когомологий, |
соответствующий Vn-\. |
|
Пусть, |
далее, заданы |
|||||||||||||||||
элементы |
|
v2 |
|
vr |
є= Н2 (Мп, |
Z). Наконец, |
пусть |
| |
— G L ^ , С)- |
|||||||||||||
р'асслоение |
над |
Мп. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Ty(j*v2, |
|
/ 4 1 , У*6)и = |
^ ( о , о2 > |
|
|
и,|, | ) ж . |
|
|
||||||||||||
В частности, |
|
Ty(Vn-» |
|
j%) = |
Ty{v |
I, |
| |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Функциональное уравнение из теоремы 11.3.1 также может |
||||||||||||||||||||||
быть |
перенесено на |
случай |
виртуальной |
Г-характеристики. |
|
|
||||||||||||||||
Т е о р е м а |
12.3.2. |
В |
обозначениях |
теоремы |
11.3.1 |
пусть |
| — |
|||||||||||||||
GL(<7, СУрасслоение |
над |
Мп. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ty{Vi, |
|
|
vr,u |
+ v\, l)M |
= |
Ty(vl, |
|
vr, |
и\, l)M |
+ |
|
|
|
|
|
|||||||
+ |
Ty(vu |
|
|
vr, v\, |
l)M |
+ |
(y — l)Ty(vt |
|
|
vn |
u, v I, l)M |
— |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— yTy{vx, |
|
..., |
|
vr, |
u, |
v, |
и -\- v |
\, |
l)M. |
Доказательство проводится с помощью функционального урав нения 11.3(10) и того замечания, что выражение в квадратных
скобках |
в |
формуле |
(15), |
из которого виртуальная |
^-характери |
||||||||||||||||||||||
стика |
получается |
|
применением |
х„, |
|
всегда |
содержит |
множитель |
|||||||||||||||||||
ch( V )£. |
|
|
vr\,l)M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п — г |
по у |
||||||
|
Ty(v\, |
|
|
|
является |
многочленом |
степени |
||||||||||||||||||||
с рациональными |
коэффициентами. Он равен тождественно 0, если |
||||||||||||||||||||||||||
г > |
п. Если г = |
п, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Ty(vu |
|
|
|
о „ | , | ) м = < / - ( О і , |
|
|
o „ [ A f „ ] ) . |
|
|
|
|
||||||||||||
Для |
виртуальных |
|
подмногообразий |
|
выполняется |
также |
и |
фор |
|||||||||||||||||||
мула двойственности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
y«-'T±{vu |
|
|
|
|
vr\, |
|
t)M |
= |
(-l)n-r |
|
Ty(vu . . . . |
|
|
|
|
(16) |
|||||||||
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
|
12.3.3. Пусть |
ц — С*-расслоение |
|
над |
Мп |
с |
классом |
||||||||||||||||||
Чженя |
1 + v, |
v є |
Я 2 |
(М„, |
Z). |
|
Яг/сгб £ — GL (q, |
|
С)-расслоение |
||||||||||||||||||
над |
Мп |
и |
vu |
|
|
vr |
—элементы |
|
из |
Н2(Мп, |
|
Z). Тогда |
имеет |
место |
|||||||||||||
формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ту (о,, • • •, |
»r I. Юм = |
^ у |
(°ь |
• • •, |
vr,v\, |
l)M |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
+ |
Ту (vh |
|
|
|
vr |
I, I ® r r % + |
У^Л0 »» |
• • •' v" |
v |
І» І ® T ' W |
||||||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
В |
формуле для |
|
виртуальной |
^ - харак |
||||||||||||||||||||
теристики |
(15) |
выражение |
в квадратных |
скобках содержит мно- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
житель |
^EiTj(y; |
Ci(Mn), |
|
. . . ) . Этот |
множитель |
является |
одним |
и |
|||||||||||||||||||
тем |
же для всех |
четырех |
членов |
доказываемого |
равенства. Ана- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
логично все четыре члена содержат общее произведение Ц R(y; |
vt), |
||||||||||||||||||||||||||
а так как chiy) |
(I ® Г]- 1 ) = ch{y) |
(l)chiy) |
(ті)- |
, |
то также и множи |
||||||||||||||||||||||
тель |
ch^d). Поэтому |
достаточно |
доказать, |
|
что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 = |
R (у; х) + |
ch(„) (ті"1) + |
yR (у; v) ch(y) |
(тр |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ho |
ch{j,) (т)- 1 ) = |
e~(l+y) |
°, |
|
поэтому |
предыдущее |
равенство |
следует |
|||||||||||||||||||
из |
11.1 (2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим |
теперь частный случай |
предыдущей |
теоремы, |
когда |
|||||||||||||||||||||||
г = |
0. Пусть |
класс |
когомологий |
v е |
Н2(Мп, |
|
Z) соответствует |
почти |
|||||||||||||||||||
комплексному |
подмногообразию |
|
V n _ i многообразия |
М п , |
и |
пусть |
|||||||||||||||||||||
/ — отображение |
вложения; |
далее, |
пусть |
х\— С*-расслоение |
над |
||||||||||||||||||||||
Мп |
с классом |
Чженя |
1 + |
v. Тогда |
по теореме |
12.3.1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ту(Мп, l) = Ts(Vn.lt |
|
|
П) + Ту(Мп, | ® т г ' ) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
yT8(Va-u |
|
Г(1®Ц-1)). |
|
(17) |
||||||
Сравнивая |
коэффициенты, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тр(Мп, |
|
!) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- = r p ( V . - „ |
/*|) + |
Г р (Л1 я > |
S ® r f I |
) + |
r p - 1 0 / * - i , |
/ ' ( б ® Л"'))- |
(18) |
Здесь |
положено |
ТР(М„,1) |
= 0 |
при р < 0 |
и |
р > п и |
|
ТР{уп-\, |
1*1) = |
0 при |
р < 0 и |
р>п— |
1. Формула |
(18) |
содержит |
формулу |
(4) из |
12.1 |
в качестве |
частного случая. |
|
|
§13. Расщепление многообразия
ипринцип расщепления
13.1.Рассуждения настоящего параграфа справедливы для не
прерывных, |
гладких и комплексно-аналитических |
расслоений |
(ср. 3.1, 3.2). |
Пусть X — соответственно топологическое |
простран |
ство, гладкое многообразие или комплексное многообразие. Пусть
над X задано |
GL(q, С)-расслоение %. Рассмотрим |
ассоциированное |
|
с g главное |
расслоение L со слоем |
GL(g, С) |
и построим рас |
слоение |
Е = L/A (q, |
С) |
|
|
|
с многообразием флагов F(q) = GL(q, С)/А{q, С) в качестве слоя:
|
|
|
|
|
|
Е ^ Х , |
слой |
F(<7). |
|
|
|
|
(1) |
|||
Главное |
расслоение, |
ассоциированное |
с |
касательным |
расслоением |
|||||||||||
к комплексному |
многообразию |
F(q), |
обозначим |
через |
|
T(q) |
||||||||||
(ср. |
4.7): |
|
|
T(q)-+F(q), |
слой |
GL (т, С). |
|
|
|
|
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Здесь |
m = |
q(q—1)/2 |
— комплексная |
размерность |
|
многообразия |
||||||||||
F(<7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Группа |
GL(9, С) |
действует |
левыми |
сдвигами |
на |
F(g), |
а |
по |
||||||||
этому |
также и |
на |
T(q). |
Исходя |
из |
произведения |
Ly(T(q), |
|
из |
|||||||
вестным |
образом |
(см. |
3.2d) |
строится |
ассоциированное |
к |
| |
рас |
||||||||
слоение |
(S(^): |
|
|
|
|
|
слой |
T(q). |
|
|
|
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(&(q) |
является |
главным |
расслоением |
над Е со слоем |
GL(m, |
С). |
||||||||||
В |
результате |
получается следующая |
коммутативная |
диаграм |
ма, в которой каждая стрелка является проекцией расслоения на
свою |
базу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
d (д) |
слой GL (т, С) ^ |
Е |
|
||
|
|
N |
\ |
Ф / / |
|
|
(АЛ |
|
|
слой Т (q)\ |
/ с л о й |
F (g) |
\ ч / |
||
|
|
|
\ |
, / |
|
|
|
Над каждой точкой из X имеем ситуацию, описываемую диаграм |
|||||||
мой |
(2). |
|
|
|
|
|
|
GL(/n, С)-расслоение, ассоциированное |
с |
главным расслоением |
|||||
(5 (q) |
над |
Е будет обозначаться |
через |
| Л |
и |
называться расслое |
|
нием |
вдоль |
слоев F(q) расслоения |
Е. |
|
|
|
б Ф5 Хирцебру*
Расслоение ф*| над Е допускает естественным образом в ка
честве |
|
структурной |
группы |
А(<7, С) |
(теорема |
3.4.4). |
Оно |
опреде |
|||||||||||
ляет, таким образом, последовательность q диагональных |
^ - р а с |
||||||||||||||||||
слоений £ь |
|
|
lq |
(ср. 4.1с). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т е о р е м а |
13.1.1. В приведенных |
выше обозначениях |
|
GL (т, С)- |
|||||||||||||||
расслоение |
| Л |
над |
|
Е |
допускает |
в |
качестве |
структурной |
группы |
||||||||||
А ( т , С). Соответствующие m диагональных |
С-расслоений |
равны |
|||||||||||||||||
%i ® lj\ |
і > |
/> 8 |
следующей |
последовательности: |
|(. ® |~' |
стоит |
|||||||||||||
раньше, |
чем |
| г , ® £,J,\ если |
/> |
/' |
или |
']—'{ |
и |
i<i'. |
|
|
|
|
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Мы проведем |
доказательство |
индукцией |
||||||||||||||||
по q. Теорема |
тривиальна при_^ — 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
Построим |
расслоение |
X — |
L/GL(\,q—1;С). |
Слоем |
для |
X |
||||||||||||
является комплексное проективное пространство |
PQ _i(C), так |
как |
|||||||||||||||||
по 4.1а |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
©(1, q - l ; |
С) = |
Р,_,(С) = |
GL{q, |
C)/GL(1, |
q - |
I; |
С). |
(5) |
||||||||||
Любая |
|
матрица |
А |
из GL(1; q— |
1; С) |
имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
А-- |
а |
а12, |
..., |
aXq |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
| |
|
А" |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сопоставляя |
матрице |
А |
матрицу |
А" |
^ |
GL(q—1,С), |
получаем |
го |
|||||||||||
моморфизм |
h: GL(1, q— |
1; С)—*GL(q— |
1, С), при котором |
A(q, |
С) |
||||||||||||||
отображается |
на A(q — 1,С). Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
GL(1, q - l ; |
C)/A(q, |
C) = G L f o - l , |
С)/Д (q - |
1, С) = |
F (q - |
1). |
(6) |
||||||||||||
b) |
Очевидно, |
что |
Е является |
расслоением |
над |
X с |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
F(<7 - 1) = GL(1, q - l ; |
C)/A(q, С) |
|
|
|
|
|||||||||
в качестве |
слоя |
и |
GL(1,<7—1;С) |
в |
качестве |
структурной |
группы |
(ср. 3.2с). Так как ядро гомоморфизма h действует тривиально на F(q—1), то Е можно рассматривать как расслоение со структур
ной группой |
GL(<?—1,С) |
(ср. (6)). |
|
|
|
|
||
Если X есть точка, то Е — |
F(q), |
X = |
Pg _i(C). В частности, по |
|||||
лучаем, что |
F(q) |
является |
расслоением |
над Pg _i(C) со слоем |
||||
F(<7—1) и со структурной |
группой |
|
GL(q—1,С): |
|
||||
|
я: |
F (</)-> Р, _ , (С), |
слой |
F(q-l). |
(7) |
|||
Имеет место коммутативная диаграмма |
|
|||||||
|
|
£ |
|
слой F {q-l)> |
j£ |
|
||
|
|
с л о й Р ( ? ) \ ч |
у |
слой |
P^_j (С) |
(8) |
\/
X