Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

ситуации (7).

c) Структурная группа расслоения г|;*| может быть

естествен­

ным

образом редуцирована

к

G L ( l , g — 1;С). Таким образом, над

X определены С*-подрасслоение х\

и GL(q—1,

С)-факторрасслое-

ние |. Расслоения Е и Я над X ассоциированы с £, а расслоение Е

над

Я

ассоциировано

с

| .

Расслоение

ф*|

над

Е

допускает

&(q— 1, С)

в качестве

структурной

группы. Соответствующие

диа­

гональные

С*-расслоения

равны | 2 ,

£з, • • •,

1д-

Далее, ф*т) =

£i.

d)

Рассмотрим

теперь

главное

расслоение

Т, ассоциированное

с касательным

расслоением

к

комплексному

многообразию

Р в - , ( С ) :

Т - > Р , _ , ( С ) ,

слой

G L ( < 7 - 1 ,

С).

(9)

Группа

GL(q, С)

действует

на

Р ^ - ^ С ) , а

поэтому

также и

на Т.

этому

Т

можно

представить

как факторпространство

группы

GL(q,

С), а именно как факторпространство по подгруппе Н тех

элементов,

которые фиксируют

заданную точку у0 из

Т. Если эле­

мент

из GL(o, С)

оставляет неподвижной точку

уо,

то,

очевидно,

он оставляет на месте весь проходящий через у0

слой

в (9). Пред­

берем

в

качестве

г/о точку

из

слоя расслоения

(9),

лежащую

над

точкой

из

P? _i(C),

соответствующей

классу

смежности

G L ( 1 , < / - 1 ; C ) .

И будет тогда подгруппой группы

Требуемая

подгруппа

GL(1,<7—1;С), и

легко

видеть,

что

Н совпадает

с подгруппой

матриц

следующего

вида:

/

а

\ а1 2 ,

alq

\

/ — единичная

матрица.

— І

I

а/

,

V О

/

И является

нормальной подгруппой группы G L ( l , g — 1 ; С)

и сов­

падает

с

ядром

гомоморфизма,

отображающего матрицу

А

на

а~хА"

(в

обозначениях из

а ) ) . «Поделив» в формуле (5) числи­

тель и знаменатель

на Н,

получим

(GLfo, C)/tf)/(GL(l, q - l ;

С)///) =

Р,_,(С).

Таким

образом,

(9) совпадает

с

Т =

GL(<7,

С)/Я - *(GL(о,

C)/tf)/(GL(1,

q - l ;

С)/Я).

(9*)

]_Щ

слой

GL ((7-І, С) ^

слой

^ / с л о й

PQ-{

(С)

\

/

X

Над каждой точкой из X имеем ситуацию,

описываемую

диаграм­

мой (9).

_

•

L/H

является главным расслоением

над

А'. Из

с)

и d)

следует,

что оно

ассоциировано

с и - 1

® | . Мы будем называть

тр 1

<8> |

рас­

слоением вдоль

слоев

Pg_i(C)

расслоения

X

(ср.

(8)).

f) Мы проведем теперь конструкции, описываемые

формулами

(1) — (4), для

GL(q—1,

С)-расслоения

І

над

X

и

все,

что

ка­

жим m =

{q— \) (q — 2)12.

Имеем т = q(q

— 1)/2 == in + (q — 1).

Легко

показать,

что

структурную

группу

GL(m, С)-расслоения | А

(расслоения вдоль слоев

F(q)

расслоения

Е)

можно

редуцировать

к группе GL(m, q—

1; С),

причем

так,

чтобы

| л

(расслоение

вдоль

слоев

F(<7—1)

расслоения

Е)

было подрасслоением, аф* (тр1

®|) —

факторрасслоением. Здесь т р ' ® 1 является расслоением

вдоль слоев

Pg _i(C) расслоения X.

теорема

уже

доказана

для

Мы

предполагаем

теперь, что наша

q—1.

Так как

ф| имеет

в

качестве диагональных

С*-расслоений

последовательность

І2, • • •,

Ід, то

| д

допускает

в качестве

струк­

турной

группы

А ( т , С)

с

диагональными

С*-расслоениями

І/ ® IJ1

( г " > / ^ 2 )

в последовательности,

указанной

в

формули­

ровке теоремы. Но

Ф*(л~' ® 1)==£Г'

®

Поэтому

ф * ( т р ' ® | )

допускает

группу

A(q—

1, С)

в

качестве

структурной группы с диагональными

расслоениями

б 2 ® ІГ1 .

^ ® £ Г ' -

Тем самым теорема

доказана.

Т е о р е м а

13.2.1.

Пусть X — комплексное

многообразие,

£ —

комплексно-аналитическое

GL(q, С)-расслоение

над X и

L —

глав­

ное расслоение

над X,

ассоциированное

с |. Рассмотрим

расслое-

ние

E =

L/A(q,C),

имеющее

многообразие

флагов

F(q) —

=

GL(q,

C)/A(q,

С)

в

качестве

слоя:

qp: Е->Х,

слой F (q).

(Г)

Е является

комплексным

многообразием,

и

<р — голоморфное

ото­

бражение

Е

на

X. Структурную

группу

комплексно-аналитического

расслоения

ф*|

над

Е

можно

естественным

образом

(комплексно-

аналитически)

редуцировать

к

A(q,

С).

Обозначим

q

диагональ­

ных

комплексно-аналитических

С*-расслоений,

в их

естественном,

порядке

следования,

через

| ь

| 2 .

• • • >

Тогда

расслоение

| д

вдоль

слоев

расслоения

(1*)

является

комплексно-аналитическим

GL(m,

С)-расслоением

(m =

q(q—1)/2),

структурная

группа

ко­

торого

может

быть

комплексно-аналитически

редуцирована

к

Д ( т , С);

при

этом

m

диагональных

комплексно-аналитических

С*'-расслоений совпадают

с £г

®

| ~ '

(/ >

/)

в

порядке

следования,

указанном

в теореме

13.1.1.

З а м е ч а н и е : В

предыдущем

пункте

мы

привели

прямое

до­

рема

Ли

гласит

(см. Ш е в а л л е

[1]):

Пусть Н — разрешимая

связная

комплексная

группа Ли

up

—

голоморфный

гомоморфизм

Н

в

GL(m, С). Тогда существует

эле­

мент a e G L ( m ,

С),

такой,

что ap(H)a~l

а

А(ш,

С).

Интересующее нас утверждение

о | А

получается

отсюда сле­

дующим

образом.

Выделим

в

F(q)

=

GL(q,

С)/Д(q, С)

точку,

соответствующую

классу

смежности

A(q,

С),

и

обозначим

ее

через

е0.

Группа

GL(q,

С)

действует

на

F(q),

и

A(q, С)

совпадает с

подгруппой,

жается

в GL(ra, С),

m==~ q(q — \ ) . Так как группа

A(q,

С)

раз­

решима,

то

из теоремы Ли мы получаем, что в Ст(е0)

можно

найти флаг

линейных

подпространств L 0 <zz L x <zz ...

с: L m =

Ст(е0),

Обобщения

теоремы 13.1.1 и связи

с теорией корней для групп

Ли обсуждаются в работе

Б о р е л ь

и Х и р ц е б р у х

[1].

13.3. Пусть

X — почти

комплексное

многообразие

комплексной

ответствующее

факторрасслоение

изоморфно

ф*8(Х).

Пусть

I,-,

f =

1,

q — диагональные С*.-подрасслоения

расслоения qp*|

над Е,

и пусть

с(| { ) =

1-f-уь

\i^H2(E,Z).

Из

теоремы

13.1.1

следует, что полный класс Чженя многообразия Е равен

с(Е)

=

<р*с(Х)

П

( 1 + Y / - Y / ) -

(Ю)

Если в качестве | выбрано касательное расслоение Q ( X ) , то

почти комплексное

многообразие Е

будет

обозначаться через X * .

В

этом

случае

ф*| =

ф*0(^)

допускает

в качестве

структурной

группы

А (га, С) и соответствующие га диагональных

С*-расслоений

совпадают

с

gi,

. . . ,

| „ .

Следовательно,

0 ( f )

допускает

Л (га (га -4- 1) /2, С)

в качестве структурной группы, и соответствую­

щие диагональные

расслоения

равны

®

%п

(n~^i>

> / ^ 1 ) . Из

(10)

следует, что

полный

класс Чженя

многообразия

X А

равен

с ( * А ) =

П ( 1 + У / )

П

0 + Y / - Y / ) .

(П)

13.4. Рассуждения предыдущего пункта переносятся на ком­

плексно-аналитический случай. Пусть

X — комплексное многообра­

зие

комплексной

размерности га с касательным комплексно-анали­

тическим расслоением

Q(X),

и пусть g — комплексно-аналитическое

GL(g, С)-расслоение над X . Тогда Е будет естественным

образом

комплексным

многообразием

комплексной

размерности

га + /га,

m = q(q—1)/2,

которое

проекцией

ф голоморфно

отображается

на X , и Е является комплексно-аналитическим

расслоением

над X

со

слоем . F(q).

Касательное

комплексно-аналитическое

GL(ra +

-f-гаг, С)-расслоение

0 ( f ) допускает

в качестве

структурной

группы

GL(/n, га; С),

так

как Е обладает комплексно-аналитическим по­

лем гаг-мерных касательных

элементов

(поле касательных

к

слоям