Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

мулой (10) предыдущего пункта. В частности, если

1 =

В(Х)

есть

касательное

расслоение,

мы снова положим Е — X А .

В

этом

слу­

чае как подрасслоение £л , так и факторрасслоение

<р*£ = ф*0(Х)

допускают

в качестве

комплексно-аналитической

структурной

казано,

что

и структурная группа

комплексно-аналитического рас­

слоения

0 ( ^ л ) может быть комплексно-аналитически

редуцирована

к

А (я (л +

1)/2, С).

Соответствующими диагональными

расслое­

ниями

являются

комплексно-аналитические

С*-расслоения

It

<8> £,Jl,

£ь

In

(пі^ i>

j ^

Классы

Чженя

для

X А

за­

даются

формулой (11) предыдущего пункта, если

с(|*) =

I +

у{.

13.5а. Почти комплексное многообразие X комплексной размер­

ности я

называется

расщепляющим

многообразием,

если

его глад­

кое касательное расслоение

0(^)

допускает

А(п,

С)

в

качестве

расслоений I , ,

^ є Я ' ( І , СJ)

и в(Х)

является

суммой Уит­

ни расслоений li.

Положим c ( | j ) =

1 + аи

at^ H2(X,Z).

Тогда

с ( *) =

Й (1+а<) .

(12)

13.5Ь. Комплексное многообразие

X

комплексной размерности

п называется комплексно-аналитическим

расщепляющим

многооб­

разием,

если комплексно-аналитическое

GL(я, С)-расслоение

Q(X)

допускает в качестве структурной группы группу

Л (я, С),

т.

е.

если 0(^)

лежит в образе

отображения

W(X,

А (я,

C)J^W(X,

GL(n,

C)J.

Тогда

определены

я

диагональных

расслоений

ІП

є

є Я ' ( І ,

Сщ). Вообще

говоря,

Q(X)

не

является

комплексно-ана­

литической

суммой Уитни

расслоений

£ ь

£„. Однако если рас­

сматривать

все расслоения как непрерывные

(или

как

гладкие),

то

Q{X)

совпадает с

суммой

Уитни

£і ф ... ф

£„.

Класс Чженя

для

X задается формулой

(12).

(1+у)пТ(Х)=%у1

1=0

л

S

Т

(

а

, а

Л

1/Х

(13)

Г < < ,

<

...

<

^ < n

У \

'

Для доказательства воспользуемся определением виртуального

Г^-рода из 11.2(7), применим

(12)

и

получим

для

правой

части

формулы

(13)

'[[(l+yR(y;

at))JlQ(y\ а,)

ад

+ aty)

i=\

i=\

С +

У)ai

T T

аЛ

П 1 - е х р ( - ( 1 +у)

at)

0

+

Л х я

X X

1 — ехр (— аг-)

i=i

=

(1 +

у)пт(х).

При

у =

1 виртуальный

Г г р о д

переходит

в

виртуальный

индекс

2пТ

(X) =

S

(13*)

Так как виртуальные индексы являются целыми

числами

(теоре­

ма 9.3.1), то отсюда

следует

Т е о р е м а

13.6.1.

Род

Тодда

компактного

почти

комплексного

расщепляющего

многообразия,

умноженный

на

2п,

является

це­

лым

числом.

Формулу (13) можно обобщить на случай виртуального 7'-рода.

Если

Ь\,

...,

br<= Н2 (X, Z), г ^

я,

то

(l+y)n-rT(bu

Ь2,

Ьг)х-

JlRiy;

bMl+yRtr.bM^Tla+.yRiy;

a,))JlQ(y;

ak)

• (И)

І=І

i=\

fc=i

• •

Из (14)

и

определения виртуального

Города

следует,

что

(1 +

у)п~тТ(Ь\,

br)x

можно

представить

в

виде

линейной

коэффициентами.

Полагая

в

(14)

у =

1, получим

представление

2n~rT(b\,

br)x

в виде

линейной комбинации виртуальных

ин­

дексов с целыми коэффициентами. Тем самым

доказана

Т е о р е м а

13.6.2.

Пусть

X — компактное

почти

комплексное

расщепляющее

многообразие,

и

пусть

Ьи

Ьт

— элементы

из

H2(X,Z).

Тогда виртуальный

род

Тодда

Т(Ьи

br)x,

умножен­

ный на

2п~\

есть целое

число.

§ 14. Мультипликативные свойства рода Тодда

14.1. Некоторые алгебраические замечания. Пусть

с ь

сп

—

переменные

над

полем

К

характеристики

0.

Рассмотрим

поле

К ( с ь

сп).

Воспользовавшись

новой

переменной

х,

напишем

разложение

1+<?,* +

. . . +спхп

=

(1 +

Yi*) • • • О +

Уях)

и

добавим

элементы

уь

Уп),

\ п

к

полю

K ( c i , . . . , с„).

Получим

поле

К(сі,

cn ) (YI,

которое

является

алгебраическим

расширением

степени га! поля

K(ci,

с„). При этом га! элемен­

тов

Y^'Y"2 • • • YnlT1 '

0 ^ а г

^ я

—t,

образуют

аддитивный

базис

этого

расширения. Легко

доказать

следующую

лемму.

Л е м м а

14.1.1.

Всякий

формальный

степенной

ряд

Р

от

У\, • • •, Уп с коэффициентами

в

К может быть однозначно

записан

в

следующем

виде:

Р=

2

P

E -

. . E

Y W

(і)

г ^ Є

Ра а

а

— формальные

СТЄПЄННЬІЄ

ряды

ОТ

С Р

. . . ,

с

коэффициентами

из

К. £СУШ Р

имеет целые

коэффициенты,

то

и

степенные

ряды

р„

„

имеют

целые

коэффициенты.

а 1 ••• аП-1

Определим индикатор

р(Р)

равенством

P ( P ) =

( - i r (

" - 1 ) / 2

P „

\.п-2

Г

Для

всякой

перестановки

s: (Y,, Y2>

•••>

Y„)-> (Y/ . Y / •

•••>

Y / )

имеем

представление,

соответствующее

(1),

P=

2

pfa..a

Y №

• . . Y f " -

(IS)

и

s-индикатор для P

определяется

равенством

р<*>(Р)^( - 1Г

„_2

/г!

элементов

Y/'Y?2

• • •

Y ? N - , » 0 < a , < r a

—г

также

образуют

'I

'2

1

'

базис

нашего

расширения,

и

ясно,

что все эти элементы, кроме

Y/- 1 Y7~2 » •••>

Y;-

>

имеют

индикатор

0.

Индикатор

элемента

Y;- 1 Yf~2 > •••>

Y/

равен

±

1.

Отсюда

следует, что

P(*>(P) =

p(s(P)) =

± p ( P ) .

(2)

Л е м м а

14.1.2.

Если

существуют

различные

і и

у,

такие, что

Р остается инвариантным

при перестановке

уі

и у},

то

индикатор

р(Р)

равен

нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Лемму, -очевидно, достаточно доказать

только для многочленов Р. Если Р остается инвариантным

при пе­

рестановке

уі и УІ, і ф

\,

то в силу (2)

можно,

не умаляя

общно­

сти,

предполагать,

что

і =

п—1, / =

п.

По

теории

Галуа

много­

член Р принадлежит тогда полю, порожденному над К(си

...

сп)

элементами

уи У2, • • •,

Уп-2-

Следовательно,

его индикатор

равен

нулю.

С л е д с т в и е .

Пусть

s — перестановка

(уи

у2,

уп)-*

V

\

}

Т о г

д

а

Р ( У Г ' Y r 2

• • • Y„_,) =

sign (s) p (s(y n ~Y 2 - 2

• • • Y„_,))-

(3)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Формулу

(3)

достаточно

доказать

для

случая, когда s является

транспозицией

(і, у). В этом случае

v r w r 2

• • • Y „ _ , -h Y ^ - ' Y ; - 2 - • • Y / N _ T

щей леммы. Теперь легко получить

формулу для р(Я). Из (2) и

(3) видно, что

р (Р) = sign (s) р<*> (Р) =

sign (s) • р (s (Р)).

(2*)

Отсюда

n!p(^) = p ( S s i g n ( s ) - s ( P ) j ,

(4)

ггсе суммирование ведется по всем п\

перестановкам 5.

Выражение

2 sign(s) • s(P), очевидно, знакопеременно.

Отношение

q (Р) = ( 2

sign (s) • s (Р)) IП

(Ъ - у/)

\ s

Iі 1> і

пенным рядом

от С\, с2 ,

сп-

Таким

образом,

«!р(Р) = р ( П

(Уі ~У,))<\(Р).

(4*)

Полагая

Р = у

^

у ^ _

у ^

п о л у ч а

е м

р(Р) =

( — l ) " ( " - I ) / z и

2

sign (5) • s (Р) =

( - 1 Г i

n ~ m

П (yt

~ Y/)-

s

•

і > f

Из (4)

следует

тогда,

что р[ П

(v« — Y/)j =п\

и (4*) дает

для

произвольного степенного ряда Р искомую формулу

p(P) = (Ssign(s) - 5 ( Р ) ) / П . ( у г - у / ) .

(5)

Л е м м а 14.1.3. Пусть P

= J[ exp (vj -

vl) - 1

' Т о г д а 9 ( Р ) = 1 "

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим 2а =

2 (Y»—

Y/)- Тогда по 1.7

И 2 s h ( ( Y i - Y / ) / 2 )

и по (5)

Р (Р) = (2

sign,(s) ^ <«>) / П 2 sh((Y l -

Y/)/2).

Положим xt=exp(—у

І/2).

Тогда

14.2. Теперь вернемся к

многообразию

флагов F(n) =

=

GL(n, С)/Д(п, С). Применяя

теорему 13.2.1 к тому случаю, ког­

да

X является точкой, мы видим, что F(tt) есть

комплексно-анали­

c(F(n)) =

II

( 1 + Y i - Y / ) .

(6)

і > І

где

у, —элементы

из

H2(F(n),

Z), C ( | 4 ) =

1 +

Y< (CM. 13.2) и

2 ( 1 + Y < ) = 1 -

(7)

По

А. Б о р е л ю

[2] кольцо

когомологий

#*(F(n),Z)

порождено

элементами у* с

(7)

в качестве

единственного

соотношения, т. е.

/T(F(n),

Z) = Z [ Y „

-

Y„]//+ (c,

ся ),

где

уь • • •. Yn рассматриваются

как переменные, а /+

обозначает

С],

с„ от YtПрименяя результаты из

14.1, легко видеть, что

п\

элементов Y?'Y22 ••• Y°i7'> 0^.аі^.п—-і,

образуют аддитив­

ный базис кольца

когомологий

H*(F(n),Z).

Произвольный

многочлен

Р от уг с целыми коэффициентами