Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Эйлерова характеристика

для

F(n)

равна

я!, так

как

//*(F(«),Z)

содержит

только

элементы четных

степеней. Поэтому,

согласно формуле (6)

и теореме 4.10.1,

л 1 =

П

(Y* — Y/)[F(")]-

(8)

В

14.1

было показано,

что р ^ П ( Y / —

Y/)j —

Отсюда

сле­

дует,

что

(—\)п ( п ~1 ) І 2 у1~1 у^~2

. . . Y„_I

является

Образующим

эле­

тации. Наконец,

из

леммы

14.1.3 и из (6) следует,

что

род

Тодда

для

F (п) равен

1.

14.3. Вернемся

снова

к

ситуации,

описанной

в

13.3.

Т е о р е м а

14.3.1.

Пусть

|—гладкое

GL(q,

С)-расслоение

над

компактным

п-мерным

почти комплексным

многообразием

X. Пусть

L — главное

расслоение,

ассоциированное

с

|.

Расслоение

Е

=

=

L/A(q,C)

имеет

в

качестве

слоя

многообразие

флагов

F(q)

и

естественным

образом

может

рассматриваться

как

почти

комп­

лексное

многообразие

размерности

«+-j<7(<7 — 1).

Проекцию

Е

на

X

обозначим

через

ср.

Пусть,

далее,

задано

GL (/, С) -расслое­

ние

£ над X.

Тогда

для

Т-характеристики

для

£

имеем

Т (Е,

<р-£) =

Т (X,

£) Т (F (q)) =

Т (X,

£).

(9)

Пусть

заданы

элементы

Ь И

ЬгєН2(Х,

Z). Тогда

для

вирту­

альной

Т-характеристики

имеем

следующее

обобщение

форму­

лы

(9):

Т(ф*6„ . . . . ф*6г

|, <РХ)Е = Т { Ь Ь

...,ЬГ\,

Ох-

(Ю)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

(9)

есть

частный

случай,

то

достаточно

доказать

формулу

(10). Пусть

с(ф*|) =

1 +

Ф*^і + . . .

і

. . .

+

ф*св

=

П (1 +

УІ)>

и

пусть

m — q(q—

1)/2. Из определения

12.3(15) и

формулы

13.3(10) следует, что

ремы 14.3.1,

всякий

раз

когда

р(

П

B(\i

— yt)\

является

\q>i>

i > \

)

элементом основного поля и не зависит от

С\

cq. Ясно тогда,

что этот элемент равен K(F(q)).

(Мы

используем здесь обозначе­

ния из 14.1, п заменено на

q.)

/"„-род, как род в смысле 10.2,

обладает

тем свойством,

что род

произведения

равен

произведению родов

сомножителей

(лемма

10.2.1). Как мы только что видели, для случая расслоения

Е над X

с многообразием флагов

F(q) в

качестве

слоя

Т^-род ведет себя

мультипликативно:

Естественно возникает вопрос:

для каких расслоений Е над X

с данным слоем F имеет место

равенство TV(E) —

Tv(X)Ty(F)}

При этом подразумевается, что Е,

X, F — компактные

почти комп­

Пусть £— гладкое

GL(<7, С) -расслоение

над компактным

почти

комплексным

многообразием

X

и L — ассоциированное

с |

главное

расслоение;

Е'

=

L/GL(1, q — 1; С)

является

ассоциированным

с \

расслоением

над

X

с

комплексным

проективным

пространством

Pg _i(C) в качестве слоя

и Е' можно естественным образом

снаб­

дить почти комплексной

структурой.

Тогда

Ту(Е')

= Ту(Х)Ту(Рч-,

(С)).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

E =

L/A(q,C)

является

расслоением

над Е' со слоем F(q—1)

(см.

13.1(8)).

Так как Ту ведет себя

мультипликативно, когда

слоем

является

многообразие флагов,

то

Ty(E)

= Ty(X)Ty(F(q))

и

Ту

(Е) =

Tg

{Е') Ту (F (q — 1)).

Далее,

Ту (F (q)) =

Ту

(F (q -

1)) Ту ( Р . - , (С)).

Отсюда

следует,

что

Ty(Ef)

= Ty(X)Ty(Pq-l(Q),

(12)

поскольку

Ty{F(q—

1))

начинается

с 1.

По поводу дальнейших результатов о мультипликативных свой­

ствах

Города

см. работу

Б о р е л ь

и Х и р ц е б р у х

[1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Аналог кольца кобордизмов для почти комплексных многообразий

предложен

М и л н о р о м

[3]. Его можно определить с помошью

понятия слабой

комплекс­

ной структуры

( Б о р е л ь и Х и р ц е б р у х [1], часть

III) . Слабая

комплексная

ного векторного расслоения ті и изоморфизма

р(ц)

= | © а

(см. 4.5). Компакт­

ное гладкое многообразие X называется слабо

почти комплексным,

если его ка­

сательное расслоение R 0 снабжено слабой почти комплексной структурой. В этом

случае р(т)) = д9 © а, и с(г\) называется полным

классом

Чженя

слабо почти

комплексного многообразия X. Слабая комплексная структура индуцирует ориен­

тацию в X и определяет целые числа c{ct

...cl

[X], 2(і'і + Ч +

• • • + h) =

Определение

слабой

почти

комплексной структуры можно

распространить

на

многообразия

с краем

и с его помощью определить отношение

эквивалентно­

сти

V ~ W между слабо

почти

комплексными многообразиями. Классы эквива­

гообразиях,

дано М и л н о р о м

[4]. Из результатов

С. П. Н о в и к о в а [2] и

М и л н о р а

[3] следует, что V ~ W тогда и только

тогда, когда

V и W имеют

одинаковые числа Чженя. В частности, род Тодда

T(V)

является инвариантом

класса комплексных кобордизмов для V.

Z[ylt

уг, ...],

М и л н о р [3] доказал, что Г изоморфно кольцу

причем изомор­

физм Z[(/i,

г/г, ... ] - > Г получается,

если одночлену

уп

сопоставить

компактное

почти комплексное многообразие Yn

с такими

свойствами: У„ имеет

касательное

GL(«, С)-расслоение

G и, в обозначениях из 10.1,

± 1 ,

если п +

1 не является степенью

s(Yn)=sn(Q)

[¥]••

никакого

простого

числа,

± q,

если п +

1 является степенью

простого

числа

q.

На самом деле

в качестве

многообразий У„ всегда можно брать

многообра­

зия, получающиеся операциями перехода

к обратному, взятия сумм и произведе­

ний из многообразий следующего типа

(см. Х и р ц е б р у х

[6]):

комплексные

проективные

пространства Рг(С), для которых s(P r (C))

=

/• + 1, и гиперповерх­

ности Н(Г, j)

степени (1,1)

в P r ( C ) x P i ( C ) ,

г >

1,

t >

1,

для которых

s (Н(Г , t)) = — ^Г ~^ ' j . Таким

образом, в качестве

образующих

Yn

для Г можно

порождают

часть без кручения Q в Q (см. библиографические замечания к гл. I I ) .

Из теоремы

20.2.2 следует, что род Тодда

всякого алгебраического

многообразия

является целым

числом;

следовательно, то же верно и для линейной комбина­

ции алгебраических многообразий. Поэтому

из приведенного выше результата вы­

текает, что Т (X)

является целым числом

для любого компактного почти ком­

плексного многообразия X. Аналогично вторая часть теоремы 14.3.2 выполняется

без множителя 2п~г. Это же можно обобщить

на случай виртуальной Г„-харак-

теристики непрерывного GL(q, С)-расслоения |

над X: виртуальная

7Yхарактери­

стика Ту(Ьи

Ьг\,Ц),

где i j e № ( I , Z ) ,

является многочленом

по у с целыми