Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

собраны в § 15. В двух местах во время доказательства

прихо­

дится

делать

дополнительные

предположения

о V: сначала,

что

V — кэлерово

многообразие

(15.6—15.9),

а

затем,

что

V—алгеб­

раическое

многообразие.

§ 15.

Когомологий компактных

комплексных

многообразий

15.1.

Пусть W — комплексно-аналитическое

векторное расслое­

ние над V, и пусть Q(W)

— пучок ростков

голоморфных

сечений W

(см.

3.5).

Q(W)

Группы'когомологий

V с коэффициентами

в пучке

рост­

ков голоморфных

сечений расслоения W (ср. 3.5) будем для крат­

кости

обозначать

через

Hl(V,

W).

Будет

показано,

что

они

равны

нулю

при

І,

большем,

чем

комплексная

размерность

многообра­

зия V,

и

что

для

компактного

многообразия

V они

суть конечно­

мерные пространства над С. Изоморфные расслоения W, W

имеют,

очевидно,

изоморфные пучки

сечений Q,(W)

и Q(W)

и дают

изо­

Пучок Q ( l ) — это

пучок ростков голоморфных функций Со. Этот

пучок будет также обозначаться через Q.

H°(V, W) является комплексным

векторным

пространством

всех глобальных

(т. е. определенных на

всем V) голоморфных се­

чений расслоения

W. В частности, H°(V,

1) является комплексным

векторным пространством всех определенных на всем V голоморф­

ных функций. Если V компактно, то H°(V, 1) имеет

размерность d,

где d — число связных компонент многообразия V.

С*-расслоений над V

образует абелеву группу #'(Y> Си ),

в

ко­

торой групповая операция совпадает с тензорным

произведением

(см. 3.7).

D

V задается так называемыми

Дивизор

многообразия

меро­

морфными функциями

положения

на V:

Пусть

U = { £ / J I E

/ — -

открытое покрытие

многообразия

V.

Для

каждого

і е

/

пусть

на

£/,•

задана мероморфная

функция

fit

не

равная

тождественно

нулю,

так

чтобы на

11І Г] V) функция

fj/fj

не имела

ни

нулей, ни

полюсов.

делается

обычным

образом. Дивизоры можно определить также и

с помощью пучков.

Пусть

© — пучок ростков

не равных тождественно

нулю

меро-

морфных

функций

(пучковая

операция — обыкновенное

умножение

ростков);

С(в является подпучком пучка ©. После введения

пучка

$) = ©/С(а получим

точную последовательность

0^+C»-»>@-*SD-».0.

(1)

в0

Н° (V,

©

) Я 0

(V,

£>) — > Я 1 (V, С^).

(2)

H°(V, ©)

является

мультипликативной

группой

не

равных

тож­

дественно нулю ни на какой

компоненте

связности

мероморфных

функций многообразия V. Мероморфная функция

f є Я ° ( У , ©)

определяет дивизор

(/) — hf,

который называется дивизором

ме-

роморфной

функции.

Два

дивизора

называются

линейно

эквива­

лентными,

если

их

разность

является

дивизором

мероморфной

функции

/ е Я ° ( 1 / , ©). Классы

дивизоров

по

отношению

линейной

эквивалентности

образуют

абелеву

группу

H°(V,'£))/hH0(V,®),

которая в силу точности последовательности

(2)

изоморфна

неко­

торой подгруппе

группы

Я 1

(V,

Сш ).

Если

D — дивизор,

то

мы

обозначаем через [D] комплексно-

аналитическое

Сщ-расслоение

(6oD)_ 1 - Единственное

с

точностью

до изоморфизма ассоциированное

с [D]

комплексно-аналитическое

1-мерное расслоение обозначается

через {£)}.

Если дивизор D относительно покрытия

U =

{ L 7 J £ s /

задается

мероморфными

функциями

то [D] задается коциклом

ft, = fi/f„ ft,: UrfU,-* С.

(3)

ция fi

имеет нули, — «положительными».

Мы не

используем

эту

терминологию, так как будем употреблять

слово

«положительный»

в другом смысле

(18.1).

Голоморфный дивизор D называется неособым

дивизором,

если

он относительно

подходящего

покрытия

I I =

{Ui}

может

быть

за­

дан функциями fi, удовлетворяющими следующим условиям:

Или

fi =

1

или в Ui можно ввести локальные

комплексные

координаты

так,

чтобы fi равнялось

одной

из

координат.

Пусть D — неособый дивизор

и dim V —

п.

fi(x)=0,

Множество

всех точек х

многообразия V,

для

которых

x^Ui

по крайней

мере для

одного

і

(а

значит, и для всех І,,

таких,

что Ї Є ( / І ) ,

является

комплексным

подмногообразием

раз­

мерности п—1.

Мы

будем

обозначать это

комплексное подмного­

образие тем же символом D в согласии с терминологией п. 4.9.

Пусть D — произвольный дивизор на

V,

заданный функциями

fi.

Рассмотрим

множество L(D)

тех

мероморфных

функций

g на

У,

для которых все функции gfi голоморфны

в Ui. Множество L (D)

зависит, очевидно, только от дивизора. Ясно,

что

L(D)

относи­

тельно

сложения

мероморфных

функций

является

комплексным

векторным

пространством.

Теперь может быть сформулирована

П р о б л е м а

Р и м а н а — Р о х а .

Определить

размерность

пространства

L(D).

Т е о р е м а

15.2.1. Для

всякого

дивизора

D

комплексного

мно­

гообразия

V

комплексные

векторные

пространства

L(D)

и

HQ(V,{D})

изоморфны.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

H°(V,{D})

является

векторным

про­

слоения

{£)}.

Дивизор

D

представим

в

подходящем

покрытии

ll = {Ui}i^I

функциями

f..

Тогда можно

считать,

что {D} получен

из

\JUiXC

идентификацией « Х & ^ ^ / Х С

с

и X fi («)/// («) k е

е

Ut X

С

(см. (3) и 3.2. а)). Но

сечение

s

расслоения {D} задается

функциями

Si

(si голоморфна

в Ui),

для

которых

SI~-JJSJ

%(а + а') — %(а) + к (а'),

% (са) = с ('ла);

а, а ' є

А,

с є С .

В

локальном

представлении в

виде прямого

произведения

UІ X С, антиизоморфизм

к задается

сопряжением.

15.3с. Пусть гладкое векторное расслоение

W над X задано по

отношению к подходящему

покрытию

11 = {Ui}i є /

гладкими ко­

ординатными преобразованиями

fit-

UiftU^GLiq,

С).

Тогда структурную группу можно редуцировать к V(q)

(см. 4.lb),

т. е. существуют гладкие

отображения

такие, что

й«: Ut->GL

(q, С),

ht{x)ftl{x)hj\x)<=U(q)

для

x^UiOUj.

Положим

gi = h\hi: Ut^GLiq,

С),

где f — транспонирование.

W* задается

Двойственное

векторное

расслоение

координат­

ными

преобразованиями

Если

точке

из W, имеющей вид и X t в локальном

представлении

W

в виде

прямого произведения

Ui X С9 ,

сопоставить точку

uXgi{u)

•

t,

то мы получим антиизоморфизм ty: W-*W*.

Мы будем называть -ф

эрмитовым

антиизоморфизмом,

соответствующим

данной

редук­

ции структурной группы. Он позволяет

ввести

на

каждом слое

WX

расслоения

W эрмитову метрику,

положительно

определенная

эрмитова форма которой равна \р(а)-а.

Здесь

a^Wx,

элемент

•ф(а)

принадлежит

двойственному

векторному

пространству,

\])(а)-а — значение линейной формы ty(a)

на а. Имеется

соответ­

ствующий эрмитов антиизоморфизм

W*—>W.

15.4. В этом

пункте

мы дадим

обзор результатов

Д о л ь б о [1],

[2],

К о д а и р ы

[3], С е р р а [3] относительно групп

когомологий