Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Скачать файл (14,00Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 118

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Над комплексным многообразием V рассмотрим пучок і ростков гладких форм типа р, q.

Оператор d на дифференциальных формах многообразия V может быть записан в виде суммы

d = д + д,

где д — дифференцирование по переменным z, д — дифференциро вание по переменным Z.

Имеем

дд = дд = дд + аа = 0.

Оператор д отображает всякую форму типа (р, q) в форму типа (p,q-\-\) и индуцирует поэтому гомоморфизм пучков

Ядро гомоморфизма д: $ Р . ° — 1 есть Q(XPT)— пучок ростков голоморфных р-форм. Действительно, для формы типа (р, 0) обра щение в нуль под действием д эквивалентно голоморфности. С по мощью вложения Q(KPT) В 9ІР'0 И гомоморфизмов д получаем следующую последовательность пучков над V:

0-+&(ХРТ)-*%Р-°->%Р-Х-+

. . . ->%"•"-+

. . . .

(4)

Как только что показано, эта последовательность точна в своем

начале. Впервые

доказанная

Г р о т е н д и к о м

«лемма

Пуанкаре»

утверждает, что

вся

последовательность

(4) точна (см. К а р т а н

[4],

Д о л ь б о

[1]).

комплексно-аналитическое

Пусть

теперь

задано

векторное

рас

слоение W над V со слоем Сг . Рассмотрим гладкое векторное рас

слоение

W <8> №Т <8> №Т,

и обозначим пучок ростков гладких се

чений этого

расслоения

через 91P-9(U7). Имеем

(1) =

ЩР- Я.

Сечения

пучка %т>. i(W),

т. е. гладкие'сечения

векторного расслое

ния

W ® №Т

® XT,

называются

гладкими

дифференциальными

формами

(кратко: формами)

типа

(р, q)

с коэффициентами

в W.

Положим

Л Р ,

9 ( Г ) = Г(У, Щ"-'(№))-С-модуль глобальных

форм

типа

(р, q)

с коэффициентами

в W,

Ар' q = Ар' 4(I) — С-модуль обычных глобальных форм типа (р, q).

Локально форма типа (р, q) с коэффициентами в W может рассматриваться относительно локального представления W в виде прямого произведения Ui X Сг как набор г обычных локальных форм типа (p,q). На таком наборе г форм действует д. Так как преобразование от одного локального представления Ui X Сг

к другому Uj X Сг является голоморфным отображением U{ Г] Uj в CL(r, С) и так как д равен нулю на голоморфных функциях, то операция д не зависит от выбора локального представления. По этому д индуцирует гомоморфизм пучков

д: %Р-"(№)->%"•

4 + 1 (W),

'и из точной последовательности (4) следует сразу же, что точна последовательность

0->Q(W ®Xpf)^%P-U(W)-+%P'L{W)^...

-+KP-G(W)-^

. . . .

(6)

Пучок ростков гладких сечений любого векторного расслоения над V является тонким пучком (см. 3.5). Этим показано, что (6) является тонкой резольвентой для пучка Q(WG$>№T), и из тео ремы 2.12.1 вытекает следующая теорема.

	Т е о р е м а		15.4.1		(Дольбо — Серр).		Комплексное		векторное
пространство			HP>I(V,W)		естественным		образом	изоморфно		q-u
группе		когомологий		д-резольвенты		(6), т. е.
			HP'Q{V,		W)^ZP'Q{W)ld{AP-Q-\W)),					(7)
где	ZP'Q(W)		обозначает модуль			тех глобальных		форм	типа	(р, q)
с	коэффициентами			в	W, которые обращаются			в нуль	под	дей
ствием		д.

Из этой теоремы немедленно следует, что группы когомологий HP'4(V,W) равны нулю, если р или q больше, чем комплексная размерность многообразия V.

До конца	этого параграфа		будем	предполагать,	что V	ком
пактно. Пусть	п = dim V.
Рассмотрим двойственное к W векторное расслоение W*. Тогда
естественным	образом	для	a^AP^(W),	$^AR~S(W*)	можно
определить произведение а Л р, которое				лежит в ЛР+г> e+s (l).		Для
W — 1 речь идет об обычном внешнем произведении форм. Это
произведение обладает		свойствами

д (а Л Р) = да	Л Р +	( - 1 ) Р + "	а Л ар,
а Д Р ^ - і Г ^ Р Л а .
Для г = п — р и s = n—-q	имеем	а Л р є	Ап>"(1)
интеграл
і (а,	р) = J	а Л Р.

( 8 )

и определен

Если

— ду,

y<=AP'i-l(W)

и если,

далее,

<Эр =

то

из

(8)

теоремы

Стокса следует,

что

i(a, р ) = J

d ( Y Л Р) =

J d ( Y A 8 ) = 0.

Аналогично

i(a, В) = 0

для

$ = ду,

у є АП~Р'

«-«Н

Билинейная форма і индуцирует поэтому в силу

(7)

спарива

ние

HP'i(V,W)

И #"-*>."-«(У, W*)

со

значениями

в С. Таким

об

разом,

для

а<= HP-V(V,W)

И ^ ^ "

- « ( У ,

№*)

определено

чис

ло

i(a,b),

которое

зависит

только

от

а и

i(a,b)

линейно

по

по Ь.

Кодаира

распространил

теорию

гармонических

форм на формы

с коэффициентами в W. Введем в

W произвольную

(фиксирован

ную) эрмитову метрику. Этим (15.3с) индуцируется

изоморфизм

Т^Т*.

Этот

изоморфизм

теорема 3.6.1

дают изоморфизмы

ХРТ<%№^

ХРТ ® ХПТ* ® ХПТ ® Я ' Г а*

г* Г _ Р Г ® Я , Я " ' Г == А , П ~ ' Г ® Я " ~ Р Г .

В результате получается

оператор

двойственности

*: ХРТ ® XqY->XN-QT

® Я / ^ Г -

Изоморфизм

** расслоения Я*>Х ® А,«Т на себя

есть умножение

на

(—1)Р+Я.

Редуцируем

теперь структурную

группу

векторного

расслоения

W к унитарной группе, и получим тем самым эрмитовы антиизо

морфизмы

(ср. 15.3с)

Пусть

х — сопряжение,

являющееся

антиизоморфизмом ХТТ ® XST

на

Х8Т®)7Т.

Положим

= г|)®(х*)

и #

-ф—1

® (и *),

полу

чим

антиизоморфизмы

W ® Л Т ® JJT -* W

® Г ~ Р Г ® ХП~"Т,

# :

Г *

® A T

Л^Г ->

Я г е - г

Г ®

Л " ~ * Г .

Для

г = п — р

s = n — q изоморфизм

# #

есть

умножение

на

( - 1)"+' .

#и # индуцируют антиизоморфизмы соответствующих пучков

#: %р-4(W)-*%n~p'n~q(W*), #: %r-s(W')-+%n-r-n-s(W).

Так как расслоения W и W* комплексно-аналитические, то имеем гомоморфизмы пучков

д: %p'q{W)-+%p-q+x(W),

д: Яг-s (W*) - > s + 1 ( I T ) .

Положим

и получим

гомоморфизм

Ф:

%P'Q(W)->%P'Q~L{W).

Если

а, р є

А"'4

(W) —- глобальные

формы

типа (р, <?) с коэффи

циентами в W, то можно

ввести их скалярное

произведение

(а, р) =

ф , # р ) = | а Л

р.

Тогда

(а, а) ^

(а, а) =

0' тогда и

только

тогда, когда а = 0.

По отношению к этому скалярному произведению

•& и д — сопря

женные

операции:

(а, Щ

= (да, Р),

O G ^ M

(W),

р є= Л р ' ' _ 1

(9)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

(а, *Р) =

j t x A # # a # p

= ( - l ) p

+ ?

| а Л а # р .

Следовательно,

(da,

Р) -

(а,

(За

Р + ( - 1 ) Р + Ч

р) =

= | д ( а Л # Р ) - J d ( a A # P ) = 0

по

теореме

Стокса.

Наконец,

определим

комплексный

оператор

Лапласа — Бель-

трами

•

dft,

который отображает

AP-I(W)

В себя. Под

пространство тех элементов а из AP>I(W),

для которых П а = О,

обозначим через

В Р ^ ^ ) .

ЭТО — подпространство

комплексно-гар

монических

форм.

Из

(9)

следует,

как обычно,

что Па = 0 тогда

и только тогда,

когда

•Оа =

да = 0.

Методы теории гармонических интегралов показывают, что

AP'<I(W)

является

прямой

суммой

трех

попарно

ортогональных

относительно введенного скалярного произведения векторных про странств

	Ар- q (W) = дА"'9		- 1 (W) © ЪАР- q + X	(W)	ф ВР- "-(V, W).
Отсюда	следует,	что	ZP' 4 (W) = дАр' ч~1	(W) © ВР' Q (V, W), и, на
конец,	по теореме 15.4.1
	HP'Q(V,	W)sZp'q(W)ldAp-4-\W)sBp-q(V,			W). -

Из того факта, что • является эллиптическим дифференциальным оператором на компактном многообразии, Кодаира выводит, что

Смотрите также файлы

1 вопрос. Натуральные числа имеют вид 1,2,3 которые используют для счета предметов, людей и др. Простым.doc

Цель занятия закрепление знаний об основных видах педагогической деятельности, формирование умения применять их. Задание 1.docx

Развивающие игры как средство обучения детей дошкольного возраста.docx

Используя данные таблиц 15, исчислите величину налоговых обязательств и налоговое бремя организации по всем отчетным периодам в течение одного календарного года по налогу на добавленную стоимость.docx

Физическая передача данных по линиям связи.pdf

Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно