Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Тогда

%°(У, W) — x(V,

W),

%?(V,W)

= 0 для

p < 0

и для

р >

п. (11)

Для

W — 1 мы,

естественно,

будем

писать

X P ( V ,

\ ) =

t p

{ V ) = l i

{ - \ ) q

h p

' q

( V ) .

<7=0

С помощью переменной у определим многочлены

%y(V,W)=^x"(V,W)yP,

xy(V)=t%p(V)yp.

(12)

р=0

р«=0

Мы назовем

%y(V, W) %у-характеристикой

векторного

расслое­

ния W, a %y{V)

— Ху-родом

многообразия

У.

По определению

%o(V, W) — %°(V, W) — %(V,

W)

и

%o(V)

=

%°(V) =

x(V);

х(Ю = І(-іГл°-в(Ю

( 1 3 )

называется

арифметическим

родом

V.

Теорема

двойственности

Серра 15.4.3 дает

формулы

xp(v,w)

=

(-\fxn-p{v,w\

x(V,W)

=

(-l)nx(V,K®W).

Отметим еще раз, что арифметический

род

x(V)

компактного

комплексного

многообразия

V

определен

как

эйлерова

характери­

стика V с

коэффициентами

в

пучке

ростков

голоморфных

функ­

ций

Q.

ds2 =

2 2

g a p (z ,

z)dza-dz$,

g 4

=

g&a.

(15)

Всякой

эрмитовой

метрике

ds2

можно сопоставить внешнюю диф­

ференциальную

форму

і 2 gap (z. z) dza

ю =

A

dz$,

(16)

которая

в

вещественных

координатах

ха,

a =

1

2п,

za

=

= x2a~l

+

ix2a

переходит

в

вещественную

дифференциальную

форму.

Эрмитова

метрика

называется

кэлеровой,

если da =

0.

Форма

ю представляет

тогда

(в

силу естественного

изоморфизма

де

Рама)

элемент

из группы

когомологий

Я 2 (У, R),

который

на­

зывается фундаментальным

классом кэлеровой

метрики. Ниже

мы

примем

следующую

терминологию: под

многообразием с

кэлеро­

вой

метрикой

будет

пониматься

компактное

комплексное

много-

образий, необходимых для дальнейшего. Более полное

изложение

можно найти у А. В е й л я [2].

15.7. Пусть

V — многообразие

с

кэлеровой метрикой. Тогда

hP'i(V)

могут

быть

вычислены с

помощью заданной

кэлеровой

метрики.

Возьмем в

качестве W из

15.4 тривиальное

одномерное

случаю.

Комплексный

оператор

Лапласа — Бельтрами • для кэлеровой

метрики равен

, где

А — вещественный оператор Лапласа

h p ' Q (V) = h q ' p

(V),

hP'Q(V)

= dimBp-q.

(17)

По

теории

де Рама и Ходжа

имеется

естественный

изоморфизм

HR{V,

С ) ~

2 BP-Q.

(18)

P+q=r

Таким образом, для г-го числа Бетти bT{V)

имеем

b,(V)=

2

h p

' q .

(18*)

p+<7=r

При

изоморфизме

(18) BP-Q отображается

на подпространство тех

элементов

из fiR(V,

С), которые могут быть представлены

в смысле

де Рама

формой а

типа (р, q)

с da =

0. Элементы этого

подпро­

странства, которые, очевидно, не зависят от выбора

кэлеровой

метрики, называются элементами

типа

(р, q).

Элемент из HP+I(V, Z)

ИЛИ ИЗ HP+I(V, R), рассматриваемый

как

элемент

из #?+<?( V, С) типа

(р, q),

сам называется

элементом

типа

[р, q).

Формулы

(17),

(18*), вообще говоря,

неверны для

произволь­

гообразия

по

(17)

h ° ' i

— h i ' ° .

Для

произвольного

компактного

комплексного

многообразия

V

по

определению

h

i -

0

равно

dim Н°(V,%iT),

т. е. равно размерности

комплексного

векторного

пространства

голоморфных g-форм на V,

которые называют

также

формами

первого

рода

и степени

q

на

V. Положим

gq

=

°.

Т е о р е м а

15.7.1.

Арифметический

род

%(Vn)

компактного

п

комплексного

кэлерова

многообразия

V

равен

2(—1)( £ь

где

gi — число

комплексно

линейно независимых

форм

первого

рода

и степени і на V.

15.8. Компактному комплексному

многообразию V мы сопоста­

вили

в 15.5 многочлен

%y(V).

При у =

0 значение

этого

много­

члена совпадает с арифметическим родом

для V.

Следующие

две теоремы

дают значения многочлена xv(V)

для

у =

— 1 и у =

1.

Т е о р е м а

15.8.1. Для

компактного

комплексного

многообра­

зия

Vn

Х_, (Vn) = І (-1)" х р (Vn) = 2 (- 1 ) p + q

hp' q

(Vn)

p=0

p, q

равняется

обычной эйлеровой

характеристике

E(V).

Д о к а з а т е л ь с т в о

(по

С е р р у

[3], стр.

26).

Пусть

QP =

0 - > C - > Q ° - > Q ! - > . . .

->Qn->0.

E(Vn)

есть эйлерова характеристика

для когомологий с коэф­

З а м е ч а н и е . Если многообразие Vn

кэлерово, то

теорема

15.8.1 немедленно следует из (18*).

Т е о р е м а

15.8.2 (ср. Х о д ж [4]). Для

компактного

кэлерова

многообразия

Vn

Р=0

Р, я

равняется индексу

x{V„),

определенному

в 8.2.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

п нечетно, то по теореме двойствен­

ности Серра

15.4.3 имеем

%" (vn) = ( - і ) я х п _ р (vn) = - %п-р (Vn)

п

и, следовательно,

2xp (V„) = 0.

С другой

Р =о

стороны, %(Vn) = 0 по определению. Таким образом,

в случае нечетных п теорема справедлива

для любого компактного

комплексного

многообразия.

Пусть

теперь

п четно. Мы должны

воспользоваться

некото­

рыми

фактами о многообразиях

с кэлерозыми метриками. (См.

по

этому

поводу

Э к м а н

и Г у г е н х а й м е р

[1, 2],

Г у г е н х а й -

м е р

[1], Х о д ж

[1] и А. В е й л ь

[2]). У Экмана и Гугенхаймера

и

у

Ходжа

на

многообразии

Vn

(с локальными

координатами

Zj =

X2j-i

+

iX2j)

используется

ориентация,

задаваемая

формой

dxl

Л dx3

Л

• • • Л dx2n-i

Л dx2

Л

• • • Л

dx,n.

ентацию, которая

задается

формой

dx{

Л dx2

Л • • • Л dx2n.

Эти

п(п-\)

две ориентации отличаются на знак

(—1) 2

.

Чтобы

упро­

стить последующие формулы, мы будем

всегда

предполагать, что

п = 2т.

Пусть BP- І — комплексное векторное

пространство

гармониче­

ских форм типа

(р,а). Фундаментальная форма со, определенная

в 15.6, является гармонической формой

типа

(1.1),

произведение

которой с любой другой гармонической

формой

снова

гармонично.

Сопоставляя форме а^Вр-i

форму

La = и а є ВР+'.

получим

гомоморфизм

ф .

др . q > gn~p>

для которого . ф a = * a =

* а. Рассмотрим

гомоморфизм

А:

Вр-"Вр~1'

определяемый

равенством

Л =

( — \ ) p + q

ф L # .

Имеем

A =

( - 1 ) P + « * L *

и

~Ка\ =

Ай.

Ядро гомоморфизма Л обозначим через Во'его

элементы назы­

ваются

эффективными

гармоническими

формами типа

(р, а).

Имеют место следующие

утверждения:

(a)

ALk: ВГ"- q~kВр~'-

q~\

p + q<n,

fe>l

равно

L k ~ \ с точ­

ностью

до отличной от нуля

константы.

(b)

L k : Во~к' q~k -> Вр' q ,

p-f-q^n

является

мономорфизмом.

(c)

Для р + q^n

имеем разложения

в прямую

сумму

Bp'q

= Bl-q®LBl-l-q-1

©

... © LrBp0~r'

q - r ,

r =

mm(p,q).

Положим

В%q = LkBl~k'q~k.

Элементы

из

Bl 4

называются

гармоническими

формами

типа (р, q)

и класса k. Следующая фор­

мула является основной для доказательства:

(d)

# ф = ( - 1 )' + *ф,

если

ф € = Я £ - в

и

p + q =

n.