Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

(e) Hn(Vn,

С)—

2

ВЪ

p+q=n

q)

ft<min

(р,

а, р одинаковой

пол­

Напомним, что для гармонических форм

ной степени

определено

скалярное произведение

(а,

р) =

| а Л # Р -

(f) Слагаемые

в

прямой

сумме

(е)

попарно

ортогональны

отно­

сительно этого скалярного

произведения.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Скалярное произведение

может

быть

отлично от

нуля,

только

если

а Л ф

Р имеет

тип (п, п). Поэтому

В1' 4 и Bp 4

ортогональны

для

(р,

q) ф

(р\

q').

Для

а <= В\'

"

и

Р < = В £ " с

k>k'

и

p +

q =

n

имеем

(а,

0) =

(Lka0,

Lf e 'p0 ),

где

а0 , ро эффективны

(Ла0

=

Лр0

=

0).

Так

как

L

и Л

сопряжены

друг с другом (La,

<p) =

(a,

Лф),

то

по

(а)

(g)

Имеет место разложение

в

прямую

сумму

Hn(Vn,

R)=^Epk'\

p + q =

n, £ < р < ? ,

где

Ей' 4

— вещественное

векторное

пространство тех

вещественных

гармонических

форм а, которые можно записать

в виде a =

ф + ф

Ясно,

что

x(Vn)

является

индексом

(см. 8.1)

квадратичной

формы

Q (a, Р) ==

J а Л Р, а,

р <= Нп (Vn,

R). Из

(d)

и

(f)

следует,

что вещественные

векторные

пространства

в сумме

(g)

попарно

ортогональны

относительно

этой

квадратичной

формы.

Поэтому

из (d) вытекает, что форма (— \)q+k

Q (a, р),

ограниченная

на

Ef,' ">

положительно

определена. Таким

образом,

T ( ^ ) = 2 ( - l ) ' + * d i m R £ f r '

(суммирование

распространено

на

pr\-q

= n,

k^p^q).

Ясно,

что

с1ітя'Л'"

= 2dimcBpk-q

для

p<q

и

d i m R £ , r , m =

=

dim c В™'m,

n =

2m.

Поэтому

• (h)

r(Vn)=Z(-l)q+kdimcBg-q,

p +

q = n,

6 < m i n ( p ,

q).

Положим,

как

и

прежде,

hp'

q

=

d i m c 5 p ' q.

Из (b) и

(с)

следует,

что

h "

-

' -

hp~k-h

q~k-{

=

dim c Bl - q

для

p +

q^n.

(i)

k

rn

/

T,

s

< s,

r

« ft — Г,

tl—S

I

Так

как

n

=

n

=

h

, то

имеем для

p -\- q =

n

Из

(h),

(i),

(j)

следует,

наконец, что

т(У„)=2 ( _ l ) " - V " * ' ' ?

" f e +

2 ( _ l ) « + * + V + * + I '

q + k

+ l =

ft>0 fc>0

p + <?=n

p + <7=rt

= 2 ( - 1 ) ' Л Р , ' +

2

(-l)qhp-q=2i(-l)qhp-q,

P + q<ti

доказать.

p + q>n

p,

g

что и требовалось

Теорема

15.8.2

будет

использована

существенным

образом в

зия

Vn-

Одно непрямое доказательство намечено в приложении 1

(п. 25.4).

V — кэлерово

15.9. Пусть

многообразие

(15.6).

Рассмотрим

точную

последовательность

когомологий

(см.

2.5(11)

и

теорему

2.10.1), индуцированную точной

последовательностью

0 —>-Z —»• С ш - >

—> Си

> 0, Со — Q:

б1

Hl{V,

Z)->H2(V,

Q).

(19)

C)—+H2(V,

Теперь

H2(V,Q)

=

Я2 (1/,1) =

B°-*(V). Следовательно

( К о д а и р а

и С п е н с е р [2]), элемент

a^H2(V,Z)

тогда

и только

тогда

ото­

бражается

в нуль из

H2(V,

Q),

когда

а имеет

тип (1.1).

По

теореме

4.3.1

если

^ є Я ' ( У ,

См) — комплексно-аналитиче­

ское

С*-расслоение,

то 6j(!) =

c1 (g). Если

F — комплексно-аналити­

ческое

одномерное

векторное

расслоение

над

V и I — ассоцииро­

ванное

С*-расслоение, то Сі (£) называется

классом

когомологий

для

F.

Из

точности

последовательности

(19)

следует

(см.

тео­

рему

4.3.1)

Т е о р е м а

15.9.1

(Лефшец

и

Ходж,

. К о д а и р а

и С п е н ­

с е р

[2]). Элемент а из H2(V,Z),

где

V — компактное

кэлерово

мно­

гообразие,

является

классом

когомологий

комплексно-аналитиче­

ского

С*-расслоения

тогда и

только

тогда, когда а имеет тип

(1.1).

З а м е ч а н и е . Д о л ь б о

([2], теорема

2.3) доказал

эту

теорему

также и в некэлеровом случае.

15.10. Пусть

V — кэлерово

многообразие

с ЙР. 9 =

0 для

р ф q.

Тогда

в существенном %V{V)

совпадает

с

многочленом

Пуанкаре

P,(V)=2Vr

Д л я У (г Де коэффициент

при tr равен

r-му числу

Бетти для V). Точнее

X P ( V ) = 2 (-\)qhp-q

= (-\)php'p

= (-\)p

bp.

Нечетные числа

Бетти для V равны нулю,

поэтому

х^Ю--=-Р(^

П = 2

ь/.

(20)

Кэлеровыми

многообразиями

с этим

специальным

свойством

многообразия

флагов

F(n). Для F(n)

это

можно

увидеть

следую­

щим способом. Кольцо когомологий H*(F(n),Z)

порождается

эле­

ментами Ytе

H2(F(n),

Z),

которые

являются

классами

когомоло­

гий комплексно-аналитических С*-расслоений над F(n)

(см.

14.2).

По «только тогда»

части

теоремы

15.9.1

элементы

уг

имеют

тип

(1.1), а поэтому все классы

когомологий

для

F(n)

имеют

тип

(р,р).

Заметим,

что

для

комплексных

проективных

пространств и

для многообразий флагов многочлены %у и

Ту

(см. 14.4)

совпа­

дают; оба в существенном равны многочлену Пуанкаре.

15.11. Если

Vn

и

V'm — кэлеровы

многообразия, то

hp-q(VnXv'm)=

2 A M W A M W .

(2І)

r+u=p

s + D=<7

Сопоставляя

каждому

кэлерову

многообразию

V

многочлен

П у , г ( У ) ~ 2

h"'

"yPzq

от двух

переменных

у,

z,

можем

записать

(21) в

р. ч

виде

Ну, г (Vn X V'm)

= П„. г (Vn) Пу,

(V'm).

(22)

г

Полагая в (22)

z — — 1,

получим

Xy(VnXV'm)

= Xy(Vn)ly(V'm),

(23)

В этом параграфе V всегда — комплексное

многообразие.

16.1. Рассмотрим точную последовательность

0_>W'—+W—±W"-+0

(1)

Q-*Q(W') — + Щ Г ) - £ > О ( Г " ) - * - 0 .

(2)