Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 116
Скачиваний: 1
Равенство (3), примененное к точной последовательности
дает |
|
О -> W® |
Ах |
-> W®W |
-> W® |
WIAX |
-> О, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
%(V, |
W'®W) |
|
= |
x(V, |
W'toAJ |
+ xiV, |
|
W'QW/Ai). |
|
||||
По |
предположению |
индукции |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
X(V, W'QW/AJ^xiV, |
|
W'®A2)+ |
. . . |
+x(V, |
W'®Aq), |
|
|||||||
чем |
и завершается доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
16.2. Пусть |
W — векторное |
расслоение |
над |
комплексным мно |
|||||||||
гообразием |
V |
и S — неособый |
дивизор в |
V |
(см. |
15.2), который в |
||||||||
подходящем |
покрытии |
U = |
^ |
многообразия |
V задается |
го |
||||||||
ломорфными |
функциями |
Si, определенными |
на |
VV Тогда ^ - р а с |
||||||||||
слоение [S] задается |
коциклом {s,-j} = |
{Si/Sj}. |
С |
помощью этого |
ко |
цикла можно явно построить ассоциированное с [S] одномерное векторное расслоение {5}, производя отождествления в U ([/,'ХС ) (см. 3.2а) и (15.2). Отображения s^: L/,—>-С определяют глобаль
ное голоморфное сечение s расслоения {S}, которое равно |
0 в точ |
|||||||||||||
ках из 5 и только там. Пусть |
(W®{S})S— |
ограничение |
вектор |
|||||||||||
ного расслоения |
W ® {S} на S |
и |
Q((W |
® (5}) s ) — пучок |
ростков |
|||||||||
голоморфных сечений этого расслоения над S. Тривиальное расши |
||||||||||||||
рение этого пучка |
на |
S |
до пучка |
на |
V обозначим через |
|
Q ( ( W ® |
|||||||
L ®{5})s ) |
(см. теорему |
2.4.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Имеет место следующая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т е о р е м а 16.2.1. Пусть V — комплексное |
многообразие |
|
и S — |
|||||||||||
неособый |
дивизор |
на V. Пусть W — комплексно-аналитическое |
|
век |
||||||||||
торное расслоение |
над |
V. Тогда |
имеет |
место |
точная |
последова |
||||||||
тельность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0->Q(W)->Q |
(W ®{S}) -> Q ((W®{S})S) |
-> 0 |
|
|
|
(4) |
|||||||
комплексно-аналитических |
пучков |
над |
V. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Каждому |
локальному |
сечению |
|
s' |
из |
W |
|||||||
сопоставим локальное |
сечение |
s' ® s |
из |
W ® {S}. Так |
как |
s |
яв |
|||||||
ляется глобальным сечением в {5}, не равным |
|
тождественно |
нулю |
|||||||||||
ни на каком открытом подмножестве из V, то мы получаем моно |
||||||||||||||
морфизм ft': Q(W)-+Q(W |
®{S}). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
На дополнении |
к S |
в |
V этот мономорфизм |
h' является |
изомор |
физмом, так как сечение там нигде не обращается в 0. Факторпу-
чок Q(W ® [S})/Q(W), |
таким образом, обращается в 0 на |
допол |
||
нении к 5. Из-за |
единственности тривиального |
расширения пуч |
||
ков достаточно доказать, что над S имеет место следующая |
точная |
|||
последовательность |
(\S |
обозначает ограничение |
пучка на |
S): |
Q-*Q{W) \s |
- £ + Q (W ® {S}) \s -£> Q ((W ®(5})s ) -* 0, |
(5) |
где |
h — гомоморфизм, |
который |
получается ограничением |
сечения |
||||||||
расслоения |
W®{S) над открытым множеством |
U из |
V |
на |
UC\S |
|||||||
[это ограничение будет |
сечением расслоения |
( W ® { S } ) S над |
U0S]. |
|||||||||
|
Для доказательства точности последовательности (5) |
сопоста |
||||||||||
вим каждой точке х є |
S окрестность Ux в V, |
над |
которой |
W |
и {S} |
|||||||
представлены |
в виде |
прямого |
произведения. |
Выберем |
некоторые |
|||||||
определенные |
представления |
Ux |
X <V и |
U* X С. Пусть |
окрестность |
|||||||
Ux |
выбрана |
настолько малой, |
что она |
содержится |
в ©дном из мно |
жеств Ui покрытия. Сечение s задается тогда голоморфной функ
цией |
sx |
= |
Si\Ux. |
|
Теперь |
W®{S} |
можно |
|
отождествить |
над |
Ux |
|||||||||||
с прямым произведением |
с 7 ж Х ( С д ® С ) . |
Отобразим |
Сд |
0 |
С |
изо |
||||||||||||||||
морфно |
|
на |
Сд |
с |
помощью |
отображения |
(zu |
..., |
|
zq) |
® |
z-+ |
||||||||||
-*{z\Z,..., zqz) |
и |
тем |
|
самым |
получим |
над |
Ux |
представление |
||||||||||||||
UxX.Cq |
Для |
W <8> {S}. |
Локальное |
голоморфное сечение |
W |
[соотв. |
||||||||||||||||
W <8> {S}] |
задается |
для |
этого |
разложения |
|
в прямое |
произведение |
|||||||||||||||
набором q голоморфных функций (gi, |
|
gq) |
[соотв. ( / ь |
|
|
/ , ) ] , |
||||||||||||||||
Гомоморфизм |
Ь! задается равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
(/] |
|
|
fq)^h'{gu |
|
|
.... |
gq) = {sxgl |
|
|
|
sxgq). |
|
|
|
|||||
Гомоморфизм |
h |
есть ограничение (fi,...,fq) |
|
на |
S; |
он |
является |
|||||||||||||||
отображением |
на, |
так |
как |
|
всякий |
росток |
|
голоморфных |
функций |
|||||||||||||
на 5 можно получить из ростка голоморфных функций на V. Огра |
||||||||||||||||||||||
ничение (f\,...,fq) |
|
на |
S равно |
нулю в точности тогда, |
когда |
все |
||||||||||||||||
fi делятся |
на |
sx, |
т. е. принадлежат |
образу |
h'. Тем |
самым |
точность |
|||||||||||||||
последовательности (5) |
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Если V компактно, то неособый дивизор S сам является ком |
||||||||||||||||||||||
пактным |
|
комплексным |
многообразием |
и |
Ws |
будет |
комплексно- |
|||||||||||||||
аналитическим векторным расслоением над S. В дальнейшем мы |
||||||||||||||||||||||
будем |
писать |
%(S, W) вместо %{S,W8), |
и аналогично |
для |
%P(S,W) |
|||||||||||||||||
и %V(S,W). |
В |
этих обозначениях если в (4) заменить W |
на W & |
|||||||||||||||||||
<Э{5}_ 1 и применить теоремы 2.6.3 |
и 2.10.2, |
то |
получится |
следую |
||||||||||||||||||
щая теорема |
(см. К о д а и р а |
и С п е н с е р |
[3]). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Т е о р е м а |
16.2.2. |
Пусть |
V — компактное |
комплексное |
|
много |
||||||||||||||||
образие |
и S —неособый |
|
дивизор |
в |
V. Далее, |
пусть |
W |
—комплекс |
||||||||||||||
но-аналитическое |
векторное |
расслоение |
над |
V. |
Тогда |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
X(V, |
W)=%(V, |
|
W®{S}-l) |
+ |
%(S, W). |
|
|
|
|
(6) |
||||||||
В частности, если |
|
W — тривиальное |
одномерное |
расслоение, |
то |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
%(V) = |
%{V, {S}-[) |
+ %(S). |
|
|
|
|
|
|
(6*) |
16.3. Пусть V и S имеют тот же смысл, что и в теореме 16.2.2. До конца настоящего параграфа всегда будет предполагаться, что V компактно. Комплексно-аналитическое контравариантное каса тельное векторное расслоение к V [соотв. к S] обозначим Мерез
% ( V ) [соотв. 2(5)] . Комплексно-аналитическое векторное расслое
ние контравариантных р-векторов будет обозначаться через XP(Z(V)) [соотв. ЛР( £ (5))] .
Соответствующие расслоения ковариантных р-векторов обозна чаются через XP(T(V)), KP(T(S)), как и в 4.7. Имеет место точная
последовательность (п. 4.9)
0->Z(S)->Z(V)S->{S}s->0. (7)
По теореме 4.1.3* имеется точная последовательность расслоений
О -> ХР Z (S) -> ХР (2 (V)S) -> ХР'1 |
(2 (S)) ® {S}S -> 0 |
(8) |
и, по двойственности, для ковариантных |
р-векторов |
|
О - * Я.""' (Г (S)) <8> {5}J! -> Яр (Г (1/)5) -> Лр (Г (S)) -> 0. |
(8') |
|
Пусть №— комплексно-аналитическое |
векторное расслоение над |
|
V. Можно образовать тензорное произведение каждого члена по |
||
следовательности (8') с ограничением W на S. Мы получим |
снова |
точную последовательность. Применяя к этой точной последова
тельности |
теорему 16.1.1, получим |
формулу |
|
|
|
|
|||||||
|
г (S, W ® ХР (Т (V))) = x p _ 1 |
(s, |
w ® {5}-') - f х Р (S, W). |
(9) |
|||||||||
Заменяя |
теперь |
в формуле |
(6) |
W на W ® №(T(V)) |
И сравнивая |
||||||||
результат |
с (9), приходим |
к важной |
четырехчленной.формуле Ко- |
||||||||||
д а и р ы и С п е н с е р а |
([3], формула |
(4)) |
|
|
|
|
|
||||||
%"(V, |
W) = XP(V, |
WttiSy^+xriS, |
|
|
W) + %»-l(S, |
r ® { 5 } - ' ) . |
(10p ) |
||||||
Эта |
формула |
выполняется |
для |
всех |
р ^ |
0, |
если только |
при |
|||||
р = 0 последний |
член |
интерпретировать |
как нуль. Член %P(S, W) |
||||||||||
равен |
нулю для р = |
п = |
dim У, |
а |
для |
р> |
п |
все четыре члена |
|||||
равны |
нулю. Если г/ — переменная, |
то, умножая |
(10р ) на |
ур и |
|||||||||
суммируя, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
%y(V, |
W) = xy{V,W®{S}-l) |
+ xy(S, |
W) + yXy(S, |
|
IT ® {S}"1 ). (10*) |
16.4. Повторно применяя равенство (10p ), можно представить
целое число %p(S, W), р ^ 0, в виде целочисленной линейной ком бинации целых чисел вида %G(V,А), где А пробегает некоторые
комплексно-аналитические векторные расслоения над V. Прежде всего из (10о) = (6) получаем, что
|
Х°(5, |
W) = |
t(V, |
W)-%°(V,W®{S}-]). |
|
(По) |
|||
Вычисляя |
х'(5, Щ |
по |
формуле |
(10i) |
и подставляя |
вместо |
|||
X°(S, W <8> {S}-1 ) |
его выражение, |
вычисленное |
по формуле (По), |
||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X.1 (S, W) = |
X1(V, W)-%L(V, |
W®{S}-])- |
|
|
|
||||
|
|
-X°{V, |
WQiSy^ |
+ |
tfiy, |
W®{S}-2). |
( l l x ) |
Продолжая этот процесс, получим формулу |
|
|
|
|
|||||||
x»(s, w)= 2(-1)'Ър-'0л ^ ® { 5 Г ' ) - х " - ' ( ^ |
Г ® { 5 } ) ] - ( ' + 1 ) , |
||||||||||
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
(Ир) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая |
справедлива |
для |
любого р ^ |
0. Левая |
часть |
равенства |
|||||
(lip) |
равна |
0 при р^п, |
так как 5 |
имеет |
комплексную размер |
||||||
ность |
п—\, |
в |
то время как правая |
часть |
формально |
не |
сокра |
||||
щается. Это означает, |
что для любого векторного расслоения W |
||||||||||
и одномерного |
расслоения |
{5}, построенного |
по |
неособому |
диви |
||||||
зору |
S, |
между |
членами %h(V, W <8> {S}r) существуют |
определенные |
|||||||
соотношения. Остаются ли эти соотношения |
справедливыми, если |
||||||||||
в них {S} заменить произвольным одномерным расслоением |
F"? Мы |
||||||||||
увидим, что ответ положителен, если |
V — алгебраическое |
много |
|||||||||
образие. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.5. Пусть Z{y) — область целостности всех формальных сте пенных рядов а0 + а\у + а2у2 + ... с целыми коэффициентами а{. Кольцо многочленов Z[y] есть подкольцо кольца Z{y}. Из (11р ) невозможно получить выражения для %y(S, W) в виде конечной линейной комбинации многочленов %y(V,A). Однако в области Z{y) имеет место следующая формула:
%y(S, W) = 2l(-y)l[xy(V, |
WQ3{S}-{)-Xy(V, |
W®{S}-(W))].(U*) |
!=0 |
|
|
Правая часть в (11*) представляет собой формальный степен ной ряд, который в действительности является многочленом сте пени не выше п—1. Коэффициент при ур этого стеленного ряда задается формулой (11р ).
§17. Виртуальная Ху-характеристика
17.1.Мы введем в этом пункте формализм, который позволит дать удобные определения для виртуального %у-рода и виртуаль
ной Х у - х а Р а к т е Р и с т и к и и> кроме |
того, упростит |
соответствующие |
||
вычисления. |
|
|
|
|
Пусть Е — кольцо, содержащее кольцо целых |
чисел |
Z. Число 1 |
||
будет единицей кольца Е. Рассмотрим кольца |
Z{y) |
и |
Е{у) фор |
|
мальных степенных рядов с коэффициентами в |
Z (соотв. в Е). |
|||
Z{y) является подкольцом кольца Е{у). Мы назовем |
отображение |
|||
A: |
E{y}^Z{y} |
|
|
|
допустимым аддитивным гомоморфизмом (для краткости d-гомо- морфизмом), если
I) h(u -f- v) = h(u) -4- h(v) для и, v e E{y}, II) h(uv) = uh(v) для и є Z{y}, v є E{y}.
Другими словами, Е{у} и Z{y} являются |
модулями над Z{y}, |
и |
||||||||||||
d-гомоморфизм — это гомоморфизм 2{#}-модуля |
Е{у} в 2{г/}-модуль |
|||||||||||||
Z{y). Из II) следует, |
что h(u) — |
uh(\) |
для u e Z { i / } . |
|
|
|||||||||
Л е м м а |
17.1.1. |
Пусть |
задан |
аддитивный |
гомоморфизм |
h0 |
из |
|||||||
Е в Z{y). Тогда существует, |
и |
только |
один, |
|
d-гомоморфизм |
h |
из |
|||||||
Е{у} в Z{y}, который |
на Е совпадает |
с |
h0. |
|
|
|
|
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Для |
v = |
е0 |
+ е\у -4- е2у2 + ' . . . , |
є* Є Е, |
|||||||||
определим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h (v) = |
h0 |
( е 0 |
) + |
h0(ві) |
у |
+ |
h0(е2) |
у2 |
+ |
. . . ; |
|
|
|
/ІО(ЄІ) в правой части |
этого |
ряда |
являются |
степенными рядами |
по |
|||||||||
у, и правая |
часть представляет |
собой |
степенной |
ряд по у, |
так как |
при формальном перемножении коэффициент при любом ут>, р^О, будет конечной суммой. Следовательно, h корректно определено.
Легко видеть, что h является d-гомоморфизмом |
и совпадает с h0 |
|||
на |
Е. Предполагая, что К — другой d-гомоморфизм, совпадающий |
|||
с h0 на Е из I) и I I ) , выводим, что 'h' совпадает |
с h на многочленах |
|||
из Е{у}, и поэтому |
h' = h, что и требовалось доказать. |
|||
|
Пусть заданы d-гомоморфизм h: E{y}-*Z{y} |
и |
фиксированный |
|
элемент t^E{y}. |
Тогда можно определить новый |
d-гомоморфизм |
||
ht |
равенством |
ht (и) = h (tu). |
|
|
|
|
|
|
Непосредственным следствием леммы 17.1.1 является
Л е м м а |
17.1.2. Если |
для |
d-гомоморфизмов |
h |
и h' |
из |
Е{у) в |
||||||||
Z{y} |
найдется |
элемент t^E{y}, |
такой, что |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
h' (и) •— h (tu) для |
всех |
и<=Е, |
|
|
|
|
||||||
то h' = hu |
т. е. соотношение |
h'(u) |
= |
h(tu) |
выполняется |
для |
всех |
||||||||
и єн Е{у}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
наших |
приложениях |
кольцо |
Е |
имеет |
специальный |
вид. |
||||||||
А именно, пусть fu |
fr, |
w — переменные. Рассмотрим |
кольцо Е, |
||||||||||||
порожденное над Z этими переменными, вместе с f~l, |
|
|
/7і - |
||||||||||||
Произвольный |
d-гомоморфизм |
из Е{у) |
в Z{y) |
однозначно |
опреде |
||||||||||
лен своими значениями на элементах |
|
|
. . . f/, |
где р, X, — це |
|||||||||||
лые |
числа, |
р. неотрицательны, |
так как эти элементы образуют |
ад |
|||||||||||
дитивный базис для Е. Приписывая этим произведениям |
произ |
||||||||||||||
вольные значения в Z{y), получим один |
и только один аддитивный |
||||||||||||||
гомоморфизм |
из Е в Z{y) и поэтому |
по лемме |
17.1.1 один |
и только |
|||||||||||
один d-гомоморфизм из Е{у} |
в Z{y}, |
который |
принимает |
эти |
зна |
||||||||||
чения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть V — компактное комплексное |
многообразие, Fh |
|
|
Fr — |
|||||||||||
комплексно-аналитические одномерные векторные |
расслоения |
над |
|||||||||||||
V и |
W — комплексно-аналитическое |
векторное |
расслоение |
над V. |