Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

В этом

случае

виртуальная

Х у - х а

Р а к т е Р и с т и к а является

много­

членом.

Тот факт, что %у(Fi,...,

Fr\,

W)v

является

многочленом степени

^.п — r

и, в частности,

что %V(FU ...,

Fr\,

W)v

тождественно

равно

нулю для г > п,

будет

доказан в теореме

19.2.1 для случая,

когда

V — алгебраическое многообразие.

Обобщением

формулы

(4')

является

следующая теорема, ко­

торая оправдывает введенные определения.

Xy{Flt...,

Fr\,

W)v = Xy((p2)s

(Fr)s\,

Ws)s.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

Тогда по

определению

%у((Ъ)з,

(Fr)s\,

Ws)s =

hs(wi[R(ft)]

Из

(1), (3)

и (4) легко следует,

что

V 1=2

J

Из

леммы

17.1.2 для ^ =

/?(/;)

получаем

hs

[w П R (ft)) = К (v> П R (М) = Ху (Fu

• • •,

Fr I, W)v,

что

и требовалось

доказать.

Из определения

виртуальной

Х у - х а Р а к т е Р и с т и к и

следует

Л е м м а

17.2.2.

Если

одно

из

F{

является

тривиальным

рас­

слоением

1, то

XB(Flt

7> |,

W)v =

0.

17.3. Мы докажем, что для виртуальной

Хггх а Ра ктеристики

вы­

Т е о р е м а

17.3.1. Пусть

V — компактное

комплексное

многооб­

разие,

W — комплексно-аналитическое

векторное

расслоение

над

V и F\,

..., Fr,

А, В — одномерные комплексно-аналитические

рас­

слоения

над V.

Тогда

Xy(Fu

Fr,

А®В\,

W)v

=

^Xy(Fu

Fr,

A I, W)v + Xy(Flt

. . . .

Fr,

В \, W)v

+

+ (y-l)X«(Fl,

Fr,

A,

B\,

W)v-

-yXy(Fi,

Fr,

A,

B,

A®B\, W)v.

(6)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

для краткости

u — w П#(/*)•

Тогда по (5) доказываемое равенство превратится в

B{uR(ab))^h{uR{a))+A(uR(b)

+

(y-l)h(uR(a)R(b))-

-yh

(uR(a)R(b)R(ab)).

Согласно

17.1,

множители у и

у — 1 можно

внести

под знак h,

и достаточно доказать,

что

R (ab) = R(a)

+

R(b)

+

(y-l)R(a)R(b)-yR

(a) R (b) R (аЬ).

Но

это функциональное

уравнение

нам уже

встречалось в

11.3.

З а м е ч а н и е .

Функциональное

уравнение

(6)

является

соот­

ношением между пятью формальными степенными

рядами.

Так

как

не

известно,

обрываются

ли,

сходятся

ли

эти степенные

(6). В результате получаются соотношения между %р(.

.. \,W)

для

пяти участвующих виртуальных многообразий. Для

х° — X

э т о

дает

%(Flt

Fn А®В\, W)v

=

В I,

=

Fr, A),

W)V.+

%(FU

Fr,

W)v-

-%(FU

...,

Fr, А,

В \,

W)v.

(6')

^ ( ( р ) '

и С 0 0 Т в е т с т в У ю щ и е ( р ) диагональных комплексно-

Aix ® At* ® . . . ® AtJ, ii<iz<

. . . < ів

(теорема 4.1.1). Отсюда следует по теореме

16.1.2,

что для

р ^ О

%p(Vm, W)=%(Vm, W®kPT)=

2

xiV^WQAT1®

ІХ<12<-<1р

®

All ®

• • • ® A T p )

(?)

%y(Vm, W) = h(wf\^\ + yaT^.

(8)

Т е о р е м а

17.4.1. Пусть

Vm — комплексно-аналитическое

рас­

щепляющее многообразие

с

диагональными

одномерными

ком­

плексно-аналитическими

расслоениями

А\,

Ат.

Пусть

W —

комплексно-аналитическое

векторное

расслоение

над

Vm.

Тогда

m

(\ + y)m%(Vm,

W)=Zyl

2

%y(Atl,

Ah\,

W)v.

(9)

lx=0

і ^ <

^ * • • ^-^l

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим

сначала, что формула

(9)

сно­

m

2

У1

2

h(wR(ai

\ . . . /?(аЛ) =

(по определению

R, см. (5))

/=о

tl<i2<...<tl

4

4

и

v

1"

I

m

=

( j < i

S i < f

» / ? ( « ! , ) . . .

^ К ) ) =

(по

17.1. II))

^fi[wU('+fR(ai))j

=

=

ft (w ft (1 +

У) (1 +

у॥)

=(l+y)mfi

(w

ft

(І +

у॥).

Легко

убедиться с помощью (8), что

h{w»a№

...

a)r) =

h [w»a№

. . .

а > Ц

(l + г/аГ'))-

Поэтому, применяя

лемму

17.1.2

с

m