Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

§ 18. Обзор фундаментальных теорем Кодаиры

18.1. Пусть

V—компактное

кэлерово многообразие (см.

15.6).

Обозначим

через

HU1(V,R)

(соотв.

Hul(V,

Z))

подгруппу

эле­

ментов

типа

(1,

1)

в

Я 2 (У, R)

(соотв. в

# 2 ( V , Z ) )

(см.

1.5)-. Мы

введем

в Я 1 ,

1

(V, R)

«архимедово

полуупорядочение».

О п р е д е л е н и е .

Элемент

л: є

Я 1 , ' ( К ,

R)

называется

положи­

тельным

( х > 0 ) ,

если

он

может

служить

фундаментальным

клас­

сом некоторой кэлеровой метрики на

V.

Для положительных элементов выполняются следующие свой­

ства:

(0)

По крайней мере один элемент

из

Я 1 , ' ( К ,

R)

положителен.

(1)

Нулевой элемент из HUi(V,

R)

неположителен.

(2)

Если

ї

>

0 и І/ >

0,

то % +

г/ >

0.

(3)

Если

х

>

0 и г >

0,

г «= R, то гх >

0.

(4)

Если

х,

у

є

Я 1 ' 1 (V,

R) и Ї

>

0,

то

найдется

(зависящее от

х и

у)

целое

положительное число

g,

такое, что

gx — у > 0.

О п р е д е л е н и е .

Элемент

Х Е / / 1

' 1

^ ,

Z)

называется

положи­

тельным,

если

х,

рассматриваемый

как элемент из HUI(V,

R), по­

ложителен. Комплексно-аналитическое одномерное расслоение F

над

V

называется

положительным,

если

его

класс

когомологий

C\(F),

который

по

теореме

15.9.1

принадлежит

HU1(V,

Z),

поло­

жителен.

Кэлерово

многообразие

V

называется

многообразием

Ходжа

(см. Х о д ж

[2]),

если

в • Я 1 ' 1

(V,

Z)

существует

по

крайней

мере

один положительный

элемент, т.

е.

если V

допускает

кэлерову

Комплексное проективное пространство Р П (С)

является кэле-

ровым многообразием

и автоматически многообразием Ходжа, так

^как Я 1 , 1 (Р„ (С), Z) =

Я 2 (Р„(С), Z) s Z, поэтому

любой элемент

из Н1-1 (Рп(С), R) = Я 2 (Р„(С), R) после умножения

на подходящее

положительное вещественное число попадает в образ

гомоморфиз­

ма

# 2 (P n (C),Z) — > - Я 2 (Р„(С), R). Положительными

элементами

в

# 2 ( P n ( C ) , Z )

являются в точности

положительные

целочисленные

кратные элемента

hn,

класса

когомологий

ориентированной гипер­

плоскости Р„_!(С) в ориентированном многообразии

Р П (С ) (см.

4.2).

Алгебраическое

многообразие

V

(см. 0.1)

является

многообра­

зием

Ходжа,

так как

V может

рассматриваться как

подмногооб­

разие в

Р т ( С ) для достаточно

большого

пг,

и тогда

ограничение

hm є

Я 2

( Р т ( С ) , Z) на V даст

положительный

элемент из

1 {V, Z).

Одномерное комплексно-аналитическое расслоение F над

V назы­

вается

проективно

индуцированным,

если

оно может

быть полу­

чено ограничением на V одномерного расслоения Я

на Р т ( С ) при

подходящем

вложении

V в

проективное пространство

Р т

( С ) , где

Я — одномерное расслоение,

ассоциированное с С*-расслоением

цт

(см. 4.2), определяемое гиперплоским сечением Р т _ і ( С )

в Р т ( С ) .

Проективно

индуцированное

одномерное

расслоение

положитель­

дивизорами

(а

именно «гиперплоскими сечениями»). Имеет

место

Т е о р е м а

18.1.1

(Бертини). Для

любого

проективно

индуци­

рованного одномерного

расслоения

F над алгебраическим

многооб­

разием

V существует

неособый дивизор

S, такой, что F =

{S}.

З а м е ч а н и е . Теорему

Бертини

часто формулируют также так:

«Общее»

гиперплоское

сечение

S неособого

связного

алгебраи­

ческого

подмногообразия

Vn

проективного

пространства

Р,П (С)

неособо

и при

п^2

связно.

Доказательство

см. у

А к и д з у к и

[1] и З а р и с с к о г о

[2, 3].

Тот факт, что 5 неособо, доказывается

легко;

то, что S при п ^ 2

связно, нам не понадобится.

К о д а и р а

[6] доказал

следующую

фундаментальную

теорему.

Другое

доказательство, применимое к

нормальным

комплексным

пространствам,

дано Г р а у э р т о м

[3].

Т е о р е м а

18.1.2.

Компактное

комплексное

многообразие

яв­

ляется

алгебраическим

тогда

(и только

тогда), когда

оно

является

многообразием

Ходжа. •

Доказательство

Кодаиры

этой

теоремы

существенно

исполь­

18.2. В п.

14.2 мы сформулировали обобщенную проблему Ри-

мана — Роха.

Примеры показывают, что H°(V,W) зависит не

только от непрерывного векторного расслоения

W. Точнее,

имеет

место следующее

утверждение:

Существуют

алгебраическое

многообразие

V и два комплексно-

аналитических

векторных

расслоения

W и W над V, которые

изо­

морфны как непрерывные расслоения и для которых dim H°(V,

W) ф

=^dimtf°(V,

W).

Тем не менее оказывается, что %(V,W)

зависит

только

от не­

прерывного

расслоения

W и даже

%(V, W) зависит

только

от клас­

сов Чженя для W. Во многих важных случаях можно

доказать,

что

группы

когомологий

Яг '(У, W)

для і > 0

все

равны

нулю.

В

этих

случаях

dimH°(V, W) =

%(V,

W)

и

вычисление

%(V, W)

с помощью классов Чженя дает решение

проблемы

Римана —

Роха.

Т е о р е м а

18.2.1. Пусть F— одномерное

комплексно-аналити­

ческое векторное расслоение

над

компактным

комплексным

много­

образием

V.

Если

одномерное

расслоение

F'1

положительно,

то

группы

когомологий

Я1 ' (V, F)

равны

нулю

для

всех

і ф

п.

Эту теорему получил

К о д а и р а [4]. Он доказал

ее с

помощью

дифференциально-геометрических методов, восходящих

к С. Бох-

неру.

Другое

доказательство

дали

А к и д з у к и

и Н а к а н о

[1]. Они

доказали даже, что если F~L

положительно,

то группы

HP<I(V,F)

(см. 15.3а)

равны

нулю

при р + q <

п.

Применяя

теорему

двойственности

Серра

15.4.3,

видим,

что

теорема

18.2.1 эквивалентна следующей

теореме.

Т е о р е м а

18.2.2

(Кодаира).

Если

расслоение

F <8> К~1

поло­

жительно,

то группы

когомологий

Я'(У, F)

равны

нулю

для

всех

і >

0. В этом

случае

dimH°(V,

F) = %(V,

F).

Разумеется,

эти теоремы

содержательны

только

тогда,

когда

V является многообразием Ходжа. Из теоремы

18.2.2 и из 18.1 (4)

немедленно следует (см. также

Г р и ф ф и т е

[3])

Т е о р е м а

18.2.3 (Кодаира). Пусть над многообразием

Ходжа

V

задано

одномерное

комплексно-аналитическое

векторное

рас­

слоение

F.

Далее

пусть Е — положительное

одномерное

расслое­

ние над V. Тогда группы, когомологий

НЦУ,

F

® Ek)

равны

нулю

для

всех

і >

0 и для

всех

достаточно больших

k.

Теорема 28.2.2 важна для доказательства основной теоремы

Кодаиры 18.1.2 (многообразие Ходжа является

алгебраическим

многообразием). К . о д а и р а

[6] доказывает

также

следующую

тео­

рему:

Т е о р е м а

28.2.4. Пусть

дано

многообразие

Ходжа

V.

Тогда

существует

положительный

элемент ЯОЄЕЯ1' 1

( V , Z), такой, что вся-

кое

одномерное

расслоение

F,

для

которого

С\ (F) — х0 >

0,

проек­

тивно

индуцировано.

Из

предыдущей теоремы

следует

Т е о р е м а

18.2.5. Пусть

V — алгебраическое

многообразие

и

F — одномерное

векторное

расслоение

над

V.

Тогда

существуют

проективно

индуцированные

одномерные

расслоения

А и В,

такие,

что F =

A <S>B~l. В

качестве

следствия

получаем,

что F можно

за­

писать в

виде

F={S]®{T}-\

где

S

и Т — неособые

дивизоры

в V.

і

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Выберем

проективно

индуцированное

од­

номерное

расслоение

Е над

V, такое,

что С\ (Е) — х0

> 0. Для до­

статочно

большого k имеем

kci(E)

— Ci(F) — х 0 >

0.

По

теореме

18.2.4

тогда

В — Eh

<8> F1 и А — Ek

— проективно индуцированные

одномерные

расслоения. Имеем F =

А <Э В'1.

Следствие

вытекает

из теоремы

Бертини

(18.1.1)

с А =

{S} и В = {Т}.

З а м е ч а н и е . Этим доказано также,

что F можно

представить

дивизором. Отсюда следует также, что группа классов дивизоров

для

V, естественно, изоморфна

с Я ' ( У , Сщ)

(см. 15.2 и К о д а и р а

и С п е н с е р

[2]). Тот факт,

что всякий дивизор D на алгебраиче­

ском

многообразии

линейно

эквивалентен

дивизору

вида

S — Т,

где 5

и Г неособы, может

быть доказан

элементарно

(см.

З а р и с -

Т е о р е м а

18.3.1 (Кодаира). Комплексно-аналитическое

рас­

слоение

L над

алгебраическим

многообразием

V со

слоем

РГ(С)

и структурной

группой P G L ( r + l , C )

само

является

алгебраиче­

ским

многообразием.

Детали доказательства

см. у К о д а и р ы

([6], теорема 8).

А. Борель

следующим

образом

обобщил предыдущую

тео­

рему (также с использованием

основной теоремы 18.1.2 Кодаиры).