Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Т е о р е м а

18.3.1*

(А.

Борель).

Пусть

L —

комплексно-анали­

тическое

расслоение

над

алгебраическим

многообразием

V

с

ал­

гебраическим

многообразием

F в

качестве

слоя

и со связной

струк­

турной

группой.

Предположим,

что первое

число

Бетти

для

F

равно

нулю.

Тогда L

алгебраично.

Мы будем

применять

теорему

Бореля

только в том случае, когда

F(q)

является

многообразием

флагов

F(q)

— GL(<7, С)/Д(q,

С),

a

L

ассоциировано

с главным

GL(q,

С)-расслоением £

над

V.

В этом случае алгебраичность L

можно

доказать

непосредственно

индукцией по q с помощью теоремы

18.3.1.

А именно рассмотрим ассоциированное с L расслоение U

со

слоем Pg _i(C). Тогда L будет комплексно-аналитическим

расслое­

нием

над U

со

слоем

F(q — 1) =

GL(^ — 1, C)/A(q

— 1, С).

По

теореме

18.3.1 U

алгебраично, а

по индукции и L алгебраично.

Тот факт,

что

F(q)

алгебраично,

в этом доказательстве

не

был

использован. Это можно получить, положив V равным

точке. Тогда

L

=

F{q).

З а м е ч а н и е .

Если

в

этой теореме

всюду

алгебраичность

за­

ремы Б л а н ш а р а

[2].

§ 19. Виртуальная ^-характеристика

для алгебраических многообразий

Мы

определили

в §

17

виртуальную

^-характеристику

ХУ (F\,...,

Fr\,

W) v

компактного

комплексного

многообразия

V,

комплексно-аналитических

одномерных

расслоений

Fi,

Fr

и

комплексно-аналитического

векторного

расслоения

W

над

V;

%y(Fi,...,

Fr\,

W) у по определению является формальным

степен­

ным рядом от

переменной

у с целыми коэффициентами. Для

ал­

гебраического многообразия

V можно получить специальные утвер­

стоит из конечного числа изолированных точек.

Л е м м а

19-1.1.

Для

нульмерного

компактного

комплексного

многообразия

V,

состоящего

из

k

точек, для

одномерных

расслое­

ний

F\, ...,

Fr

и

для

векторного

расслоения

W со

слоем

Cq над

V

имеем

I) Xv(V,W)

=

qk;

.

II) iy(Fu...,Fr\,W)

= 0

при

1.

—

Д о к а з а т е л ь с т в о :

I)

%y(V,

W) =

%(V, W) =

dimH°(V, W)

=

qk.

теперь докажем индукцией по размерности п многообразия

V, что

также и виртуальная

%^-характеристика в случае алгебраического

многообразия всегда

является многочленом.

Т е о р е м а

19.2.1.

Пусть

V — алгебраическое многообразие

раз­

мерности п;

Fu

Fr (/" ^

1) — комплексно-аналитические

одно­

мерные

расслоения

над

V;

W — комплексно-аналитическое

вектор­

ное расслоение

над

V со слоем

Cq.

Тогда

a)

виртуальная

%у-характеристика %y(F\,

Fr\,W)

равна

нулю

при г > п. Если

г ^

п,

то она является

многочленом

от у

степени

^.п— гс целыми

коэффициентами.

b)

Если

г =

п~^

1,

то обозначим

классы

когомологий

для Ft

через fi^H2(V,Z).

Тогда

%y(Flt ....

Fr\,

W) = X(Fl,

....

Fr\,

Щ =

q • hh

. . .

LWl

Д о к а з а т е л ь с т в о

а)

проводится

индукцией

по

размерности

многообразия V.

dim V = 0;

Утверждение

а)

по

лемме

19.1.1 имеет

место

для

предположим, что оно уже доказано для

dim V <

п. По

теореме

18.2.5

{S} =

Fx ® {Г}, где

S

и

Т — неособые

дивизоры на

V. Из

функционального уравнения

(6)

теоремы 17.3.1

получаем

%y({S),

F2,

Fr\,

W) = xy(Flt

Fr\,

W) +

+

Xy({T},

F2t ....

FT\,

W) +

(y-l)xy({T},

Fu

Fr\,

W) —

-y%y({S],

{T},

Л

Fr

I, W).

(*)

доказать, что второй член является многочленом степени

— г.

По предположению индукции

и теореме 17.2.1 члены 1, 3, 4, 5 яв­

ляются многочленами

степени

^.п

— r

и

равны

нулю

при г > п.

(В случае г=\

член

1 равен %y(S, Ws),

а член

3 равен Xy(F>

WT),

следовательно, эти члены являются многочленами степени

— 1

по определению

^-характеристики (не виртуальной).)

Таким

обра­

зом, и член 2 является многочленом степени

— г и равен

нулю

при г >

п, что и требовалось доказать.

дивизоры S

и Т

Ь) Опять по теореме 18.2.5

имеются

неособые

на V, такие, что {S} =

F\ $9 {Т}.

Тогда

а) дает

для

п ^ 2

Х ( { 5 }, F2,

Fn\,

W)

= x(Fu

F2,

Fn\,

W)

+

и для n — 1

+

%({T],

F2,

....

Fn\,

W)

(1)

% ({5} I,

W) =

% (F, \,W)

+ x ({T} \, W).

(2)

X ( F ,

|, W) = qs-qt

= qf1[Vl],

где

s

и t — количество

точек в S и Т. Следовательно,

Ь) справед­

ливо,

если

dim V = 1.

Предположим

теперь, что Ь)

доказано

для

1

dim К << п. Применим

предположение индукции

к

(1) и,

вос­

пользовавшись теоремами

17.2.1, 4.9.1

и 9.2(3), получим

%{FU F2 ,

Fn\,W)

= q-(f2...fn)s[S)-q-(f2...fn)T[T]

=

^q-cl({S})f2...fn[V]-q-ci({T})f2...fn[V}

=

З а м

е ч а н и е . В случае

п—\

из теоремы 19.2.lb)

следует

теорема

Римана —Роха (см.

0.5).

Пусть F — одномерное

комп­

кривой V с классом когомологий

[ є Я 2 ( У ,

Z). Выберем в каче­

стве

W тривиальное

расслоение

1.

Тогда

виртуальный

х~Р°Д

Для

F - 1

равен

%(F-l) =

-f[V].

Но

по

17.2

%(F) =

x(V)

— x ( ^ > f - 1

) ;

следовательно,

подставляя

F - 1

вместо F, получим

%(V,

F)=%(V)

+

f[V].

(3)

По

теореме

15.7.1

х (У) =

1—g\

=

1—р,

где р =

(половина

пер­

вого числа

Бетти

для V) — (род

V). Целое

число

/[V] называется

степенью

F.

Если

F

представлен

дивизором,

что всегда

возможно,

теоремы двойственности 15.4.3 следует,

что

X{V,

F) =

dimН°(V, F)-dimH1(V,

F)

=

=

dimtf°(V,

/0— dim Я 0

(V. К <S> F _ 1 )

и, следовательно, (3) превращается в

dim Я 0 (V, F) -

dim Н° (V,

К ® F'1)

=

1 -

р +

deg (Fj.

19.3.

Обозначим

через

(Fi,

F r | ,

W)v

набор,

состоящий из

алгебраического многообразия V, комплексно-аналитического век­

торного

расслоения

W над V и одномерных

комплексно-аналити­

ческих

векторных расслоений

F b

Fr

над

V. Мы

допускаем и

случай

г =

0,

но

в

этом

случае будем

писать

(V, W)

вместо

( . . . | , W)v.

Т е о р е м а

9.3.1.

Пусть

G — функция,

сопоставляющая

всякому

множеству

(Fj,

F r | , W)v степенной

ряд

по

переменной

у с ра-

циональными

коэффициентами.

Предположим,

что

G(F\, ...

Fr\,

W)v

не зависит

от порядка

следования

Fi

и что

I)

G(V,

W)=Xy(V,

W);

II)

G удовлетворяет

функциональному

уравнению

G(Flt

Fr,

А®В\,

W)v

=

=

G (Fu

FT,A

I, W)Y + G (Fu

Fr,B\,

W)v

+

+ {tJ-\)G(Fu

Fr,

A,B\,

W)V-G{FU

Fr,

A,

B,

A®B\,

W)v;

III)

если

S — неособый

дивизор

на

V

и

Fl—{S},

то

G (Flt

..., Fr\,

W)v

— G {{F2)s,

(Fr)s

\,

Ws)s

(для

r — 1

это

означает,

что

G (F,

|,

W)v — G (S,

Ws)).

Если

^ = { 0 } =

1,

то G(FU . . . .

Fr\,W)v=0.

,

Тогда

для

всех

(Fu

...,

Fr\, W)v

с

г ^

1

%„(FU

Fr\,

W)V = G(FU

....

Fr\,

W)v.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

%y

обладает

свойствами

II)

и

I I I ) , по­

этому функция %у—G

обладает свойствами

II) и

I I I ) . Значит,

до­

статочно доказать, что всякая функция

G'',

которая

обладает

свой­

ствами

I I ) , III) и

свойством

Г)

G'{V,W)

=

0,

тождественно

равна нулю.

Мы докажем это индукцией по размерности п многообразия

V.

По теореме 18.2.5 имеются неособые дивизоры S и Т на

V, такие,

что

{5} =

Fi

<8> {Т}.

Тогда

из

II) следует

соотношение

(*)

из

19.2,

в котором

%у заменено

на

G'.

В этом

соотношении

пять членов, и

одномерным

расслоением. Виртуальное

подмногообразие

(см. 17.2)

в V будет обозначаться через (Fu

Fr)v.

Мы

допускаем

также

случай

г =

0 и в этом случае

будем

писать

V

вместо

(. . . ) v . По

теореме

19.2.1 степенной ряд

Xv(F\,

Fr)v

является

на

самом

сто у можно подставлять значения уо.

Если уо рационально, то и

Xy0{F[,

Fr)v

будет

рациональным

числом; если у0 — целое

число, то таким

же будет

и X ^ ^ i •••»

Рг)у

Т е о р е м а

19.3.2.

Пусть

G — функция,

сопоставляющая

каж­

дому

множеству

(Fu

Fr)v

рациональное

число,

не

зависящее

от порядка

следования

F{. Предположим,

что

I)

G (V) = %

(V) для

некоторого рационального

у0;

II)

G удовлетворяет

функциональному

уравнению

G(FU

F„ A®B)V

= G(FU

Fr, A)V + G(FU

Fn

B)v

-f-

+ (y0-l)G(Flt

....

F„ A,

B)v-y0G(Fu

Fr>

A,

B,

A <g>

B)v;

III) если

S — неособый

дивизор

на

V

и

Fi={S},

то

G(Fh ....

Fr)v

= G((F2)s,

(Fr)s)s

(для

r — \

это значит,

что G(Fl)v

— G (S)). Если

F1={0}

=

1,

то

G{Fu...,Fr)v*=0.

Тогда

для

всех

(Fu

Fr)v

с г ^

1

*ySFv

•••• Fr)v

= G(Fv

. . . .

Pr)v-

Доказательство

в точности

такое же, как у теоремы

19.3.1,

З а м е ч а н и е .

Причина,

по

которой

мы

выбираем

W триви­

альным

расслоением, состоит

в том, что мы будем

применять

тео­

рему

19.3.2 именно

в сформулированном

выше виде. То же самое

доказательство

показывает,

что

верна

формулировка

теоремы

19.3.2

для

произвольных

(Fu

.... Fr\,W)v,

которая,

однако,

не

является

более общей, так как вместе с заключением усиливаются

19.4. Пусть

(Fu

Fr\,W)v

таково

же, как и в 19.2, и

пусть

/ , є й 2 ( У , Z ) — классы

когомологий

для Fi. Комплексно-анали­

тическое векторное расслоение W ассоциировано с комплексно-

аналитическим

GL(q, С)-расслоением

|,

которое

можно рассмат­

ривать как непрерывное GL(q, С)-расслоение. В

12.3 была

опре­

делена виртуальная Т^-характеристика

Ty(fu

fr\QV.

Мы

будем писать

Ту(Fu

....

Fr\,

W)v = Ty(h

fr\l)v,

Ty(y,W)

= Tv(y,l).

( 4 )