Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

20.1. Мы докажем сначала совпадение

Т(V)

a %(V) для алгеб­

раических многообразий, являющихся комплексно-аналитическими

расщепляющими многообразиями.

Т е о р е м а

20.1.1. Пусть V — алгебраическое

многообразие,

ко­

торое является

комплексно-аналитическим

расщепляющим

много­

образием.

Тогда

%(V) = T(V).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Над V определены

диагональные

одно­

мерные

комплексно-аналитические

расслоения

Аи

Ат,

т —

= dim V. По формуле

13.6(13)

и теореме

17.4.1

имеем

m

(1+у)тТ(У)=%у1

2

TA(ATL,

. . . . АЛ,

,

i=o

i1<...<it

в ч

1

ш

m

(l+y)mx(V)=2yl

S

%y(Ah,

Ah)v.

Ту

/= = 0

£j, • • •, і^

являются

многочленами.

Так как V

алгебраично,

то и

%у —

многочлены

(теорема

19.2.1). Эти два равенства

показывают, что

для

доказательства

равенства

T(V) =

%(V)

достаточно

найти

г/о Ф—1.

такое,

что

Т

и %

совпадают для

алгебраического

многообразия

и его

виртуальных

подмногообразий(А^,

Ai,)v.

По

теореме

19.5.1

%

и Т

совпадают

в этом

смысле

для уо— 1.

Этим завершается

доказательство.

З а м е ч а н и е .

Интересно заметить,

что совпадения

Т„

и v

для

1

для доказательства

Ун

"Уо

уо — —1 недостаточно

теоремы. Совпаде­

ние

Т

и % для у0—1

основано

на

теореме

8.2.2

о

том, что

индекс гладкого многообразия представим многочленом

от

клас­

сов Понтрягина. Эта теорема в свою очередь

доказывалась

с по­

мощью теории кобордизмов

Тома.

20.2. В п.

13.4 мы построили по произвольному компактному

ческое расщепляющее многообразие

VА;

VА является комплексно-

аналитическим

расслоением

над

V с

многообразием

флагов

GL(n,

С)/А (я, С) в качестве слоя. С помощью этой конструкции мы

можем

свести

доказательство

равенства

%(V)=T(V),

где V —

этого мы используем

следующую

теорему.

Т е о р е м а

20.2.1.

Пусть

% —

комплексно-аналитическое

GL(g, С)-расслоение

над

алгебраическим

многообразием

V.

Рас­

смотрим ассоциированное

с |

расслоение

V с многообразием

фла­

гов F(q) = GL(g, C)/A(q,

С)

в качестве

слоя. Тогда

компактное

комплексное

многообразие

V

алгебраично

и

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Алгебраичность

У

следует

из

теоремы

18.3.1. Пусть

ф — проекция У

на

V. Расслоение

ф*| над

У

допу­

скает в качестве структурной группы треугольную группу

А (а, С).

Пусть

| ь

1д — соответствующие

диагональные

С*-расслоения,

a Yt — и

х

классы

когомологий,

которые

мы

рассмотрим

как эле­

менты

из

Я 2 ( У , С).

Расслоения

— комплексно-аналитические,

поэтому

элементы

Yi имеют тип (1, 1) (см. теорему

15.9.1). Гомо­

морфизм

ф* мономорфно отображает

кольцо когомологий

Я*(У, С)

в кольцо когомологий Я* ( У , С)

(см. Б о р е л ь

[2]). Так

как ф —

комплексно-аналитическое

отображение,

то

при

гомоморфизме

ф*

элемент

типа

(р, q) переходит

в элемент

типа

(p,q).

Хорошо

из­

вестно, что кольцо

когомологий

Я * ( У , С)

порождается

ф*Я*(У, С)

и Y» ( с м -

Б о р е л ь

[2]). Так как все yi имеют тип

(1, 1), то ясно,

что все классы когомологий типа

(0, р)

из

Я * ( У , С)

содержатся

в ф*Я*(У, С). Поэтому ЬР' Р(У) = А°. Р(У),

что и требовалось

до­

казать.

Т е о р е м а

20.2.2.

Для

алгебраического

многообразия

V

ариф­

метический

pod %(V)

совпадает

с родом

Тодда

Т(V).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Построим

по

V

расщепляющее

много­

образие

VА.

По предыдущей теореме

VА

— алгебраическое

много­

образие

и

X(V) = x(VA).

(1)

По теореме

14.3.1

-

Т (V) =

Т (VА).

(2)

По теореме 20.1.1

%(VA)

=

T(VA).

(3)

Т е о р е м а 20.3.1.

Для

алгебраического

многообразия

V и

комплексно-аналитических

одномерных

расслоений F U ...,

F R над

V

имеем

X(FU

FR)V==T(FL,

FR)V.

При г — 1 эта теорема

утверждает, что

-

%(F)v =

T{F)v.

Виртуальный род одномерного расслоения можно выразить че­

рез

(не виртуальный)

род многообразия.

По 17.2 и 12.1(4) имеем

%(F)v

=

%(V)-x(V,

F-1),

{

:nf)Y = T(V)-T{v,

F~X).