Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 102
Скачиваний: 1
Степенной ряд s h есть степенной ряд от х2. Элементарные сим метрические функции от у2 представляют собой классы Понтря
гина |
р ь |
р2, . . . |
многообразия |
V, |
которые зависят только |
от глад |
|||||||
кой |
структуры |
многообразия |
V |
(см. 4.6). Поэтому |
мы |
получаем |
|||||||
в качестве |
следствия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
%(V, F) |
есть |
многочлен |
от /-{--^-с, |
и |
от классов |
Понтрягина |
|||||||
pi многообразия |
V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В терминах |
многочленов Л» (см. 1.6) |
получаем из формулы (6) |
|||||||||||
|
|
x(v, |
|
|
|
+{q)4(Pi. ••" Р ^ П |
{Q*] |
||||||
где суммирование распространено на |
все г, s, такие, |
что г - j - 2s = |
|||||||||||
— п = dim V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Равенство %(V,F)= |
T(V,F) |
дает |
в качестве непосредственного |
||||||||||
следствия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Число |
|
%(V,F) |
зависит |
только |
от класса |
когомологий |
f для F. |
||||||
Этот |
результат был доказан |
Серром |
и |
К о д а и р о й |
и С п е н |
||||||||
с е р о м |
[4]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.4. В этом и следующих пунктах мы сделаем несколько за мечаний о связи изложенных результатов с классической теорией
(см. 0.1—0.5). |
|
|
|
Пусть F и G — два |
фиксированных |
комплексно-аналитических |
|
одномерных расслоения |
над |
алгебраическим многообразием V. |
|
Тогда %(V, F ®,Gf t ) есть целое |
число, |
зависящее от k. По теоре |
|
ме 20.3.2 |
|
|
|
%(V, |
F®Gk) |
= T(V, |
F®Gk). |
По определению Т ясно, что %(V, F <8> Gk) есть многочлен по k сте пени ^ п = dim V. Обозначая далее классы когомологий для F и G через f и g, легко видеть, что коэффициент при kn в этом мно гочлене равен -~г-£"[У]- Естественно, что постоянный член этого
многочлена равен %(V, F). Итак,
%(V, F® |
Gk) = |
a0 + aik-T- . . . |
+ank\ |
a0 = |
%(V,F), |
an = ±g"[V}. |
( 7 ) |
ui являются рациональными числами, которые по (4*) можно представить в виде многочленов от f и g" и классов Чженя для V.
З а м е ч а н и е . Тот |
факт, |
что |
x ( K ^ ® G f t ) есть |
многочлен |
по k, и формулу для ап |
можно легко вывести непосредственно из |
|||
теоремы 19.2.1. Формула |
(4*) |
для |
этого не нужна. |
Разумеется, |
таким образом не получается точной информации о всех коэффи циентах йі. Ж--П. Серр также доказал, что для алгебраического
многообразия V |
%(V,F<8>Gk) является |
многочленом |
по k, и от |
||||||
сюда вывел с помощью многообразия Пикара для V, |
что %(V, F) |
||||||||
зависит только от класса когомологий / для F (см. конец преды |
|||||||||
дущего пункта). |
G — положительное |
|
|
|
|
|
|||
Пусть теперь |
одномерное |
расслоение |
|||||||
(см. |
18.1). Тогда |
найдется |
целое |
число |
kQ, |
зависящее |
от F |
и G, |
|
такое, |
что одномерное расслоение |
F <8> Gk |
<8> К~х положительно |
при |
|||||
k~>k0 |
(К — каноническое |
одномерное расслоение, |
см. 15.3а). Та |
||||||
ким образом, по теореме 18.2.2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
dim Я 0 (К, F®Gk) |
= %{V, F ® Gk) |
для |
k ^ k 0 . |
|
Итак, для произвольного одномерного расслоения F и для поло жительного одномерного расслоения G для достаточно больших k имеем
|
dim Я 0 {V, |
F®Gk) |
= a0 + a i k + |
. . . + ankn; |
|
|
(8) |
||||
коэффициент а0 не зависит от G и совпадает |
с %(V,F). |
В |
случае |
||||||||
когда |
G проективно индуцировано, т. е. принадлежит |
классу ги |
|||||||||
перплоского сечения в подходящем вложении V в комплексное |
|||||||||||
проективное |
пространство, |
это — известные |
факты |
классической |
|||||||
теории |
(гильбертова |
характеристическая |
функция, |
постулирова |
|||||||
ние). |
В этом случае, как хорошо известно, |
UQ В (8) |
не |
зависит |
|||||||
от G |
(будем |
писать а0 = |
a0(F)), |
и в рамках |
классической |
теории |
|||||
%{V,F) |
можно определить |
равенством |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
%(V, |
F) = a0(F). |
|
|
|
|
(9) |
По двойственности Серра "(15.5(14)), или, если угодно, по 12.2(12)
ao(f) = ( - i y 4 ( K ® f - 1 ) - (Ю)
В классической теории арифметический род определяется двумя способами:
Р а М = ( - 1 ) я |
( - 1 + |
ао(1)) |
и |
Pa(V) |
= |
- ( - l ) n + a0(K). |
(11) |
||||
Давно |
было |
открытой |
проблемой, |
совпадают ли pa(V) |
и |
Pa(V)? |
|||||
Севери |
(см., например, |
С е в е р и |
[1]) |
предполагал, что |
для |
связ |
|||||
ного |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pa (V) = Р а (V) = g n - |
|
+ |
. . . + ( - I f " ' g i , |
|
|
||||
т. е., |
что |
Ра (V) = |
Ра (V) = |
( - 1 Г ( - 1 + X(V)). |
|
(12) |
|||||
|
|
|
|
||||||||
Эти уравнения получаются из (10) при |
F = 1. Равенства |
(12) |
|||||||||
утверждают, |
что |
три |
определения для |
арифметического |
рода |
||||||
в классической теории |
совпадают |
между |
собой. Этот |
результат |
|||||||
был получен |
К о д а и р о й и С п е н с е р о м |
[1] описанным |
выше пу |
||||||||
тем. Подробнее об истории вопроса |
см. работы К о д а и р ы [1, 2, 5]. |
Теорема 20.2.2 утверждает, что четвертое определение ариф метического рода, а именно определение рода Тодда, совпадает с предыдущими (ср. 0.2).
20.5. Пусть |
V есть |
n-мерное |
алгебраическое |
многообразие и |
|||||||||||
К — каноническое одномерное расслоение над V. Если С\ — первый |
|||||||||||||||
класс Чженя для V, то |
по теореме 4.4.3 (см. также 12.2 |
и 15.9) |
|||||||||||||
К имеет класс |
когомологий |
—си Определены кратные роды |
для |
||||||||||||
|
|
|
|
Pl |
= |
dimH0(V, |
К1), |
|
|
|
|
|
|
||
где № — і-я степень |
для |
К |
в |
смысле |
тензорного |
умножения |
век |
||||||||
торных расслоений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pl = dimH°(V, |
K) = dimHn(V, |
1) = |
g = (геометрический |
род |
V) |
||||||||||
(і в Р1 является индексом, |
а |
не показателем |
степени). |
|
|
|
|||||||||
В одном интересном частном случае кратные роды могут быть |
|||||||||||||||
вычислены |
с помощью |
теоремы |
Римана — Роха |
20.3.2 |
и |
теоре |
|||||||||
мы 18.2.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А именно предположим, |
что расслоение К положительно. Тогда |
||||||||||||||
%{V,Kl)=Pl |
|
для |
|
i > 2 , |
|
П |
|
|
|
|
|
||||
г (V, к1) = *п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
[ е х Р ( - і |
{2i - 1 ) Cl) П |
|
, |
|
|
( 1 3 ) |
|||||||||
Это предположение выполняется, например, в случае, если |
V есть |
||||||||||||||
факторпространство |
ограниченной |
области |
пространства |
|
С и |
по |
|||||||||
дискретной группе автоморфизмов |
области, не имеющей неподвиж |
||||||||||||||
ных точек |
( К о д а и р а |
[6]). Кратный |
род Р' |
в этом |
случае |
совпа |
|||||||||
дает с числом комплексно-линейно |
независимых |
автоморфных |
|||||||||||||
форм веса |
і. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.6. Пусть F — комплексно-аналитическое одномерное расслое ние над га-мерным алгебраическим многообразием V. Тогда %{V, F) вычисляется по формуле (4*) теоремы 20.3.2, где / — класс когомологий для F. В формуле (4*) перед произведением стоит множитель еК Однако в кольце когомологий для V имеем
еї = ( 1 - (1 - е-*))'1 = 2 (1 - е--*)'.
Из этой |
формулы |
следует по определению виртуального рода |
Тодда (и |
с учетом |
того факта, что виртуальные Т- и %-роды |
совпадают) следующая |
формула: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
%(V, F) = |
%(V) + x(F)v |
+%(F, |
F)v + |
|
••• |
+%{F, |
F, |
F)v, |
(14) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n раз |
|
|
предугаданная |
С е в е р и [1]. |
|
|
|
|
|
V числа |
|
||||
Сопоставим |
алгебраическому многообразию |
|
||||||||||
|
|
Ъ = |
%(К, К,..., |
К), |
q0 = |
x(V). |
|
|
||||
|
|
|
|
І |
раз |
|
|
|
|
|
|
|
Они связаны с классическими инвариантами Qt |
соотношениями |
|||||||||||
|
% = |
Ц> = |
( - |
',)" [ П * , = |
( - і Г ' |
оя _у |
+ 1 • |
|
||||
Формула |
(14) |
с F, замененным на К, |
дает |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
( - 1 У Ч о = |
£ ч>/ |
|
|
|
(140 |
|||
(Севери). |
М а к с в е л л |
и Т о д Д |
[1] |
нашли |
|
все |
универсальные |
соотношения между числами ipj. Все эти соотношения легко до казываются с помощью виртуального рода Тодда. Приведем еще один пример.
Определение виртуального рода Тодда показывает, что
|
|
|
( 1 - ^ П |
-V* |
|
|
|
|
|
|
і=ї 1 |
е |
|
Это |
выражение |
имеет |
множитель |
( 1 — е с , ) ! , |
поэтому выражение |
|
|
п |
|
|
|
|
|
для |
2 2"_ / чр/ имеет множитель |
|
|
|
||
|
/=0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 я - / ( 1 - е е ' У = 2 " + , / ( 1 + в в 1 ) . |
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2" + 1 |
*с '/ 2 |
т у |
v,/a |
|
|
|
|
1 + e ci |
11 sh Y i /2 |
|
Так |
„С/2 |
есть |
четная функция |
от с,, |
то выражение в [ ] |
|
как |
1 -f" Є '
не содержит членов нечетной степени по Сі и ууТаким образом, получаем
п |
|
2 2ч -Ч = о. |
(15) |
если я нечетно.
З а м е ч а н и е . Вычисления, проведенные в этом пункте, можно было бы провести, не предполагая равенства Т-рода %-роду. Для этого нужно было бы применить формализм § 17, теорему 19.2.1 и формулу двойственности 15.5(14). Таким образом можно полу чить все соотношения Максвелла — Тодда. Однако после того, как Т и % идентифицированы, значительно проще производить вычис ления с помощью Г-рода. Вычисления в формализме § 17 в точ ности аналогичны вычислениям с Г-родом. Читатель, вероятно, заметил, что степенные ряды § 17 в точности соответствуют мно жителям в вычислениях с Г-родом [соотв. с Гу-родом], т. е. выра
жениям, которые стоят перед J J . соотв. перед П Q (У> УІ)
L
(см. 1.8). Например, если нам дано одномерное комплексное век торное расслоение F, то в формализме § 17 ему соответствовала переменная /, а в вычислениях с Г-родом — множитель ef (f — класс когомологий для F).
20.7. В заключение этого параграфа мы сделаем несколько за-' мечаний о теореме Римана — Роха для алгебраических поверхно стей. Пусть V — алгебраическая поверхность, т. е. алгебраическое многообразие комплексной размерности 2, и F — комплексно-ана литическое одномерное векторное расслоение над V с классом когомологий / < = Я 2 ( У , Z). Тогда по формуле (4*) теоремы 20.3.2 с использованием двойственности Серра имеем
dim Н° (V, F) — dim Я 1 |
(V, F) + |
dim |
Н° (V, |
K®F~l) |
= |
|
|
|||
|
|
= |
Ті?2 |
+ |
NIV] |
+ 72 (c i + |
с1)Ш |
а6)' |
||
Чтобы выразить |
это |
в классических |
обозначениях, |
предположим |
||||||
V связным. Определим избыточность для |
F (см. З а р и с с к и й |
[1]) |
||||||||
равенством |
|
sup(F) |
= |
dimHl(V, |
F). |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
Целое число f2[V\ |
называется |
виртуальной |
степенью |
g(F) для |
F. |
Теперь формулу (16) легко привести к обычной форме теоремы Римана — Роха.
Иначе можно было бы воспользоваться 20.6(14); в результате
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
<ШпЯ°(У. F)+dimH°(V, |
K®F~l) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
%(V) + %(F)y +g(F) |
+sup |
F. |
(17) |
|
В классической терминологии x(F)—l—n(F), |
|
где |
n(F) |
— |
|||
„виртуальный род для |
F" |
а x(V) |
= 1 -r-Pa(V)- |
Обратим внимание |
|||
еще на то (см. 15.2), что |
|
|
|
|
|
|
|
dim I F |Ч-1 = dim H°(V, |
F), |
d i m l t f ® / 7 - 1 [ + 1 = |
dim |
Н°(У, |
K^F"1), |