Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Скачать файл (14,00Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 104

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

так что (17) перейдет в следующую формулу классической теории:

d i m | F | + dim\K® F-'\ =pa(V)-n(F)-r-g(F) +sup(F). (18)

Из формулы (18)			еще не следует		в отличие		ог формулы (16),
что i(V)	=Т(V).	Это уравнение		в классической			теории	появляется
в следующем		виде.
Определим		линейный	род
		Pw=g(K)+i=cUv]				+ i.
Из (18), где F заменено на К, получается другое определение
		1 - я ( Я ) =		1 - Р ( , ) =		х(Ю.
Инвариант		Цойтена	— Сегре	I для	К	определяется		равенством
с 2 []/]=/ - \| - 4, а		арифметический		род pa{V)		равен		pa(V)=%(V)—1.
Следовательно, соотношение
		%{V)^-~(c\		+ c2)[V\	=	T(V)
перейдет	в
			12ра + 9 = р < » + / .					(19;

Это соотношение принадлежит М. Нётеру (см. З а р и с с к и й [1]).

§ 21. Теорема Римана — Роха

для алгебраических многообразий

икомплексно-аналитических векторных расслоений

21.1. Мы докажем в этом пункте основную теорему о том, что

%(V, W) = T(V, W),

(1)

где V — алгебраическое многообразие, a W — комплексно-анали тическое векторное расслоение над V. Эта теорема будет назы

ваться

теоремой

Римана

— Роха

для

векторных

расслоений

(или

кратко теоремой

РР).

Т е о р е м а

21.1.1.

Пусть

V — алгебраическое

многообразие

размерности

W — комплексно-аналитическое

векторное

рас

слоение

над

со

слоем

Cq.

Пусть Со, си

сп — классы

Чженя

для V

d0,

d\,

— классы

Чженя

для

W(co = d0 =

с,-,

di ЄЕ H2i(V,

Z)). Группы

когомологий

НЦУ,УР)

являются

конечно

мерными

векторными

пространствами,

тривиальными

для

і >

п.

Характеристика

Эйлера

—

Пуанкаре

%(V, W) = JS(-1? dimHl(V,

может быть выражена

как

многочлен

T(V, W) от классов Чженя

СІ и

( в в - + . . . + л ) П -

1 - е

-V,--

1=1

Хя

T(V,

W).

(1*)

Уравнение

(1*)

следует

понимать

следующим

образом.

Рас

смотрим

формальные

разложения

J W = I[(l+Yi*),

2 й*'=Й (!+*<*)•

Тогда

однородная

часть степени п для выражения

квадратных

скобках

является многочленом

от СІ и dt.

Этим определяется

эле

мент

из

Н2п

(V, Z) ® Q,

ы надо

взять

его

значение

на

фундамен

тальном

2п-мерном

цикле

многообразия.

Прежде

чем доказывать

теорему, сделаем несколько

замечаний

и обсудим один частный случай. Разумеется, теорема 20.3.2 со держится в качестве частного случая в теореме PP. Из теоремы Р Р также следует, что число W) зависит только от непрерывного векторного расслоения W и даже только от классов Чженя для W. Этот факт в противоположность случаю одномерного расслоения, по-видимому, не был доказан без использования теоремы PP. Это, возможно, связано с тем, что для GL(q, С)-расслоений не суще ствует (для фиксированных V и q > 1) алгебраического многооб разия, точки которого классифицировали бы комплексные анали

тические Gh(q,

С)-расслоения над V,

тривиальные

топологиче

ском

смысле. Для q =

1 такое

алгебраическое

многообразие

су

ществует,

оно

называется

многообразием

Пикара

для

(см.

С е р р

[1], К о д а и р а

и С п е н с е р [2]).

Теорема

21.1.1 известна

для

п=1,

т. е. для

алгебраических

кривых. В этом

случае

А. Вейль

доказал

следующее:

Т е о р е м а

21.1.2 (А. В е й л ь

[1]). Пусть W и W —

векторные

расслоения

над

связной

алгебраической

кривой

со

слоями

Сг

и	СГ'. Пусть di є Я 2	(V, Z) — первый		класс		Чженя для	W, a	а"! є
є	Я 2 (V, Z) — первый	класс	Чженя для		W.	Тогда
X {V, W ® W") = dim Я° (V, W ® W'*) -					dim Я 0 (V, K®W*®W')			=
	= r'd\[V]-rd\[V]		+	rr'{\		-р),
где р — род V.
	Д о к а з а т е л ь с т в о с помощью теоремы PP. Обозначим							фор
мальные корни для W, W через 6 Ь				Ы	Тогда получим,		используя

теорему

4.4.3

или

формулу

10.1

(4),

X (V,

W ® W)

[ е с '/ V і +

. . .

Л ) (є"6 ' + . . . + . е-*'г)\

= щ [ ( 1 + ^ / 2 ) ( г + < / , ) ( / • ' - # ) ] ,

что и требовалось

доказать.

Приступим теперь к доказательству теоремы

PP.

Мы должны

показать,

что

%(V, W)=

T(V, W).

Пусть g— ассо

циированное с W комплексно-аналитическое GL(q,

С)-расслоение

над

V. Рассмотрим

ассоциированное

с £ расслоение

Е с многооб

разием

флагов

F(q) = GL(q,

C)/A(q,

С)

в качестве

слоя, и

обо

значим через ф проекцию Е на V. По теореме 14.3.1

T(V,

W) = T(E,

y'W).

(2)

По одной теореме А. Бореля, которую мы приведем в следую-

щем

пункте,

X(V,W)

x(E,tfW)x(F(q)).

Так

как

арифметический

род

для

F(q)

равен

(см. 15[10]), то

X(V,

W) = x{E,

Ф * П

(3)

Расслоение ty*W комплексно-аналитически допускает треугольную группу A(q, С) в качестве структурной группы. Тем самым над Е определены q диагональных одномерных комплексно-аналитиче ских расслоений А\ Л , и по формуле 12.15 и теореме 16.1.2

Т(Е, Ф * Ю = І П £ ,		At)	и х(Е,	Ф^)-2х(£ ,	А,).	(4)
Так как Е по теореме 18.3.1* является				алгебраическим	многооб
разием, то по теореме 20.3.а
Х(Е,	At) =	T(E,	At),			(5)
Из (2) — (5) следует,	что	х(^> Ю = T(V, W), что и требовалось
доказать.

21.2. А. Борель доказал следующую теорему, которая была использована при доказательстве основной теоремы 21.1.1 и ко торая ранее не была опубликована.

Т е о р е м а

21.2.1.

Пусть

Е — комплексно-аналитическое

рас

слоение

над

компактным

комплексным

многообразием

ком

пактным

связным

кэлеровым

многообразием

F в

качестве

слоя и

со

связной

структурной

группой.

Тогда

автоматически

будет

компактным

комплексным

многообразием.

Пусть

ф — проекция

на

V. Пусть

над

задано

комплексно-аналитическое

векторное

расслоение

Тогда

%y{E,4W)

xy{V,W)xu{F).

(6)

В частности, при

г/ —О

X(Е, qW)

= %(V, W)%(F),

%(Е)=%(V)%(F).

(7)

С л е д с т в и е .

Если

Е, V и F — кэлеровы

многообразия,

то для

индекса

имеем

x(E)=x(V)x(F).

(8)

По

теореме 15.8.2 следствие

есть

просто

частный случай,

когда

У — \,

тривиально.

Доказательство теоремы

21.2.1, принадле

жащее

А. Борелю,

использует

спектральную

последовательность

для (Э-когомологий комплексно-аналитического

расслоения.

Оно

приведено в приложении 2.

З а м е ч а н и я .

В случае

когда

F есть

многообразие флагов,

приведенная

выше

формула

(6) соответствует

формулам

(10),

(10*)

из 14.3

и 14.4.

работе

Ч ж е н ь ,

Х и р ц е б р у х

и С е р р

[1] показано,

что

формула

(8)

справедлива в случае,

когда

Е,

F — компактные

связные ориентированные многообразия, если только ориентация Е


индуцирована		ориентациям		V и F и если фундаментальная						группа
niV действует тривиально на когомологиях							слоя	H*(F).
2)	Теорема	20.2.1 является			частным	случаем		теоремы		21.2.1.
В теореме 20.2.1 мы доказали в точности ту часть теоремы										21.2.1,
которая нам была			нужна.
3)	Для доказательства			теоремы Р Р в предыдущем					пункте нам
достаточно знать			формулу	(7)	только	для	того	случая, когда F
есть	многообразие		флагов.	По	индукции		(см.	18.3)	достаточно
поэтому доказать			уравнение (7)		для случая, когда F есть					комп

лексное проективное пространство. В этом случае %(F)= 1, и можно показать, что

d\mHl{V,	W) = dim Н1(Е,	ф*Г),	(9)
что влечет за собой уравнение %(V,W) =		i(E,q*W).
Прямое доказательство	формулы (9)	дано в приложении	1
(23.2(2)).