Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

этот

факт можно доказать

непосредственно

[ К о д а и р а и

С п е н ­

с е р

[4]). Приведем явную

формулу для %P(V) (в случае

W — I)

(см.

12.2(9)):

%P{V) =

^{-\)qhp-q{V)=*

9=0

" ( v ' i + - + % ) її

— e-У і

(10)

Т е о р е м а 21.3.1.

Пусть

V — алгебраическое

многообразие,

Fj,

Fr — комплексно-аналитические

одномерные

расслоения

над

V,

W — комплексно-аналитическое

векторное

расслоение

над

W.

Тогда

Xy(Flt

Fr\, W)v

= Ty(Fu

Fr\, W)v.

(11)

З а м е ч а н и е . Полагая в предыдущей формуле

г = 0 (см. 19.3)

и у = 0,

получим в

точности

теорему

PP. Таким

образом, фор­

мула

(11) является

наиболее общим результатом

этой главы. Од­

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Теперь имеются по крайней мере четыре других доказательства

теоремы Ри­

мана— Роха. А т ь я и З и н г е р [1] доказали, что равенство %(V, W) = T(V, W)

имеет место для комплексно-аналитического векторного расслоения

W над про­

извольным

компактным комплексным

многообразием

V. Их метод

основан ча­

стично на

доказательстве теоремы об

индексе 8.2.2

гл. 2. и описан

в § 25. Из

для

компактного комплексного многообразия

V. В

частности, %\(V) —

=

=

т(У), так что теорема Ходжа об индексе

15.8.2

справедлива, если

V — ком­

пактное комплексное многообразие.

Из

результатов

Чжоу

и Серра

следует, что х(^ ) и

T(V) могут

быть опре­

делены

и- в этом

случае

(см. С е р р [2, 4], Б о р е л ь — С е р р

12],

Г р о т е н-

д и к [4]). Опубликованный

вариант

( У о ш н и ц е р [2])

содержит

аксиоматиче-

ское

описание арифметического рода

x W .

но> к сожалению, не

содержит

дока­

зательства

того, что T(V)

удовлетворяет этим аксиомам.

Теорема

Гротендика — Римана — Роха

описана

в § 23.

Она относится

к соб­

ственным

отображениям

f:

V -»• X алгебраических

многообразий

(см. Б о р е л ь

и С е р р

[2]). Если X—точка,

то

эта

теорема

превращается

в

теорему

Ри­

мана — Роха

для алгебраического

векторного расслоения W над неособым

проек­

тивным многообразием V, определенным над алгебраически замкнутым полем К.

Если

К =

С, то из

результатов

С е р р

а

[4] о сравнении

аналитических и

алге­

браических

пучков

следует

теорема

Римана — Роха

для

комплексно-аналитиче­

ских векторных расслоений

W над алгебраическим многообразием

V.

Другое

доказательство

теоремы

Гротендика — Римана — Роха

для

случая

К =

С дано

в А т ь я и Х и р ц е б р у х

[8]. В случае

когда

f: V->X

— вложение,

теоремы Римана — Роха, но, как

и в этой книге, он годится только, когда

V — (комплексное) алгебраическое

многообразие.

22.1. Рассмотрим г неособых гиперповерхностей

F ( " l \

F(ar)

степеней

а.\,

аг

в комплексном

проективном

пространстве

Р„+г(С).

Пересечение

V ^ ' - ' a r ) = F(ar)C\

. . . f] F(ar)

будет

алгеб­

находятся

в общем положении. Проблема

состоит в

вычислении

^-характеристики для алгебраического многообразия

V n

U l ° Г К

Оказывается, что

она зависит

только

от целых

чисел

аи

аг,п

и не зависит от специального выбора

гиперповерхностей F ( " l \ ...

F(ar).

Пусть

Я —одномерное

расслоение

над

Р „ + Г ( С ) , ассоциирован­

ное с С*-расслоением г\п+г

(см. 4.2). Тогда

Я соответствует

классу

дивизоров

гиперплоскости

P n + r _ i (C)

и имеет

класс

когомологий

Ci (r\n+r) =

h <= Я 2 ( Р П + Г ( С ) , Z). Одномерное

расслоение

II"1

соот­

ветствует

классу

дивизоров

гиперповерхности

F ( a ' \

Если

O-^-Z(F)-*

j*l (Р)

- * f

Я а '

->

О,

где Z(F) и Z ( Р )

— касательные

расслоения

к F ( a , ) и Р Д + 1 ( С ) .

Следовательно,

с (X (F)) =

f

( с (Z (Р)) • с ( Я а ' ) _ ' ) -

(1 +

hf+2

(1 +. fl.ft)"1.

Аналогично, случаи

у ——\,

у = + 1 дают уравнения для эй­

леровой характеристики

и для индекса многообразия

V ^ 1 ° т \

З а м е ч а н и е . Теорема 2 2 . 1 . 1 может быть

доказана

непосред­

ственно, исходя из четырехчленной формулы

1 6 . 3 ( 1 0 ) , и это дока­

зательство было получено раньше доказательства

теоремы Ри­

мана— Роха. Легко показать,

что теорема

имеет место

также и

при г — 0. Следствие дает в

случаях г =

0 и г =

1 хорошо из­

вестные формулы для %(Рп(С),

Нк) и %{Vn\ Hk),

которые,

напри­

мер,

были

использованы

у

Х и р ц е б р у х а

и

К о д а и р ы

[1] и

у Б р и с к о р

н а [1].

Теорему 2 2 . 1 . 1 можно использовать

для вычисления чисел

АР>9

для

Vn

(см. 1 5 . 4 ) . Это возможно

в силу

следующей теоремы.

Т е о р е м а

2 2 . 1 . 2 .

Пусть

Vn

= V^1"J—полное

пересече­

ние.

Тогда

hp' q

(V„) = бр , „

для

р + q Ф п

и

%P(Vn)

= (-l)n~Php-n-p(Vn)

+ (-l)P

для

2рФп,

уГ(Уп)

= {-\)тпт-т(Уп)

для

2т = п.

Доказательство можно

найти

у Х и р ц е б р у х а

[3], § 2 . 2 . Оно

проводится индукцией с использованием теоремы

Лефшеца

о ги­

перплоских

сечениях ( Б о т т

[4]).

22.2. Пусть М — ограниченная

область

в С„, снабженная

эрми­

товой

метрикой

Бергмана

( К о д а и р а

[6], стр. 4 2 ) . Эта

метрика

является кэлеровой, и она инвариантна

относительно

комплексно-

аналитических

гомеоморфизмов

многообразия

М.

Пусть

I(М) —

группа всех таких гомеоморфизмов, и пусть

У =

М / Д — фактор-

пространство

относительно

действия

подгруппы

А группы

1(М).

Каноническое

отображение

р: М — > У

является

накрытием

ком­

пактного комплексного

многообразия

У, если

(a)

А действует дискретно,

т. е. любое

компактное

подмноже­

ство

из М

пересекается

лишь

с

конечным

числом

своих

образов

относительно

А;

(b)

М/Д компактно;

(c)

А действует свободно,

т. е. только

тождественный

элемент

из А имеет неподвижные

точки.

[6],

стр. 4 1 ) , что

Из

свойств

(а) — (с)

вытекает

(см. К о д а и р а

каноническое одномерное расслоение К над

У является

положи­

тельным (см. 1 8 . 1 ) . Следовательно, из теоремы

1 8 . 1 . 2

следует, что

У является

алгебраическим

многообразием.

Голоморфная функция / на М называется автоморфной

формой

относительно

А веса г, если для всех ш М , у є А

f(yX)

=

Jyr(x)f(x),