Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 75
Скачиваний: 1
новочных с гомоморфизмами г" |
|
и г^, т. е. таких, |
что f^hv |
= |
hvruv |
|||||||
при |
V cz |
U. |
|
h называется |
|
мономорфизмом |
|
|
эпимор |
|||
Гомоморфизм |
|
(соотв. |
||||||||||
физмом, |
изоморфизмом), если |
каждый |
гомоморфизм |
hv |
является |
|||||||
мономорфизмом (соотв. эпиморфизмом, |
изоморфизмом). |
|
|
|||||||||
|
Предпучок © называется подпредпучком |
предпучка |
©, если для |
|||||||||
любого |
открытого |
множества |
U |
группа |
Sv |
является |
подгруппой |
|||||
группы |
Su, |
а гомоморфизмы гу |
— ограничениями |
на |
© |
гомомор |
||||||
физмов г$% |
В этом, случае определен факторпредпучок |
©/©, |
сопо |
|||||||||
ставляющий |
произвольному открытому множеству |
U факторгруп |
||||||||||
пу |
Su/Su. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для каждого гомоморфизма h предпучка © в предпучок © ес тественным образом определяются его ядро и образ. Ядро гомо морфизма h — это подпредпучок предпучка ®, сопоставляющий каждому открытому множеству U ядро гомоморфизма hv. Анало гично образ гомоморфизма h — это подпредпучок предпучка ©, сопоставляющий каждому _ открытому множеству U образ гомо морфизма hn.
Пусть © = (S, л, X) и © = (5, я, X) — пучки, порожденные предпучками © и © соответственно, и пусть h: © - + © — произвольный гомоморфизм предпучков. Покажем, что гомоморфизм h порож дает гомоморфизм пучка © в пучок ©, который мы также будем обозначать символом h. Чтобы построить этот гомоморфизм, до
статочно, очевидно, построить |
индуцированные им |
гомоморфизмы |
||||||||||||||||||
hx: SX—*SX |
|
(см. формулу 2.1(1)). Рассмотрим элемент |
|
a e S j , . |
||||||||||||||||
Этот |
элемент |
является |
ростком |
в |
точке |
х |
некоторого |
элемента |
||||||||||||
f e S y . |
Мы |
примем |
за |
hx(a) |
росток |
в |
точке х |
элемента |
не |
hv(f). |
||||||||||
Легко видеть, что это |
определение |
корректно |
(оно является |
чем |
||||||||||||||||
иным, как специализацией для рассматриваемого |
частного |
слу |
||||||||||||||||||
чая |
общего определения |
прямого |
предела |
гомоморфизмов |
|
hv). |
||||||||||||||
2.3. |
Канонический |
предпучок |
|
пучка. |
Сечением |
|
пучка |
© = |
||||||||||||
= (5, я, X) |
над открытым множеством U пространства |
X |
назы |
|||||||||||||||||
вается всякое непрерывное отображение s: U-+S, |
|
для |
которого |
|||||||||||||||||
композиция |
jts: U —» U представляет |
собой |
тождественное |
отобра |
||||||||||||||||
жение. Для каждого сечения s пучка © над множеством |
|
U мно |
||||||||||||||||||
жество |
s(U) |
|
пересекается |
с |
каждым |
стеблем Sx |
точно |
в |
одной |
|||||||||||
точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
свойства |
2.1 |
III) |
немедленно |
вытекает, |
что |
множество |
|||||||||||||
V(U, |
©) |
всех |
сечений |
пучка © над множеством U |
является |
абеле- |
||||||||||||||
вой группой, нулем которой служит нулевое сечение |
|
X—*0Х. |
|
|||||||||||||||||
Сопоставив каждому открытому множеству U пространства X |
||||||||||||||||||||
группу |
T(U, |
©) |
сечений |
|
пучка © над U (при |
U = |
0 |
|
группу |
|||||||||||
Г(и, |
©) |
по определению |
считаем |
нулевой) и любым |
двум |
откры |
||||||||||||||
тым |
множествам |
U, |
V |
с |
V cz U, |
гомоморфизм |
|
|
T(U, |
©)-> |
-> Г (V, ©), |
относящий |
каждому |
сечению пучка © над U его |
|||||||||||||||
ограничение |
на V |
(при V = 0 |
по |
определению считаем |
|
г ^ = 0 ) , |
||||||||||||
мы, очевидно, получим над пространством X некоторый |
предпучок |
|||||||||||||||||
{Г (U, |
©), гЩ. Этот предпучок |
называется |
каноническим |
|
предпуч- |
|||||||||||||
ком пучка ©. Легко видеть, что пучок, порожденный |
предпучком |
|||||||||||||||||
[T(U, |
@), |
г^}, изоморфен |
(см. |
2.2) |
исходному пучку |
(5. |
Действи |
|||||||||||
тельно, в силу 2.1 I ) , II) каждая |
точка |
а є 5 |
принадлежит |
по |
||||||||||||||
крайней |
мере одному |
множеству |
вида |
s(U), |
где U — некоторое |
|||||||||||||
открытое множество пространства X, a |
s — некоторое |
сечение |
пуч |
|||||||||||||||
ка © над U. При этом если а є |
s(U) Г) s'{U'), |
где |
s и s' — сечения |
|||||||||||||||
пучка © над множествами U и U' |
соответственно, |
то s = |
5' на |
не |
||||||||||||||
которой |
открытой |
окрестности точки я (а) . Таким |
образом, |
ростки |
||||||||||||||
в точке х сечений пучка © над. открытыми окрестностями |
точки х |
|||||||||||||||||
находятся |
во взаимно |
однозначном |
соответствии с точками |
стебля |
||||||||||||||
Sx. |
Далее, |
в |
силу |
2.1 |
I ) , II) семейство |
всех |
множеств вида |
s(U) |
||||||||||
образует базу топологии пространства S (см. 2.2с). |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Предположим теперь, что пучок © порожден некоторым пред |
|||||||||||||||||
пучком |
© = [ 5 у , |
r ^ j . |
Любой элемент |
f^Su |
|
облагает |
в |
каждой |
||||||||||
точке х є У |
некоторым |
ростком |
fx |
(см. 2.2а), |
причем |
отображение |
||||||||||||
x—*fx |
есть |
сечение hv(f) |
пучка |
© |
над |
U. Ясно, |
что |
отображение |
||||||||||
hv: |
Su-*T(U,<S>), |
задаваемое' |
формулой |
f-**hu(f), |
|
представляет |
собой гомоморфизм абелевых групп, причем семейство {flu} этих гомоморфизмов является гомоморфизмом предпучка © в канони ческий предпучок пучка ©. Вообще говоря, этот гомоморфизм не
является ни мономорфизмом, ни эпиморфизмом |
(подробнее |
об |
||
этом см. С е р р |
[2], § |
1, предложения 1 и 2). Тем не менее |
он |
|
индуцирует (см. |
конец |
п. 2.2) тождественный |
изоморфизм |
h: |
©- > © .
2.4.Подпучки. Точные последовательности. Факторпучки. Ограничения и тривиальные распространения пучков. Введем
дальнейшие алгебраические понятия теории пучков.
О п р е д е л е н и е . |
Тройка |
©' = |
(5',я', X) |
|
называется |
|
подпуч |
||||||||||||
ком |
пучка |
© = |
(S, я, X), |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I) |
Пространство |
S' |
является |
открытым |
подпространством |
|
про |
||||||||||||
странства |
S. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. - |
|
|
|
||
II) |
Отображение я ' является |
ограничением |
|
отображения |
я |
на |
|||||||||||||
подпространство |
S' |
и отображает это подпространство |
на |
все |
про |
||||||||||||||
странство |
X. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
III) |
Для |
любой |
точки х є= X |
стебель |
я' |
1 |
(х) = 5 ' П я - 1 |
(х) |
яв |
||||||||||
ляется |
подгруппой |
стебля |
я - 1 |
(л:) |
пучка |
©. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Условие I) равносильно следующему условию: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
1*)Для |
любого |
сечения |
s |
пучка |
© |
над произвольным |
открытым |
||||||||||||
множеством |
UczX |
и любой |
точки |
a e s ( [ / ) f l 5 ' существует |
такая |
||||||||||||||
окрестность |
V |
точки |
я (а), |
содержащаяся |
|
в |
множестве |
|
U, |
что |
|||||||||
s(х)єS' |
для |
каждой |
точки ї |
є К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л' |
Из условий I*) и II) |
непосредственно |
следует, |
что |
отображение |
|||||||||||||||||
является локальным |
гомеоморфизмом, |
а |
из условия |
III) — что |
||||||||||||||||||
групповые |
операции |
в € / |
непрерывны. Другими |
словами, |
тройка |
|||||||||||||||||
(S', |
л', |
X) |
сама является |
пучком. Вложение |
пространства |
S' |
в про |
|||||||||||||||
странство |
S определяет |
мономорфизм |
(см. |
2.1) |
пучка ® в |
пучок |
||||||||||||||||
<Ъ', называемый |
вложением |
<ЪГ |
в <5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пучок |
(Х,л,Х), |
|
|
где |
я — тождественное |
отображение, |
а |
также |
|||||||||||||
любой |
изоморфный |
ему |
пучок, |
называется |
|
нулевым |
пучком |
над |
||||||||||||||
пространством X. Его стеблями являются нулевые группы, и он |
||||||||||||||||||||||
служит подпучком каждого пучка © над X. Действительно, мно |
||||||||||||||||||||||
жество |
S' |
нулевых элементов стеблей пучка <5, т. е. множество |
||||||||||||||||||||
s(X) = |
0(<5), где |
s — нуль группы |
Т{Х,<&), |
является, |
очевидно, |
|||||||||||||||||
пространством нулевого подпучка пучка <5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Для |
любого |
гомоморфизма |
h: |
©—*<5 |
между |
пучками |
<Э |
= |
|||||||||||||
= |
(S,jt,X) |
и ё |
= |
(5,й,Х) |
тройка |
(S'.n',*) |
с |
S' |
= |
/ г 1 ( 0 ( e ) ) |
и |
|||||||||||
n' = n|S' |
является подпучком пучка ©. Этот подпучок обозна |
|||||||||||||||||||||
чается |
символом |
/г'(0) |
и называется |
ядром |
|
гомоморфизма |
«. Его |
|||||||||||||||
стеблями |
являются |
|
ядра |
гомоморфизмов |
|
hx: SX—*SX, |
|
индуциро |
||||||||||||||
ванных |
гомоморфизмом |
h. |
Аналогично |
тройка |
(5', л/, X) с 5' |
|
= |
|||||||||||||||
= |
ft(S) |
и |
я ' = я | 5 ' |
является подпучком |
|
пучка .<£. |
Этот |
подпучок |
||||||||||||||
называется образом |
|
гомоморфизма |
h. Его |
стеблями |
являются |
об |
||||||||||||||||
разы гомоморфизмов hx: |
|
SX-*SX. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пусть |
{Л,} — последовательность |
групп |
(или |
предпучков, |
или |
||||||||||||||||
пучков), a |
{hi}—последовательность |
|
гомоморфизмов |
he |
Л,-—*Лі + і. |
(Имеется в виду, что индекс і принимает все целые значения, за
ключенные между двумя фиксированными пределами п0 |
и пи |
при |
||||
чем эти пределы могут быть равны —сю или -f-oo. Таким |
образом, |
|||||
группы АІ |
определены при по < і <. П\, |
а гомоморфизмы |
ht — при |
|||
По < і < |
«і — 1.) |
Последовательность Л,-, h{ называется |
точной по |
|||
следовательностью, |
если |
ядро каждого |
гомоморфизма |
совпадает |
||
с образом |
предыдущего |
гомоморфизма |
(если, конечно, |
этот |
по |
следний гомоморфизм определен). В случае когда At — предпучки
{S(y} над топологическим пространством X, свойство точности по следовательности {Аг} означает, что для каждого открытого мно жества U пространства X точна последовательность абелевых групп
. . . _ 5 < » _ > S < } + « ) _ > 5 i J + 2 , - > . . . . |
(2) |
|
В случае когда Л* — пучки над |
X, свойство точности |
означает, |
что в любой точке х єв X стебли |
пучков А{ составляют точную по |
следовательность. Поскольку прямой предел точных последова
тельностей |
снова является |
точной |
последовательностью |
(С т и н- |
|
р о д и Э й л е н б е р г |
[1], гл. |
V I I I , теорема 5.4), справедлива |
|||
Л е м м а |
2.4.1. Для |
любой |
точной |
последовательности |
|
|
. . . |
- > © „ - > © „ + 1 - > © п + 2 ^ . . . |
(3) |
предпучков |
над |
топологическим |
пространством |
X |
индуцированная |
|||||
последовательность |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
. . . - > ® „ - > ® п + 1 - > 6 „ + 2 - > . . . |
|
||||||
пучков, |
порожденных |
предпучками |
®и |
также является точной по |
||||||
следовательностью. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Особое |
значение |
имеют |
короткие |
точные |
последовательности, |
|||||
т. е. точные |
последовательности |
вида |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
О - » ® ' — © " - • ( ) . |
|
(4) |
||||
Пусть |
©' = |
(S', |
я ' , Х ) , ® = |
(S, п, X) |
и ©" = (5", я", X) — пучки над |
|||||
пространством X. Первый нуль этой |
последовательности обозна |
|||||||||
чает нулевой |
подпучок пучка |
©', |
а |
первая |
стрелка — вложение |
этого подпучка в пучок ©'. Следовательно, точность в члене ©' означает, что гомоморфизм h' является мономорфизмом. Мы бу дем считать его вложением пучка ©' в пучок ©. Последний нуль обозначает нулевой подпучок пучка ©", а последняя стрелка — нулевой гомоморфизм, переводящий каждый стебель пучка ©" в его нулевой элемент. Следовательно, точность в члене ©" озна
чает, что гомоморфизм h является эпиморфизмом. Для |
каждой |
||||||
точки х є і |
точная последовательность (4) |
определяет |
соответ |
||||
ствующую точную |
последовательность |
|
|
|
|||
|
|
|
0 - ^ — > S * — ->S£->0 |
|
|
(5) |
|
стеблей |
над |
этой |
точкой, |
так что группа S'x |
изоморфна |
фактор |
|
группе |
Sx/Sx- |
|
|
|
|
|
|
Далее легко видеть, что топология пространства S" |
является |
||||||
фактортопологией, определенной отображением h: S—*S" |
(под |
||||||
множество пространства 5" |
тогда и только тогда открыто, |
когда |
его прообраз при отображении h открыт в пространстве 5) . Это показывает, что для данного пучка © и его подпучка ©' суще
ствует |
(с точностью до изоморфизма) |
самое большее |
один |
пучок |
©", для |
которого последовательность |
(4) точна. Этот |
пучок |
назы |
вается факторпучком пучка © по подпучку ©'. Докажем, что он всегда существует. Это можно без труда показать прямым пост
роением, но мы предпочтем определить |
сначала |
соответствующий |
||||||
предпучок. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, пусть |
© — произвольный пучок |
над |
топологическим |
про |
||||
странством X, |
а ©' — его произвольный |
подпучок. Для любого |
от |
|||||
крытого множества U пространства X |
группа |
Y(U,©') |
сечений |
|||||
пучка ©' над U является, очевидно, подгруппой группы сечений |
||||||||
пучка |
©. Следовательно, |
положив S'u = |
T(U, |
©)/Г(£/, ©'), |
мы |
по |
||
лучим |
точную |
последовательность |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q-+T(U, |
@')-»Г(£ /, © ) - > S W 0 . |
|
(6) |
Для каждого открытого |
множества V, содержащегося |
в U, гомо |
|||
морфизм |
ограничения |
T(U, ©) —• Г( V, @) |
переводит |
подгруппу |
|
Г (£/,©') |
группы Г (£/,©) |
в подгруппу Г (У,©') группы |
Г(У, ©) и |
||
потому |
индуцирует |
некоторый гомоморфизм |
г^: |
Ясно, |
|
что тем самым мы |
получаем некоторый предпучок {5у, г£?} (фак- |
торпредпучок канонического предпучка пучка © по его подпредпучку, соответствующему каноническому предпучку пучка ©') .
Пусть |
© " — пучок, |
порожденный |
предпучком |
{5^, r f J |
|
Согласно |
||||||||||||||
лемме |
2.4.1, точная |
последовательность |
(6) индуцирует |
некоторую |
||||||||||||||||
точную |
последовательность |
вида (4), так что пучок ©" и является |
||||||||||||||||||
искомым |
пучком. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тем самым |
доказана |
следующая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Т е о р е м а |
2.4.2. Для |
любого |
пучка |
© над |
топологическим |
|
про |
|||||||||||||
странством X |
и любого |
его |
подпучка |
©' |
существует |
единственный |
||||||||||||||
(с точностью |
до |
изоморфизма) |
пучок |
©", обладающий |
|
тем |
свой |
|||||||||||||
ством, что имеет место точная |
последовательность |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 _ » © ' - £ * @ - * > в " - * о , |
|
|
|
|
|
|
(7) |
|||||||
где |
h' — вложение. |
Для |
любой |
точки |
х є X участвующий |
в |
этой |
|||||||||||||
последовательности |
|
гомоморфизм |
|
hx |
определяет |
изоморфизм |
|
фак |
||||||||||||
торгруппы |
Sx/Sx |
на стебель |
S" |
пучка |
©" |
над |
точкой |
х. |
|
|
|
|||||||||
З а м е ч а н и е . |
Последовательность |
(7) индуцирует |
точную |
по |
||||||||||||||||
следовательность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
О -> Г (U, ©') - >Г( £ /, |
© ) - > Г (U, ©"). |
|
|
|
|
(8) |
||||||||||
Подчеркнем, что гомоморфизм |
T(U,©)—• |
T(U,©") |
эпиморфизмом, |
|||||||||||||||||
вообще говоря, не является. Согласно |
(6), образ этого |
гомомор |
||||||||||||||||||
физма, т. е. подгруппа всех сечений пучка ©" над U, являющихся |
||||||||||||||||||||
образами |
сечений пучка |
©, естественным |
образом |
отождествляется |
||||||||||||||||
с группой |
5у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть |
теперь |
У — произвольное |
подпространство |
пространства |
||||||||||||||||
X. Для любого пучка © = (S, я, X) |
над X |
тройка |
( я - 1 |
(У), |
я | я _ 1 ( У ) , |
|||||||||||||||
У), |
где |
я - 1 (У) — подпространство |
|
пространства |
S, |
|
являющееся |
|||||||||||||
прообразом подпространства У при отображении |
я, очевидно, яв |
|||||||||||||||||||
ляется |
пучком |
над пространством |
У. Этот пучок |
обозначается |
че |
|||||||||||||||
рез |
©| У |
и называется |
ограничением |
пучка |
© |
на |
подпростран |
|||||||||||||
ство |
У. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
е о р е м а |
2.4.3. Для любого |
замкнутого |
подпространства |
У |
|||||||||||||||
пространства |
X и |
любого |
пучка |
© = |
(5, я, У) над |
У |
существует |
|||||||||||||
единственный |
(с |
точностью |
до |
изоморфизма) |
пучок |
<© над |
прост |
|||||||||||||
ранством |
X, обладающий |
тем свойством, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
© | У = |
©, |
<&|Я— У = 0. |
|
|
|
|
|
|
|