Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Точная

последовательность

0—•Z—*2—*Z2 —*0 определяет

кого­

мологический

кограничный

гомоморфизм

б, такой, что bw2i(X)

=

= Wu+\(X).

Поэтому элемент d^H2i(X,Z),

ограничение

кото­

рого mod2 есть w2i(X),

существует

тогда и только

тогда, когда

W2i+\(X)=0.

В частности,

теорема

26.1.1

применима,

только

если

W3(X) = 0.

Если

m нечетно, то

А {х, -jd, r\j = 0 .

Поэтому достаточно до­

случая, в которых она уже была доказана

в 24.5.

1) Пусть

X — почти

комплексное многообразие с

касательным

GL (я, С)-расслоением

0 и

ц — непрерывное U (q) -расслоение

над

X. Пусть d =

Ci(&) и pi =

pj(p(0)). Тогда

равенство

1.7(12)

пока­

зывает, что

t d 0 = 6

2 d | ] ^ ( P l ,

pj)

1=0

по модулю 2 совпадает с w2(X),

то из теоремы 26.1.1 следует

тео­

рема 24.5.4: характеристика Тодда Т(Х, г|) является целым

числом.

2)

Пусть г) — непрерывное

U (q)-расслоение

над 2п-мерной

сфе­

рой

S2". Классы Понтрягина

p,(S 2 n )

равны

нулю

для і >

0

(тео­

рема

(7.2.1))

и,

следовательно,

A (S2 ", 0, г\) =

x 2 n

[ch ті] =

= (ch„r|)[S2 n ]. Таким

образом,

из теоремы 26.1.1

следует

тео­

рема

24.5.2: (ch„r|) [S2 n ] является

целым числом.

26.2. Теорема целочисленности 26.2.1 сама является

частным

случаем

нестабильной

теоремы

целочисленности,

принадлежащей

М а й е р у

[1]. Пусть

g— SO(k)-расслоение

над X

с

k =

2s

или

2s +

1- Рассмотрим

формальное

разложение

р ( | ) == П (1 +

У2).

Т е о р е м а 26.2.1 ( М а й е р

[1]). Пусть

d — элемент

из Н2(Х, Z),

редукция

которого

mod2 совпадает

с

w2(X) -f- tw2 (I),

о. ц —

непре­

рывное

GL(q, С) -рйсслоение над X.

Тогда

2 V

ch т] • Д ch { j y t

}

• 2) \ (р„

pj)

i=\

1=0

является

целым

числом.

Иногда

теорема

26.2.1 может быть улучшена на

множитель 2

( М а й е р

[1]). Вот

некоторые

следствия

теоремы

26.2.1:

1)

если

| =

0, то получается теорема

26.1.1;

2)

если

k =

m

и | — касательное

расслоение

к

X, то

полу­

чается

целочисленность L-рода

(см. 1.5 и 8.2);

также Х и р ц е б р у х

[8] и М а й е р [1]). Имеется

точная

последо­

вательность

1 —>- U (1) —> G2„—• SO (2/г) ~> 1,

и касательное

расслоение RO к

X ассоциировано

с <52 п -расслое-

нием тогда и только тогда, когда

w2(X) является редукцией

mod2

целочисленного класса d^H2(X,

Z). Доказательство теоремы 26.1.1

проходит

теперь

аналогично

доказательству теоремы

26.3.1, но

с использованием

неприводимых

представлений группы

G2n-

Ана­

логично,

R8 0

g ассоциировано

с G2n, h-расслоением

тогда

и только

тогда, когда w2(X)-{-^

является

редукцией mod2

целочисленного

нием

неприводимых

представлений группы G2n, ftИначе, теоремы

26.1.1 и 26.2.1 могут

быть получены прямым применением теоремы

26.3.1

к некоторым

расслоениям над X (см. Р о б е р т е [1]).

ставления

и теорему

Атьи — Зингера,

было дано

М а й е р ом [1]

(см. также

П а л е [1]).

Т е о р е м а

26.3.2.

Пусть

X — компактное

ориентированное

гладкое

многообразие,

такое,

что

dimX==4mod8

и w2(X) = 0.

Пусть

.1 — непрерывное

О (k) -расслоение

над

X.

Тогда

А(Х, О, і]з(|))—четное

целое

число.

26.4. Второе доказательство теоремы 26.1.1 можно найти в час­

тях I I и

I I I работы Б о р е л я

и Х и р ц е б р у х а

[1]. Они

выводят

теорему 26.1.1 из целочисленности рода

Тодда.

Доказательство

целочисленности

рода

Тодда

(по модулю

степеней

двойки)

было

дано в 14.3; оно основано на

теореме

об индексе

(8.2.2)

и,

следо­

вательно, на теории кобордизмов. Другое,

прямое

доказательство

целочисленности

рода

Тодда

было

дано

М и л н о р о м

[3]; оно

дизмов (см. библиографические замечания к

гл. I I I ) , из которого

следует, что для каждого почти комплексного многообразия

мож­

но найти алгебраическое многообразие

с теми

же числами Чженя.

По теореме

Р Р род Тодда будет тогда

целым

числом

и для

почти

комплексных

многообразий.

26.5. Более прямое доказательство теорем

целочисленности

принадлежит

А т ь е и Х и р ц е б р у х у

[1]. Как было

замечено в

25.5, для теорем целочисленности не

необходимо

использование

полной теоремы Атьи — Зингера; достаточен

метод п. 24.5.

Всякое m-мерное гладкое многообразие можно

вложить в S2 m .

Из теоремы

24.5.2 следует, что (chm £>)[S2 t f l ]

будет

целым для

всех

6 e / ( ( S 2 m ) .

Следовательно,

теорема

26.1.1

является

следствием

теоремы 24.5.2 и следующего

обобщения теоремы

24.5.3.

Т е о р е м а

26.5.1.

Пусть

X,

У— компактные

связные

ориенти­

рованные

гладкие

многообразия,

такие, что

dim У — dim X — 2N,

у. X-+Y

— вложение

и d^H2(Y,Z)—

элемент,

редукция

которого

mod2

равна

w2(X)

— j*w2(Y).

Тогда

для

всякого

а^К(Х)

най­

дется элемент \\а, такой, что

ch/,a-

І

AMY),

....

Pi(Y))

=

1=0

= /, (ch a • Д d

£

Ai (Pl

(X), . . . , P l

(X)j,

(1)

где

/„: H* (X, Q)-> H* (Y, Q) — гомоморфизм

Гизина.

Пусть

v — нормальное SO {2N)-расслоение

для X в У. Редук­

ция

mod2

для d совпадает

с w2(v),

и

(1) может

быть

записано в

виде

ch/1 a

= / . ( c h a . ( e " ^ i ^ ( p I ( v ) , . . . ,

Pl(v))j

) .

(Г)

Пусть

В

и S — расслоения

на

единичные

шары

и

единичные

сферы, ассоциированные с v; отождествим В

с трубчатой

окрест­

ностью

X

в У. Имеется отображение г: Y—*B/S,

получаемое стя­

гиванием

дополнения

к В — 5

в

У в точку,

и, следовательно,

опре­

делен гомоморфизм ru. К(В,S)—*K(Y).

Чтобы

построить

элемент

jfL^.K{Y),

удовлетворяющий

(1*),

достаточно

построить

элемент

b (= К (В, S),

такой,

что

ch * =» <р. ({е~* d

S

А(

(Pl

(v),

Pi(v))

где ф*: Я ' (X,Q)-*

Hl+2N(У,

Q) — изоморфизм

Тома

(24.3).

Суще­

ствование

такого b доказывается с помощью представлений груп­

пы Spinc (2iV), упомянутых в 26.3.

Этот же

метод,

примененный

к

кольцу

Гротендика

веществен­

теоремы 26.3.2. Теорема 26.5.1 также

может

быть обобщена:

Т е о р е м а

26.5.2

( А т ь я

и Х и р ц е б р у х

[1]): Пусть

X,

У —

компактные

связные

ориентированные

гладкие

многообразия,

та­

кие, что dim X =

dim У mod 2. Пусть

f: X-+Y

— непрерывное

ото­

бражение,

и

пусть

d^H2(X,

Z) — элемент,

редукция

которого

mod2

совпадает

с

w2(X) — f*w2{Y).

Тогда

для

всякого

элемента

а^К(Х)

найдется

элемент

f^a^K(Y),

такой, что

оо

/

J_

оо

ch /,а

• 2 At

(pi (У),

...,pi(Y))=r(cha-e2

2

At(Pl(X),

...,Pi(X))

где f„: H*(X,

Q)—>Я*(У, Q) — гомоморфизм

Гизина.