Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 80
Скачиваний: 1
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Разложим / |
в |
композицию |
вложения |
|||||||||||
X—>}"XS2N |
И проекции |
Y X S2 i V |
-*Y. |
Теорема |
справедлива |
для |
|||||||||
вложения (теорема 26.5.1) |
и для |
|
проекции |
(теорема |
24.5.1). Сле |
||||||||||
довательно, она верна для f. |
X, |
Y — связные |
|
|
|
|
|
||||||||
В |
частном |
случае, когда |
почти |
комплексные |
|||||||||||
многообразия |
и |
d = |
Ci(X) — f*ci{Y), |
теорема |
26.5.2 |
дает |
следую |
||||||||
щий гладкий |
аналог |
теоремы |
Гротендика — Римана — Роха: |
для |
|||||||||||
всякого |
элемента |
а^К(Х) |
существует |
элемент |
ftaeK(X), |
такой, |
|||||||||
что |
|
|
ch/ I a - td(F ) |
= |
/ t ( c h a - t d ( J ) ) . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В тех случаях, когда не приведены явные ссылки, излагаемый в этом при ложении материал основан либо на приложении ко второму немецкому изданию,
либо |
на следующих источниках: М и л н о р [8], Б о т т |
[6], А т ь я, Б о т т и З и н |
|||||
г е р |
[1], Х и р ц е б р у х , Б р и с к о р н , |
Л а м о т к е |
и М а й е р |
[1], |
П а л е [1], |
||
А т ь я |
[8], А т ь я и С е г а л |
[1]. Превосходный обзор |
многих работ, |
упомянутых |
|||
в этом приложении, можно найти в серии рефератов Б о т т а [7]. |
|
|
|
||||
Теорема Атьи — Зингера |
об индексе |
для случая |
действия компактных |
групп |
|||
Ли и формула неподвижных |
точек Атьи — Ботта были только |
вскользь |
упомя |
нуты в 25.6. Пока нет полного изложения этих вопросов1 ), могут быть полезны
следующие работы: А т ь я и .Б о т т |
[3] |
и доклад Б о т т а [8] на семинаре Бур- |
||
баки. Кроме того, в заметках А т ь и |
и С е г а л а |
[1] приведена явная |
конструкция |
|
для топологического индекса y(D) |
в |
случае, |
когда G — тор или |
циклическая |
группа, а также ряд замечаний относительно общего случая произвольной ком
пактной группы Ли. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В обзорной лекции Х и р ц е б р у х а |
[7] эти теоремы |
сформулированы |
для |
||||||||||
гладкого |
отображения |
/: X -> X |
в двух случаях: когда / |
имеет |
только |
простые |
|||||||
неподвижные |
точки |
(формула для неподвижных |
точек, см. 25.6) |
и когда |
f имеет |
||||||||
конечный |
порядок |
(теорема об |
индексе |
для циклической |
группы G). Основная |
||||||||
часть лекции посвящена приложениям к случаю, когда |
Vп — компактное |
ком |
|||||||||||
плексное |
многообразие, |
К — каноническое одномерное расслоение и /<•>: Я1 '(У, |
Кг)-> |
||||||||||
->- H'(V, |
Кг) —отображение, индуцированное /: V-*-V. Рассматриваемые |
теоремы |
|||||||||||
дают в этом случае явное выражение для комплексного числа |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
%(V, Кг, |
/) = 2 (-O'trace /(£) |
|
|
|
|
||||
через характеристические классы для V и неподвижные множества для /. Эта |
|||||||||||||
формула |
сводится к теореме Римана — Роха |
%(V,Kr)= |
T(V,Kn), |
если f — тожде |
|||||||||
ственное |
отображение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Намечено |
приложение, принадлежащее |
совместно |
Атье, Ботту и Хирцебруху, |
||||||||||
к дискретным группам Д, действующим |
в ограниченной однородной симметриче |
||||||||||||
ской области М и удовлетворяющим условиям |
(а) и |
(Ь) |
п. 22.2. Формула |
для |
|||||||||
%(V,Rr,f) |
применяется |
в этом |
случае |
к |
V = |
М/Т, |
где Г — подгруппа |
в Л, |
|||||
такая же, как в теореме 22.2.2. |
Это позволяет |
вычислить |
размерность Пг (М, А) |
пространства автоморфных форм веса г. Результаты согласуются с результатами,
полученными впервые Л а н г л е н д с о м [1], и сводятся к результатам |
п. 22.3, |
|
если Д действует свободно на М. |
|
|
') Такое полное изложение появилось: А т ь я и Б о т т |
[4]; см. также |
библио |
графические замечания переводчика в конце книги. — Прим, |
перев. |
|
Приложение 2
ОДНА СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ДЛЯ КОМПЛЕКСНО-АНАЛИТИЧЕСКИХ РАССЛОЕНИЙ
А.Борель
Обсуждаемая спектральная последовательность связывает д-ко- гомологии комплексно-аналитического расслоения с соответствую щими когомологиями базы и слоя. Слой расслоения предпола гается компактным и связным. В дополнение к обычным степеням, связанным со слоем и с базой, имеется еще биградуировка, зада ваемая типом дифференциальных форм. Точные формулировки приведены в 2.1, а доказательства в § 3—6. Доказательства более или менее очевидны, хотя и используются довольно громоздкие обозначения. Интересным моментом является точность последова тельности 3.7(4), которая по существу является следствием свойств гладкости для оператора Грина.
Основные приложения теоремы 2.1 касаются мультипликатив
ности |
ХгР°Да (8-0 и d-когомологий многообразий Калаби — |
Экмана |
(9.5). |
Предполагается знакомство со спектральными последователь |
ностями расслоенных пространств. В остальном мы следуем обо значениям этой книги с небольшими отклонениями, которые точно указаны. В ссылках на разделы этого приложения используется обычный шрифт, а в ссылках на другие разделы книги — жирный шрифт.
Настоящее приложение является переработанным вариантом написанной в 1953 г. статьи, на которую есть ссылка в первом из дании этой книги, но которая так и не была опубликована.
§1. Предварительные сведения
1.1.Все многообразия предполагаются хаусдорфовыми и паракомпактными; гладкость означает дифферецируемость класса С°°.
Пучки |
на |
многообразии |
М |
всегда |
суть |
Ct, (М) -модули |
(где |
||||||
Съ(М) — пучок |
ростков гладких |
комплекснозначных |
функций |
на |
|||||||||
М), и тензорные произведения |
пучков |
берутся |
над |
Съ(М). |
|
|
|||||||
1.2. |
Пусть |
М — комплексное |
многообразие, |
W — комплексное |
|||||||||
векторное |
расслоение |
над |
М и |
2В — пучок |
ростков |
гладких |
сече |
||||||
ний для W. Пусть A°Mq(W) |
— пространство гладких внешних |
диф |
|||||||||||
ференциальных |
форм |
на |
М типа |
(р, q) с |
коэффициентами |
в |
W |
||||||
(см. |
15.4), и пусть |
^Mq(W)—пучок |
ростков |
таких |
форм. |
Если |
W = 1—тривиальное расслоение Л1ХС, то мы будем |
опускать W |
||
в указанных выше обозначениях. Имеем |
|
||
Kiq |
(W) - 28 ® %li \ |
АРй q(W)^Y{%VMq(W)). |
(1) |
Пусть AM (W) |
обозначает сумму |
АРмч (W) для р + q = |
і, AM(W) — |
сумму всех AM(W), И аналогично для пучков.
Пусть U — открытое подмножество в М, над которым W можно
отождествить (и отождествлено) |
с тривиальным расслоением U X |
X С<г. Напомним, что AP)Q(W\U) |
можно канонически отождествить |
с набором d обыкновенных внешних дифференциальных форм типа
(р, q) на U. Если |
со є |
Ац 4 (W У) соответствует |
(сої,..., со^), то да> |
|||||
соответствует |
(дац,..., |
dcoi). |
|
|
|
|
||
Предположим |
далее, |
что U |
является |
координатной окрест |
||||
ностью с локальными |
координатами zu ..., |
zn. |
Для подмножества |
|||||
/ = {t'b . . . , ih) |
из { 1 , . . . , п) |
положим |
|
|
|
|||
dzj |
— dztl |
А |
••• |
A dzik, |
dz, = dztl |
Л • • • Л dzik. |
||
Тогда формы ШІ могут быть однозначно |
записаны в виде |
|||||||
|
|
ю< = 2 Л\ /, і • dzj |
A |
dzj, |
(2) |
где / (соотв. / ) пробегает подмножества, состоящие из р (соотв. q) элементов множества { 1 ,2, . . . , « } , a fit I t j — гладкая комплекснозначная функция на U.
1.3. Прямая |
сумма |
|
пространств НР'Q |
(М) |
(соотв. HP'Q(M, |
W) |
||||||||||
см. |
15.4) обозначается |
через Н^{М) (соотв. Я^(М , W)), a h p , q |
или |
|||||||||||||
hP'Q{M) |
(соотв. hP'4{W) |
или hP,Q(M, |
W)) обозначает |
размерность |
||||||||||||
НР'"{М)(соотв. |
Я р ' " (М, |
«7)). Пространство Я5 (ЛГ)) можно есте |
||||||||||||||
ственно |
рассматривать |
как |
антикоммутативную |
биградуирован- |
||||||||||||
ную |
алгебру. |
Если |
W = М У F — тривиальное |
расслоение, |
то |
|||||||||||
Hg (М, W) |
Н-Д |
(М) ® F, |
как |
следует |
сразу |
же из |
определений. |
|||||||||
1.4. Предположим теперь М компактным, |
Тогда |
пространства |
||||||||||||||
НР'Ч(М, W) конечномерны |
(15.4.2). Пусть, |
далее, |
G— группа Ли, |
|||||||||||||
непрерывно действующая на М биголоморфными |
преобразова |
|||||||||||||||
ниями, |
и |
пусть |
ф: G —•AutAf — отображение, |
определяющее |
это |
|||||||||||
действие. Тогда |
ф индуцирует |
непрерывное |
представление ф° груп |
|||||||||||||
пы |
G на НР'Ч(М). |
Если |
М |
кэлерово, |
то |
ф° постоянно на каждой |
||||||||||
связной |
компоненте |
для |
G; действительно, в |
этом |
случае |
(М) |
||||||||||
канонически отождествляется |
с |
обычной |
алгеброй |
когомологий |
||||||||||||
Н* (М, С) |
для М (см., например, |
А. В ей л ь |
[2], гл. 4); отожде |
ствление производится с помощью изоморфизма, который комму
тирует с естественным действием |
G на TIg{M) и на |
Н*(М, С); |
наше утверждение является тогда |
следствием аксиомы |
гомотопии. |
В некэлеровом случае это утверждение может быть неверно, как показывает один пример К о д а и р ы (см. также Г у г е н х а й м и С п е н с е р [1]).
1.5. |
Пусть \ = |
(Е, В, F, я ) — комплексно-аналитическое |
расслое |
||||||||
ние |
(см. 3.2), |
где Е — пространство |
расслоения, В — база, |
F — |
|||||||
слой |
и я: Е-*В |
— проекция. Мы будем предполагать, что слой F |
|||||||||
компактен и связен. По определению |
(см. 3.2) структурная |
группа |
|||||||||
G для I — это комплексная группа Ли, действующая |
на F посред |
||||||||||
ством |
голоморфного отображения |
|
G\F-*F. |
Пусть | |
опреде |
||||||
лено |
с |
помощью |
координатных |
функций |
/ а & : £/а ГШр —*G, |
где |
|||||
(иа)а<£л |
~ подходящее покрытие |
для |
В. |
Ясно, |
что |
[ J Н"'q |
{Fb) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ь&в |
|
|
можно рассматривать как пространство гладкого векторного рас
слоения |
над В, |
координатные функции |
/а р которого |
получаются |
|||||||||
композицией |
/ a g |
с |
заданным |
представлением |
(р° группы |
G а |
|||||||
G L ( # P ' q |
(F)). |
ЭТО векторное |
расслоение |
мы будем обозначать че |
|||||||||
рез Нр ' q |
(F), |
а прямую сумму 2 |
Нр ' q (F) — через |
H^(F). |
|
||||||||
Если |
ф° постоянно |
на |
связных |
компонентах |
группы |
G, в |
част |
||||||
ности если слой |
кэлеров, |
то Щ (F) |
будет голоморфным |
комплекс |
|||||||||
ным векторным |
расслоением |
над В |
(с локально |
постоянными |
ко |
||||||||
ординатными |
|
функциями). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Действительно, |
в этом |
случае |
/°р будут локально постоянными |
функциями; следовательно, их можно рассматривать как голо
морфные отображения иаГ\и$ |
в |
GL[H^(F)). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
§ |
2. Спектральная |
последовательность |
|
|
|
||||||||
2.1. Т е о р е м а . |
Пусть | = (Е, В, F, я) — |
комплексно-аналитиче |
|||||||||||||||
ское |
расслоение, |
в |
котором |
Е, В, F связны и F компактно. |
Пусть |
||||||||||||
W — комплексное |
векторное |
расслоение |
на |
В |
и |
W = ri*W — его |
|||||||||||
прообраз |
на |
Е. Предположим, |
что каждая |
связная |
компонента |
||||||||||||
структурной |
|
группы |
G |
расслоения |
% действует |
тривиально |
на |
||||||||||
#-j (F). Тогда |
существует спектральная |
|
последовательность |
( E R , |
d.) |
||||||||||||
{г ^ |
0) со следующими |
свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) Ет 4-градуированно: |
|
по степени |
слоя, |
степени |
базы |
и |
по |
||||||||||
типу. Пусть |
|
р' 4Ер 1 — подпространство |
элементов |
из Ег |
типа (р, q) |
||||||||||||
степени |
слоя |
s и степени |
базы t. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
QESr |
' = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
если |
р -f- q ф |
s + t или если |
один |
из индексов |
р, q, s, |
t < 0. Диф |
|||||||||||
ференциал |
dr |
отображает P'QESR'T |
в |
Р-1+1Е$Г+Г-*-Г+\ |
|
|
|
|
|||||||||
2) |
Если |
р + q = |
s + t, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
QES2 |
F |
S |
Н1' s~l (В, W «> Нр ~' q~s+i |
(F)). |
|
|
|
|
3) |
Спектральная |
|
последовательность |
сходится |
к |
H^(E,V^). |
|||||
Для |
всех р, q ^ |
0 |
имеем |
|
|
2 |
Р,<7£~' |
|
|
|||
|
|
|
|
GvHp'4(E,W) |
= |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s+t=p+q |
|
|
|
|
для |
некоторой фильтрации |
группы |
НР'Ч(Е, |
W). |
|
|
||||||
4) |
Если W — |
1, то (Er, dT) |
являются |
дифференциальными |
ан |
|||||||
тикоммутативными |
алгебрами, |
и изоморфизм |
3) сохраняет |
умно |
||||||||
жения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
2.2. |
З а м е ч а н и я . |
1) |
В наших |
предположениях |
о G расслое |
||||||
ние |
(F) голоморфно, поэтому свойство 2) имеет смысл. Это |
|||||||||||
свойство автоматически выполнено, если F кэлерово. |
|
|
||||||||||
|
2) |
Свойство |
2.1,2) |
показывает, |
что |
в Е2 есть 4-градуировка, |
||||||
более |
тонкая, чем указанная |
в 2.1,1), а именно 4-градуировка, за |
||||||||||
даваемая типом дифференциальных форм на В и на F. Доказа |
||||||||||||
тельство показывает, что эта 4-градуировка |
имеется |
и в Е0 |
и Ех. |
Так как р ' qEsr'1 — 0, за исключением случая р -4- q — s + t, то индекс t на самом деле лишний и было бы более правильно го ворить, что спектральная последовательность 3-градуирована с по мощью типа (р, q) и s, где s ассоциировано с фильтрацией, свя занной со спектральной последовательностью. Общая степень бу дет р + q. Мы добавили степень t, чтобы сохранить большую аналогию с обычной спектральной последовательностью расслоен ных пространств. Однако мы опустим t в § 4—6.
§ 3. Вспомогательные цучки
и точные последовательности
3.1. По § 6 включительно g, W, |
№, G будут |
такими |
же, как и |
в 2.1; 2В — пучок ростков гладких |
сечений для |
W; Сь |
обозначает |
Ct(fi) . Заметим, что до 6.1 нам не нужно будет никаких предпо ложений о действии G на Hg(F).
Пусть °Ы — (£/a)a<=<* ~* локально конечное открытое покрытие пространства В координатными окрестностями, над которыми W и I тривиальны. Пусть
Фа: W\v -> Ua X С т |
(а є |
si) |
|
||
|
а |
|
|
||
— допустимые тривиализации |
и |
(а <= £ф) |
|
||
|
|
|
|||
Фар" |
t / a n ^ p - > G L ( m , С) |
(а, |
р є |
sf) |
|
и |
|
|
(а, |
р є |
бФ) |
|
|
|
|||
!—соответствующие |
функции |
перехода. |
|
|
|