Файл: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 202

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Для всякого 2 < = с / а Г Ш в

отображение

гра Р (г)

индуцирует авто­

морфизм AF, который иногда

обозначается

через

-ф^ (г).

Через (zf, z£) обозначается множество локальных коорди­ нат на Ua, а через тіа р — замена локальных координат в UaC\U^ (а, р

3.2.

Пусть

I

ф — комплексное

касательное векторное

расслоение

вдоль

слоев

(см.

Б о р е л ь

и Х и р ц е б р у х

[1], §

7.4).

Пусть

фа >ъ — расслоение

на

формы типа

(а, Ь), ассоциированное

с ф.

Та­

ким образом,

 

ф 0

, 6

=

(Лаф) Л Яь ф, где

ф — сопряженное

расслоение

к ф. Пусть &г °"ь —пространство гладких сечений для фа 'ь .

Для вся­

кого Z G = 5 ограничение xz

элемента х е = ^ " а , 6 н а

слой

Fz

— n~l

(z)

является формой на Fz типа (а,Ь).

Таким

образом, х

можно

рас­

сматривать как

семейство

форм типа

(а, Ь) на

слоях,

параметри­

зованное пространством В

и гладкое в очевидном смысле;

х

бу­

дет называться

послойной

формой

типа

(а,Ь)

(на В).

Имеется

Сь-линейное отображение

dF: 9~а'

 

>• £Г0 , ь + \

характеризующее­

ся тем, что rz(dFx)

 

=

d(rzx)

(по поводу всего этого см.

К о д а и р а

и С п е н с е р

[5], I , §

2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть % а ' ь

— пучок ростков послойных форм типа (а, Ь). Имеем

ГЬ ) = @~а'Ьу и &F является отображением сечений, индуциро­

ванным гомоморфизмом Сь-модулей

й в

g a ,

6

+ I

, который

так­

же будем обозначать

через dF.

Пусть

3 ° ' 6

с: § а

' 6

— его ядро. По

определению

последовательность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0->За-Ь-^%а'Ь^>дР(%а'Ь)-0,

 

 

 

 

 

 

 

(1)

где і— вложение, точна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3. Более общим образом мы будем рассматривать

послойные

їР'-формьі типа

(а,Ь).

Их можно

определить

как

 

гладкие сечения

в # ® Ф а - 6

(см.

К о д а и р а

и

С п е н с е р

[5],

I , § 2); здесь W

может быть любым комплексным векторным расслоением на

Е.

Если х — такая форма, что rz(x)

будет

формой

 

типа

(а, Ь)

на

Fz

с коэффициентами

в

тривиальном расслоении

Vz

X Fг, где

Vz

—

слой над z в W. Ясно, что можно отождествить эти формы с сече­

ниями пучка 2В ®

За -ь .

 

 

 

 

 

 

 

3.4. Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A f « . 6 . e . " = = r ( 2 B ( 8 ) g « . » ( g ) 5 i g . d )

( й ( b> c,d^Z;

а,

Ь,

с, d > 0 ) .

Элементы

этой

группы можно

рассматривать

как

«формы

типа

(с, d) на В

с коэффициентами

в послойных

^'-формах

типа

(a,b)».

В обозначениях

п. 3.1 элемент

h ^ M a , b ' c , d

задается

своими

огра­

ничениями

ha

на

открытые подмножества

Ua

и па

— это

набор

9 Ф. Хирцебрух

дифференциальных яг-форм ha, t, которые могут быть записаны в виде

 

я„,< = 2 Д

t t

hldz*Adz«,

 

где / и /

пробегают

соответственно

подмножества,

состоящие из

с и d элементов множества { 1 , 2

, . . . , п}, и где я а ,

е $Fa'ь {Ua) —

послойная форма типа (а,Ь) на

Ua.

 

 

Таким

образом, ha

отождествлена

с 1^-дифференциальной фор­

мой типа

(а + с, Ь +

d)

на я - 1 ( £ / а ) . Конечно, это отождествление

зависит существенно

от локальных тривиализаций, и саму форму

h нельзя

рассматривать

как дифференциальную форму. Точнее, я а

и Ар связаны преобразованиями, определенными с помощью cp^g,

^аР и

ЛарОднако

если мы хотим описать

дифференциальную

форму

па на U$[)Ua

с помощью локальных

координат (zf) и ло­

кальных тривиализаций над (Ур, то мы должны учесть производ­

ные tya[} по 2. Поэтому в новых координатах ha

будет

равно сумме

«3 и дифференциальных форм, степень базы

которых

>c-\-d.

3.5.Хотя это и не понадобится в дальнейшем, заметим, не входя

вподробности, что если разрешить векторным расслоениям иметь бесконечномерные слои, то мы могли бы рассматривать также эле­

менты из Ма'ь'"'

d

как формы на В типа

(с, d)

с

коэффициентами

в векторном расслоении.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно,

Ар'ь является

естественным

образом

простран­

ствами

Фреше

(см. С е р р

[3]), и

всякий

автоморфизм

многообра­

зия F

индуцирует

гомеоморфизм

Ар'ь.

Таким образом,

функции

"Фа, р: Uа П U§

Aut Ар ь

позволяют

определить

над

В

ассоции­

рованное расслоение ца'ь

со слоем А%'ь.

Далее,

эти

функции

яв­

ляются

гладкими

в том

смысле,

что

если

р:

Ua f]

 

-> Ар'ь

—

гладкое отображение, то tpa ,ь°р также будет гладким. Таким об­

разом,

имеет смысл

говорить о гладких сечениях расслоения

ца - *.

Можно

проверить,

что элементы

из Ма'

ь' °'d

являются в

точности

формами на В

типа

(с, d)

с коэффициентами в W ®

\ла-ъ.

 

 

3.6. Пучок

Ш<&%%а

локально

свободен

над Сь следовательно,

последовательность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0->Ш eg) 3°' Ь ® Ъ

%

®

" ® %У d->Ж

® др ІХ'")

®

5tB'd ->0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

полученная из

3.2(1) тензорным

умножением

на S B ® 5 l g d ,

также

точна. Более того,

так

как пучок

Щій

тонкий

(см. 3.5),

то

после-

довательность

О -> Г (2В ® 3°'Ъ ® Щ D) -> Г (SB ® %А-Ъ ® Щ *) ->

- > r ( 2 B ® ^ ( g a ' 6 ) ® ^ ' d ) - > 0 , (3)

полученная из (2), точна (см. 2.10.1, 2.11.1).

3.7. Пусть а — отображение, сопоставляющее всякой д-замкну- той форме на Е ее класс d-когомологий. Это отображение инду­ цирует Сь-гомоморфизм, также обозначаемый через а, пучка 3 ° ' Ь

в пучок $a'b(F)

ростков гладких сечений

расслоения

Ha,h(F),

определенного в

1.5. Мы утверждаем, что

последовательность

 

0-^др ( s a ' 6 - , ) _ ' * 3 e ' 6 - £ > $ e - * ( F ) - * o

( a > 0 , b >

1)

(4)

точна.

 

 

 

 

То, что a ° 1=0, ясно. Далее, так как Ha'b(F)

конечномерно,

то

легко видеть, что a эпиморфно. Остается доказать, что im і ZD ker о.

Это сводится к следующему

утверждению.

 

 

 

 

 

Пусть

z є

В

и U — открытая

окрестность

точки z

в В, со — по­

слойная форма

типа (а, 6)

над U, т. е. отображение,

сопоставляю­

щее х є У форму ©(х) типа

(а,Ь)

на F, гладко зависящую

от х.

Предположим, что для каждого х существует

форма

vx

на F типа

(а, Ь— 1), такая,

что ю(%) =

6Yc. Тогда найдутся окрестность V

точки z и послойная форма

т

на

V типа

 

(a,b — 1),

такие, что

(о(х) = дх(х)

для

всех х є У . Другими словами, можно

выбрать

vx гладко

зависящим от х. Но это утверждение содержится

в „тео­

ремах 7, 8 работы

К о д а и р ы

и С п е н с е р а [7].

 

 

 

 

3.8. Точно так же, как точность последовательности

(3)

была

выведена

из

точности последовательности

(1), выводится

из 3.7

точность

последовательности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 - > Г (SB ® др

{Ъа'

® %%d)

 

Г (SB ® 3 а - ь

® Я§ 'О ^ >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- > Г ( 2 В ® $ в , ь ( Р ) ® Я § < ' ) - * 0 .

(5)

С другой стороны,

существует естественный

изоморфизм

 

 

 

 

 

2В® !Qa'b{F)

 

= <S{W ® Н а ' 6 ( F ) ) ,

 

 

 

(6)

где ©(И? ® H a , 6 ( F ) ) —пучок

ростков

гладких

сечений пучка

I F ®

® Н ° ' ъ (F). Следовательно

мы имеем

 

 

 

 

 

 

 

Г (SB ®

6 (F) ® Ъ%d) = ^

d {W ® H a

6 (F))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е Г ( б ( и 7 ®

H e ' * ( f ) ) ® « B d ) .

(7)

в»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 4. Фильтрация. Доказательство свойств 2.1,1), 3), 4)

 

 

4.1.

Назовем

открытое

подмножество

U cz Е

малым,

если

|

и

W тривиальны над я(U)

и если допустимые тривиализации £

над

n(U)

переводят

U в произведение координатных

окрестностей

для

В и F. Для всякого малого открытого множества

U и

положитель­

ного целого числа k обозначим через Lh(U)

подмножество

элемен­

тов

из

Au(W\u),

которые

в локальных

координатах

(z^)

на

В

и

(у і)

на

F выражаются

в виде

сумм

одночленов

dzj

AdSj

Adyt>

 

Л

Л dyy, таких, что | / | +

| / | ^ ^ ,

где

\А\ — мощность

конечного мно­

жества А. Ясно, что Lh(U)

инвариантно

относительно

замены

ко­

ординат

(хотя

множество

элементов,

для которых

| / | +

| / | =

&,

не инвариантно; поэтому фильтрация, определенная ниже, не по­ лучается из градуировки). Пусть

L j

= {ffls

АЕ (W); ш [ [ , є І { (U)

для всякого

 

 

 

 

малого

открытого U

из Е).

(1)

Конечно, достаточно проверить это условие для U, пробегающих

некоторое открытое покрытие многообразия Е. Имеем

 

 

L Q = AE{W),

L k = 0

( & > d i m R B ) ; Lk=>Lk+l,

dLkczLk

(& > 0 ) ,

(2)

что показывает, что L h определяют убывающую ограниченную фильтрацию дифференциального С-модуля (ЛЕ ($'),<3) подмоду­ лями, инвариантными относительно д. Соответствующая спект­ ральная последовательность и есть спектральная последователь­

ность (Er,dr) теоремы

2.1. Ясно,

что

 

L k ^ p '

4 L k , p-qLk

=

Lk(\AE-q{W),

Р,

<7

 

 

что означает, что фильтрация согласована с биградуировкой, за­ даваемой типом форм, и, следовательно, согласована с общей сте­ пенью. Кроме того, д является однородным гомоморфизмом сте­

пени

1 по q и степени 0

по

р. Следовательно, эта

биградуировка

присутствует в спектральной

последовательности. Обозначим через

Р,ЧЕ1^

ИЛИ через

p,qEsr

(см. 2.2(2))

подпространство элементов

из Ет

типа (р, q),

общей

степени s - j - t

и степени s

в градуировке,

определяемой фильтрацией. Как обычно, s и t называются соот­

ветственно

степенью

на

базе и степенью по слою. Конечно,

P. 4Es. tв 0 j

е с л и p

+ q ¥ z

s +

t

Утверждения

2.1,1), 3)

следуют из стандартных общих фактов

о сходящихся

спектральных последовательностях, возникающих

из фильтрованных градуированных дифференциальных модулей.

Если W = 1—тривиальное расслоение со

слоем С, то A^(W)

бу­

дет антиком'мут'атйВНОи Дифференциальной

алгеброй; снова По

66-

Смотрите также файлы