Файл: Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие.pdf

Медиана служит вспомогательной характеристикой вариацион­ ного ряда; ее значение выясняется при оценке эмпирических рас­ пределений по нормальному закону (см. ниже).

Мода

Модой называется наиболее часто встречающаяся величина. В непрерывных вариационных рядах мода находится обыкновен­ но в том классе, который имеет наибольшее число вариант. Этот класс с наибольшей частотой называется модальным классом. Например, в распределении количества кальция в сыворотке кро­ ви павианов-гамадрилов модальным является пятый класс с час­ тотой 25; срединное значение этого класса равно 11,7 мг%.

Вариационные ряды могут содержать два и большее число модальных классов. Обычно мода, как и медиана, является вели­ чиной, довольно близкой к средней арифметической и совпадает с ней при полной симметрии распределения. Поэтому для прак­ тически симметричных или слабо скошенных распределений мо­ да определяется приблизительно по следующим формулам К. Пирсона:

Мо = Зх — 2Me, или Мо = х — 3(х — Me) .

Так, для распределения количества кальция в сыворотке крови павианов-гамадрилов мода определяется по этим формулам сле­ дующим образом:

где xk—■нижняя граница модального класса, т. е. класса с наи­ большей частотой; р\ — частота класса, предшествующего мо-

1 Описание указанных показателей см. ниже.

62

ГЛАВА ПЯТАЯ

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

ЛИМИТЫ И РАЗМАХ ВАРИАЦИИ

Средняя арифметическая — важнейшая статистическая ха­ рактеристика. Но она ничего не говорит о величине варьирования характеризуемого признака. Не содержат такой информации и другие средние показатели, о которых сообщалось в предыдущей главе. Между тем без учета степени варьирования нельзя соста­

симальная варианты совокупности. Лимиты показывают факти­ ческие границы варьирования признака, что имеет определенное значение, например, в метеорологии, где лимиты показывают ми­ нимальную и максимальную температуру, а также в микробио­ логии для характеристики размеров микроорганизмов, в селекции и во многих других областях знания. Значение лимитов в их кон­ кретности. Поэтому в сводных биометрических таблицах, наряду с другими статистическими показателями, приводятся обыкновен­ но и лимиты, обозначаемые символом Пт.

Размеры варьирования признаков оцениваются также по раз­ ности лимитов, т. е. разности между максимальной и минималь­ ной вариантами совокупности. Этот показатель называется р а з ­ м а х о м вариации. Например, если лимиты одной выборки рав­ ны: min =4 и тах= 16, а другой, т іп = 3 и тах= 19, то размах вариации в первом случае равен: 16—4=12, а во втором— 19— —3=16, откуда следует, что вариабильность первого признака меньше, чем второго.

Описываемые показатели вариации конкретны и просты — в этом их положительное значение. Но, в силу присущих им недо­ статков, они не применяются в качестве основного мерила вари­ ации, во-первых, потому что способны сильно менять свое значе­ ние, а во-вторых, в силу их неспособности характеризовать существенные черты варьирования. Иллюстрацией к сказанному могут служить следующие ряды ранжированных значений двух переменных величин х и у.

Средние арифметические этих рядов одинаковы, одинаковыми являются и лимиты, а следовательно, и размах вариации. А ха­

64

Среднее квадратическое отклонение, называемое также основ­ ным, или стандартным, отклонением (от англ, standard deviati­ on),— величина именованная и выражается в тех же единицах измерения, что и признак. Чем сильнее варьирует признак, тем больше и величина среднего квадратического отклонения, и на­ оборот, при слабом варьировании признака среднее квадратиче­ ское отклонение будет меньше. Так, для приведенного выше ряда ранжированных значений переменной величины X среднее квад­ ратическое отклонение оказывается равным 13,7; это видно из следующего расчета:

Тогда как для второго ряда {у) этот показатель (сигма) выража­ ется следующей величиной:

Из этого примера видно, что среднее квадратическое отклонение характеризует не только размах, но и специфику варьирования признаков.

При большом числе наблюдений разница между п и п—1 су­ щественно не сказывается на величине показателей вариации. Поэтому в приведенных формулах 35 и 36 вместо п—1 можно брать п. Если же объем совокупности невелик (д<30), этого де­ лать не надо, так как замена п—1 на п становится ощутимой и заметно сказывается на величине показателей вариации, которые окажутся несколько смещенными относительно их значения в генеральной совокупности (см. ниже).

Средняя арифметическая и среднее квадратическое отклоне­ ние дают полную количественную характеристику любой эмпи­ рической совокупности, распределяемой по нормальному закону. Средняя арифметическая отображает действие на признак основ­ ных причин, определяющих типичный для популяции уровень его развития, тогда как среднее квадратическое отклонение характе­ ризует варьирование значений этого признака вокруг центра рас­ пределения, т. е. средней арифметической, является мерой степе­ ни влияния на признак различных второстепенных причин, вызы­

66

вающих его варьирование. Таким образом, эти показатели хотя и отображают разные стороны варьирующих признаков, тесно связаны между собой.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВАРИАЦИИ

Показатели вариации — дисперсия и среднее квадратическое отклонение — играют большую роль в статистическом анализе биометрических данных. Поэтому важно указать на их основные свойства, которые могут быть использованы при решении ряда вопросов чисто прикладного значения.

1.Если каждую варианту совокупности увеличить на одну и

отклонение от этого не изменятся. Это свойство можно иллюст­ рировать на простом примере. Возьмем следующие семь вариант:

Из этого следует, что средний квадрат отклонений можно вы­ числять не только по значениям признака, но и на их отклонени­ ях от какой-нибудь постоянной величины.

2. При умножении каждой варианты на одно и то же число К средняя (ж) увеличится в то же число раз, тогда как квадраты отклонений увеличатся в К2 раз, а следовательно, и дисперсия увеличится в К2 раз, среднее квадратическое отклонение, как и средняя (х), увеличится только в К раз. Иллюстрируем это пра­ вило на том же примере, увеличив каждую варианту в два раза:

И 0 = У 5 /7 1 = 2 , 3 9

Из этого правила следует, что при наличии многозначных ва­ риант их можно сократить на общий множитель К и по резуль­ татам вычислить дисперсию, а затем уменьшить ее на квадрат общего множителя (К2) для того, чтобы получилась искомая ве­ личина дисперсии.