Файл: Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие.pdf

вычислить по общей формуле 35. В таких случаях сначала нахо­ дят отклонения каждой варианты от средней арифметической, т. е. значения хі—х = аи х2—х = а2, х3—х — а3 и т. д., а затем каж­ дое отклонение возводится в квадрат, и если варианты повторя­ ются, то квадраты отклонений от средней умножаются на их час­ тоты и результаты суммируются. Полученная величина 2р(хг—

—х ) 2 относится к общему числу наблюдений, которое берется числом степеней свободы (п—1), и из частного извлекается квад­ ратный корень.

Для примера возьмем небольшую группу наблюдений и рас­ считаем указанным способом среднее квадратическое отклоне­ ние. У девяти лиц одного пола и возраста определялось содержа­ ние гемоглобина в крови. Анализы (по Сали) дали следующие результаты: 74 70 77 72 79 88 76 80 86. Средняя арифметическая * = (74 + 70+ 77+ 72 + 79 + 88 + 76 + 80 + 86) : 9= 702 : 9 = 78. Нахо­ дим отклонения вариант от средней арифметической:

= 64, —І2=1 и т. д. Суммируя квадраты отклонений, получаем Е(хі—х )2 = 290. Подставляя нужные значения в формулу 35, оп­ ределяем величину среднего квадратического отклонения:

Поскольку 2 ( хі—х ) 2 выражается различными тождествами, формулу среднего квадратического отклонения можно модифи­ цировать. В частности, среднее квадратическое отклонение опре­ деляется по следующим аналогичным формулам:

Применим эти формулы к только что рассмотренному при­ меру:

72

При вычислении паказателей вариации на многозначных числах последние можно преобразовать в простые, что значитель­ но облегчит работу. Это достигается уменьшением каждой вари­ анты на какую-то постоянную величину или делением значений признака на одно и то же положительное число. Основанием слу­ жат теоремы о средней и дисперсии, которые рассматривались выше: величина дисперсии и среднего квадратического отклоне­ ния от этого не изменится. Так, варианты рассматриваемой сово­ купности можно уменьшить на 70, получится следующий ряд значений: 4 0 7 2 9 18 6 10 16. Находим: 2х = 72, 2х2= 16+ 49 + + 4+ ... +236 = 866. Подставляя эти значения в формулу, имеем;

Получился тот же результат, что и выше, а вычисления ока­ зались проще.

В тех случаях, когда среднее квадратическое отклонение вы­ числяется на совокупности, сгруппированной в интервальный ва­ риационный ряд, отклонения а — (Хі—х) берутся как отклонения классовых вариант от средней арифметической. Покажем приме­

няя этого распределения ж = 11,9 мг°]о. Расчет нужных значений для подстановки в формулу среднего квадратического отклоне-« ния показан в табл. 18.

Подставля найденные значения в формулу, получаем:

73

Способ условной средней

Среднее квадратическое отклонение можно вычислить упро­ щенным способом, приняв условно вместо средней (х) одну из вариант, для которой х—Л =0. При этом способе отклонения ва­ риант (или классов) берутся не от истинной средней х, а от ус­ ловной А. Формула среднего квадратического отклонения при этом способе расчета приобретает следующий вид:

где а ~ х —А '.

Покажем применение этой формулы на примере распределе­ ния кальция (мг%) в сыворотке крови павианов-гамадрилов (табл.19).

Подставляем найденные значения в формулу 43:

отнести к величине классового интервала, т. е. вместо а = (х{—А) взять а = (Xj—А)/і, то расчеты значительно упрощаются. В таких случаях отклонения классовых вариант (или классов) от услов­ ной средней А, где отклонение а= 0, принимают значения чисел

1 Конструкция данной формулы станет понятной, если вспомнить, что цент­ ральный момент второго порядка связан с условным моментом того же поряд-

74

натурального ряда, т. е. обозначаются как 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. При этом отклонения классов или вариант от условной средней в сто­

Среднее квадратическое отклонение в таких случаях должно ум­ ножаться на величину классового интервала, формула 43 приоб­ ретает следующий вид:

Сравнивая этот способ с предыдущим, нельзя не видеть преиму­ щества последнего, позволящего просто и быстро рассчитывать среднее квадратическое отклонение.

75

На выборках небольшого объема, особенно когда они не сгруппированы в вариационный ряд, среднее квадратическое от­ клонение вычисляется тем же способом по следующей формуле:

Здесь а — отклонение варианты от условной средней, в качестве которой может быть взята любая варианта; п — общее число ва­ риант, на которых вычисляется среднее квадратическое отклоне­ ние.

Покажем применение этой формулы на примере содержания гемоглобина в крови у девяти одновозрастных лиц, который рас­ сматривался выше.

76