ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 271
Скачиваний: 1
3. Дисперсия равна разности между средним квадратом зна чений признака и квадратом их средней арифметической, т. е.
Иллюстрируем это правило на том же примере:
х: |
2 |
4 |
3 |
5 |
4 |
6 |
4; |
X = 4,0 и дг2 |
*2; |
4 |
16 |
9 |
25 |
16 |
36 |
16; |
2 x 2 = 1 2 2 , |
отсюда
122 о2 = • 16,0 == 1,43.
7
4. Если некоторая статистическая совокупность разделена на отдельные группы, то общая дисперсия (ау2) равна межгруппо вой дисперсии (аж2), представляющей средний квадрат отклоне ний групповых средних (х*) от общей средней (х) данной сово купности, причем эти средние взвешиваются по численности групп (гіі), плюс средняя из внутригрупповых дисперсий (о22), т. е.
Oy = G x -\-‘oz. |
(38) |
Это правило носит название правила сложения (разложения) дисперсии. Продемонстрируем его на следующем примере. На четырех разновозрастных группах людей одного и того же пола измерялась скорость кровотока в одну секунду. Результаты ока зались следующие (табл. 15):
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 15 |
|
|
Варианты опыта |
(пробы) |
|
Средняя |
|
|
Возрастные группы |
|
|
|
Сумма |
7? |
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
<*і> |
1 |
||
|
|
|
||||
П ер в ая .................... . . |
7 |
10 |
12 |
29 |
9,67 |
93,51 |
Вторая ........................ |
9 |
7 |
14 |
30 |
10,00 |
100,00 |
Т р е т ь я ......................... |
11 |
16 |
20 |
47 |
15,67 |
245,55 |
Четвертая.................... |
15 |
18 |
17 |
50 |
16,67 |
277,89 |
Сумма .......................... |
42 |
51 |
63 |
156 |
— |
716,95 |
Видно, что эти данные варьируют как внутри групп, так и между группами. Неодинаковыми оказываются и групповые сред-
156 ние (хі) . Средняя арифметическая всего комплекса х = —- =
2 |
2х2 |
= 13,0 сек. Находим общую дисперсию: оу = |
------- х2 = |
|
п |
68
= |
1 |
102+ |
122 + |
92 + |
. . . + 172) - |
(13,0)2 = |
2234 |
169 |
|||
— (72 + |
— - |
||||||||||
= |
186,15— 169 — 17,15 сек. |
Затем рассчитываем |
межгрупповую |
||||||||
дисперсию: о* = |
— 2 (*t - х |
)2 = |
— [9,67-13,0) 2+ |
(10,0-13,0) 2+, |
|||||||
|
|
|
Пі |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
+ (15,67 - |
13,0)2+ |
(16,67 - 13,0) 2] = |
-L (11,09 + |
9,00 + |
7,13 + |
|||||
+ |
13,47) = |
40,69 |
|
10,17 сек. Далее находим частные, или груп |
|||||||
— — = |
|||||||||||
повые, дисперсии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
012= - ^ 1 |
— *2 = [^-(72 + |
Ю2+ |
122) ] — [9,67]2 = |
|
||||||
|
|
|
= |
293 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—-----93,51 - 4,16 сек\ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г 1 |
(92 + |
?2+ |
1 |
|
|
326 |
|
|
|
|
°1 = [ Y |
142)J - ю |
2 = — ------100 = |
|
|||||||
|
|
|
= 108,67— 100 = |
8,67 сек; |
|
|
|||||
|
|
аз = |
[ у ( И 2+ |
162 + |
202) ] |
- (15,67)2 = |
|
||||
= 259,00 - 245,55 = 13,45 сек.
04 = [^-(152+ 182+ 172) ] - (16,67)2 =
= 279,33 — 277,89 = 1,44 сек.
Отсюда определяем среднюю арифметическую из групповых
дисперсий: |
|
|
—2 |
-^(4,16+ 8,67+.13,45+ 1,44) = |
27,72 |
Gz = |
= 6,93 сек. |
|
|
|
4 |
В итоге получилось:
ст* + ^ = Ю,17 + 6,93 = 17,10 сек.
Погрешность, равную 17,15—17,10 = 0,05 сек, следует отнести на ■счет приближенных вычислений; она так мала, что ею вполне можно пренебречь.
Правило сложения дисперсий можно выразить и в виде сле дующей рабочей формулы:
2 |
-- |
2 (л, — 1) of |
Ип.і(хі — х )2 |
(39) |
0S |
п — V |
п — 1 |
||
|
|
|
69
Здесь 2 — знак суммирования; щ — численность |
или |
«вес» |
от |
дельных групп; V — число групп, входящих в состав |
данной |
со |
|
вокупности; п = І1пі — общее число наблюдений; |
хі — частные |
||
или групповые средние арифметические; х — общая средняя объ единенных групп; o f — частные, или групповые,-дисперсии.
Эта формула показывает, что объединенный средний квадрат (а*2) суммарной совокупности равен средней из групповых дис персий плюс дисперсия групповых средних. Применим эту фор мулу к анализу следующих данных (табл. 16).
Т а б л и ц а 16
|
|
|
|
|
|
Беременность |
|
|
|
|
|
Вариации |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Сумма |
|
|
|
|
|
||||||||
Число |
наблюдений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( « » ) ........................ |
.1 . |
17 |
20 |
16 |
17 |
14 |
9 |
5 |
5 |
103 |
|
Срок |
беременности |
170 |
171 |
172 |
173 |
175 |
172 |
177 |
174 |
_ |
|
В ДНЯХ |
(Хі) . . . . |
||||||||||
Дисперсия of |
, . |
63,3 |
26,1 |
19,7 |
27,9 |
14,7 |
18,0 |
14,0 |
55,5 |
— |
|
В табл. 16 паказано варьирование продолжительности беремен ности у павианов-гамадрилов в зависимости от числа родов. Общая средняя продолжительности плодоношения, вычисленная по этим данным, х = 172,39 дня. Рассчитаем величину общей дис персии и среднее квадратическое отклонение по срокам плодоно шения у павианов-гамадрилов. Расчет необходимых значений показан в табл. 17, Подставляя эти значения в формулу 39, нахо дим:
2 |
2863,7 |
360,4 |
1 = 30>144 + 3>533 = 33.68 дня или |
Gs= 103 — 8 |
юз — |
||
Os = У33,68 = 5,80 дней
В аналогичном значении формул 38 и 39 нетрудно убедиться, если рассчитать объединенный средний квадрат для этих данных по формуле 38. Так, средний квадрат из отклонений групповых средних от общей средней с учетом «весов» отдельных групп (Пі), т. е. межгрупповая дисперсия:
2 Ъщ {хі — х )2
° х = |
2 ^ |
= |
17X5,71 + 20X1,93 + 16X0,15 + 17X0,37 + ,. + 5X2,59301*
103
364,4 _
3,538.
103
70
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 17 |
Беремен |
Число |
|
а? |
|
|
|
|
наблюде |
*і |
(п .- 1)хо2[ |
ѵх . - х |
(х.—хУ |
|||
ность |
ний (п^) |
1 |
|||||
1 |
17 |
170 |
63,3 |
1012,8 |
2,39 |
5,71 |
97,1 |
2 |
20 |
171 |
26,1 |
495,9 |
1,39 |
1,93 |
38,6 |
3 |
16 |
172 |
19,7 |
295,5 |
0,39 |
0,15 |
2,4 |
4 |
17 |
173 |
27,9 |
446,4 |
0,61 |
0,37 |
6,3 |
5 |
14 |
175 |
14,7 |
191,1 |
2,61 |
6,81 |
95,3 |
6 |
9 |
172 |
18,0 |
144,0 |
0,39 |
0,15 |
1,4 |
7 |
5 |
177 |
14,0 |
56,0 |
4,61 |
21,25 |
106,3 |
8 |
5 |
174 |
55,5 |
222,0 |
1,61 |
2,59 |
13,0 |
Сумма |
103 |
— |
— |
2863,7 |
— |
— |
360,4 |
Взвешенная средняя из групповых дисперсий:
—2 2 (ttiGi ) ^ Gz==Z Srti ~
= 17 X 63,3 -f- 20 X 26, Г + ... + 5 X 55,5_ 3102,9 =
103 |
103 |
’ |
’ |
откуда общая дисперсия комплекса —
Оу = 3,538 + 30,125 = 33,66 дня или о = У33,63 = 5,80 дней.
Аналогичные, но несколько заниженные результаты получа ются при вычислении дисперсии суммарной совокупности по сле дующей приближенной формуле:
Os2 2 (пі — l)Oj + Ипі(хі — х)2 |
(40) |
ііПі — 1 |
|
Еще более низкие результаты дает формула, нередко встречаю щаяся в биометрических руководствах:
2 2 («г— \)Оі |
(41) |
Os — —-------------- |
П — V
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ
Способ произведений
Для небольшого числа наблюдений, не сгруппированных в вариационный ряд, среднее квадратическое отклонение можно
71
