Файл: Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие.pdf

условились). Во второй колонке той же таблицы отбираем чис­ ла 47 и 41 (других отвечающих нашим требованиям в ней нет) и

РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТЬ ВЫБОРОЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Характеристики генеральной совокупности — средняя вели­ чина (М), дисперсия (а2) и среднее квадратическое отклонение (о ) — представляют собой величины постоянные (параметры). По отношению к ним соответствующие выборочные характерис­ тики— X, о2 и а 1, которые служат оценками генеральных пара­ метров, являются величинами случайными: они могут совпадать и не совпадать с величиной генеральных параметров. Отсюда возникает вопрос о репрезентативности выборочных показате­ лей.

Возможные отклонения выборочных показателей от их пара­ метров в генеральной совокупности, которая обычно мыслится

учета единиц совокупности и не вследствие вычислительной ра­ боты, а исключительно в силу недостаточной точности, с какой выборка репрезентирует генеральную совокупность. Но, как и ошибки, допускаемые при измерении биологических объектов, выборочные ошибки, или ошибки репрезентативности, могут быть и случайными и систематическими. Первые возникают независи­ мо от воли естествоиспытателя, вторые являются следствием несоблюдения условий репрезентативности при образовании вы­ борочной совокупности или какой-нибудь другой определенной причины. Систематические ошибки устраняются с устранением вызывающих их причин, главным образом при соблюдении прин­ ципа рендомизации. Случайные же ошибки репрезентативности остаются и должны учитываться при оценке генеральных пара­ метров по данным выборочного наблюдения. При сплошном (т. е. невыборочном) изучении генеральной совокупности ошиб­ ки репрезентативности не имеют места.

Размеры выборочных ошибок зависят главным образом от объема выборки и от размаха варьирования признака; на них сказываются также и способы отбора вариант из генеральной совокупности.1

1 В ряде руководств через а2 обозначается дисперсия генеральной сово­ купности в отличие от дисперсии выборки, которую обозначают символом S 2. Чтобы не умножать число символов, в данном руководстве и генеральная и выборочная дисперсия обозначается одним и тем же символом а2.

86

Ошибка средней арифметической

Представим, что из одной и той же совокупности, распреде­ ляемой по нормальному закону, отобрано повторным случайным способом (т. е. по принципу «возвращаемых в урну шаров») какое-то количество независимых выборок, т. е. отдельных групп вариант. Очевидно, частные или групповые средние — хі,Х2 , хз,..., Xk, характеризующие эти выборки, как величины случайные бу­ дут варьировать вокруг одного и того же центра распределе­ ния— генеральной средней (М), которая, как уже было сказа­ но, является величиной постоянной. Спрашивается, какова величина этой вариации и как ее измерить? Из предыдущих глав известно, что основным мерилом вариации, т. е. возможных от­ клонений вариант от их средней величины, служит дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Эти же показатели характе­ ризуют и варьирование выборочных средних. В математической статистике доказывается, что выборочные средние варьируют

в У п раз меньше, чем отдельные варианты одной и той же гене­ ральной совокупности. Отсюда следует, что среднее квадратиче­ ское отклонение, характеризующее варьирование выборочных средних вокруг их генерального параметра, равняется:

Y ч

Обычно этот показатель называют выборочной ошибкой сред­ ней (х), или ошибкой репрезентативности; в дальнейшем она обозначается буквой т, которая сопровождается символом того показателя, к которому относится ошибка.

Так как в формулу выборочной ошибки входит не генераль­ ная, а выборочная дисперсия, то более точной будет формула ошибки, в которой п заменяется на п—1, т. е. число степеней свободы:

На выборках большого объема разница между п и п—1 прак­ тически не сказывается на величине ошибки, поэтому ее можно вычислять и по формуле 48. На выборках же небольшого объе­ ма («<30) выборочная ошибка должна вычисляться с учетом степени свободы, т. е. по формуле 49 или по следующим анало­ гичным формулам:

87

Если средняя арифметическая вычисляется упрощенным спо­ собом, то и ее средняя ошибка определяется тем же способом по формуле

где а = х—А, т. е. отклонение варианты от условной средней А. Применим эту формулу к тому же примеру:

Выборочная ошибка выражается в тех же единицах измере­ ния, что и сопровождаемые ею показатели. Она имеет два зна­ к а — плюс и минус, характеризуя отклонения выборочных пока­ зателей как в сторону больших ( + ), так и в сторону меньших

(—) их значений по отношению генерального параметра. В це­ лях упрощения записей знак ± , которым сопровождается ошиб­ ка, обычно опускается, но всегда подразумевается. Средняя арифметическая с ее ошибкой записывается так:

X± о т —.

Вданном примере эта запись выглядит в виде

X і от—= 4,5 + 0,57.

88

Свойства средней ошибки. Закон больших чисел

Выборочная ошибка характеризует варьирование выбороч­ ных показателей вокруг их генеральных параметров; она обла­ дает теми же свойствами, что и среднее квадратическое откло­ нение. Лишь одно свойство специфично для выборочной ошибки: она уменьшается при увеличении числа наблюдений (п ). Это свойство выборочной ошибки обусловлено действием статисти­ ческого закона б о л ь ш и х чисел. В этом законе выражается внутренняя связь между числом испытаний и приближением вы­ борочной средней к своему генеральному параметру — матема­ тическому ожиданию.

Первоначальные теоретические обоснования этого закона были даны еще Якобом Бернулли. А само его название Закон больших чисел предложил Пуассон. В дальнейшем Чебышев, Марков, Ляпунов и другие математики уточнили первоначаль­ ную формулировку закона. В общей формулировке Закон больших чисел утверждает, что вероятность апостериори будет сколь угодно близкой к вероятности априори события, если чис­ ло испытаний неограниченно возрастает. Применительно к эмпи­ рическим совокупностям эта формулировка означает, что выбо­ рочная средняя (ж) будет сколь угодно мало отличаться от генеральной средней (М), если число наблюдений (п) неогра­ ниченно возрастает. Иначе говоря, чем больше объем выборки, тем точнее средний результат, тем меньше выборочная средняя будет отличаться от средней генеральной совокупности. Следо­ вательно, при увеличении числа испытаний ошибка выборочной средней будет уменьшаться, т. е. при п— >-оо т— И). Отсюда ста­ новится яснее значение выборочной ошибки: она указывает на точность, с какой определена сопровождаемая ею средняя вели­ чина.

Величина средней ошибки зависит не только от объема вы­ борки, но и от размаха варьирования признака: чем больше раз­ мах вариации, тем больше будет и величина выборочной ошиб­ ки, и наоборот, при сравнительно слабом варьировании призна­ ка ошибка средней арифметической оказывается меньше.

Наряду с отмеченными причинами на величине средней ошибки сказывается и способ отбора вариант из генеральной совокупности.

Ошибка при разных способах отбора вариант из генеральной совокупности

В зависимости от характера и методики исследования отбор вариант из генеральной совокупности может производиться по-разному. Существует два основных способа отбора: повтор­ ный и бесповторный случайный отбор. Повторный отбор прово­ дится, как уже упоминалось выше, по схеме возвращаемых

89