когда этого требует опыт, должен оценить достоверность разли чий, наблюдаемых между средними арифметическими дисперси онного комплекса. Это можно сделать с помощью критериев Фишера (F) или Стьюдента (/), рассмотренных в предыдущих главах. Для оценки разности между двумя средними х\—х 2 = D в дисперсионном комплексе критерий Фишера определяется по следующей формуле:
_ D * |
т Х п г |
D о2 |
пі 4- п2’ |
Z |
|
где oz2— остаточная дисперсия. При одинаковых числах вариант в градациях комплекса, в сравниваемых группах, т. е. при п\ — = п2, эта формула упрощается:
Z
Числа степеней свободы равны: Кі = \ и Ki = Kz\ причем Кі берет
ся по горизонтали, |
а К2— по вертикали таблицы Фишера |
(табл. VII приложений). |
Оценим по критерию Фишера урожайность отдельных сортов |
пшеницы с их общей |
урожайностью по шести сортам. Средние |
арифметические |
по урожайности |
каждого сорта |
приведены в |
табл. 97. Общая средняя по шести сортам равняется: |
|
х = Л + ^ |
= 22 + |
= |
22 + 5,5 = 27,5 |
ц/га. |
Находим разность между групповыми (сортовыми), средними и общей средней всего комплекса:
№ сортов: |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
х1 — x=D |
+ 0 ,7 |
- 0 ,8 |
+ 0 ,3 |
—2,3 |
+ 4 ,7 |
—2,5 |
Бросается в глаза большая прибавка урожая по сравнению с об щей средней пятого сорта. Определим достоверность этой раз ности. Имеем: хі = 32,2—х —27,5 —4,7 ціга, откуда Д2 = 4,72 = 22,1, оу2 = 4,4 ціга. Так как в группах комплекса содержится одинако вое количество вариант (п = 4), критерий Фишера рассчитаем по второй формуле:
22,1
По табл. VII для /Сі = 1 и К2 = Кг= 18 и Р = 0,01 находим Fst — = 8,3. Видно, что F<fr>Fst, следовательно, нулевая гипотеза не со храняется; пятый сорт достоверно превосходит по урожайности средний урожай по всем шести испытанным сортам этой куль туры.
Оценим ту же разность по критерию Стьюдента, который, как известно, определяется отношением разности к ее средней ошибке и оценивается по таблице Стьюдента (табл. V приложений) по числу степеней свободы К = Кг—1 и принятому уровню значимо сти (Р). Применительно к дисперсионному комплексу средняя ошибка разности между средними арифметическими определяет ся по формуле
где т~ — выборочная ошибка частной средней (ж»), определив-
XI
мая по формуле
Если число наблюдений в отдельных группах комплекса не одинаковое, выборочная ошибка разности между средними опре деляется по следующей формуле:
ГПг>= Ох
где о / —- остаточная дисперсия, а /іі и п2— количества вариант в сравниваемых группах.
Применительно к рассматриваемому примеру выборочная ошибка групповых средних по урожайности разных сортов пше ницы равняется:
Ошибка разности между средней урожайностью пятого сорта и общей урожайностью испытанных шести сортов пшеницы (D — = 4,7 ц/га) определяется следующим образом:
mD = ф2 X 1Л = У2,2 = 1,5 ц/га.
Критерий Стьюдента t = —— = 3,1. По табл. V приложений для
К=Кг—1 = 18—1 = 17 и Р = 0,01 находим tst = 2,9. В данном слу чае £ф>4<, что опровергает нулевую гипотезу и дает основание подтвердить ранее сделанный вывод о достоверном преимущест ве пятого сорта по сравнению со средней урожайностью по шести испытанным сортам пшеницы.
Оценка силы влияния факторов на результативный признак
Дисперсионный анализ позволяет устанавливать не только достоверность, но и силу влияния регулируемых и нерегулируе мых в опыте факторов на результативный признак. Сила влияния фактора определяется как доля факториальной вариации в об щем варьировании признака. В качестве показателя силы влия ния, обозначаемого символом цх2, Плохинский (1964, 1966) пред ложил использовать отношение факториальной суммы квадратов (Де) к общей сумме квадратов (Dy) дисперсионного комплекса, т. е.
2 |
Dx |
2 |
, Dz |
4 x = |
7 r - , |
ИЛИ ц х = |
1 — — . |
|
L)y |
|
D y |
Этот показатель получается, если каждый член равенства Dy=D x+D z, выполняемого в любом дисперсионном комплексе, разделить на Dy:
А* |
Dz |
Dx |
D z |
2 |
7 T- + |
j r - = 1, откуда |
Dy |
Du |
T|x • |
U y |
U y |
|
Критерием достоверности выборочного показателя т]ж2 берется отношение его к ошибке, которая определяется по следующей приближенной формуле (Плохинский, 1970):
|
тцх = (1 — Цх) .. |
|
где а — число градаций фактора А (в нашей |
символике), N — |
объем дисперсионного комплекса. |
|
Нулевая гипотеза отвергается, если |
st |
для Г/С, = |
а - 1 1 |
|
ІК 2 = |
N — a>’ |
|
причем значение К\ находят в верхней строке, а /Сг — в первом столбце таблицы Фишера (табл. VII приложений).
Так, для только что рассмотренного примера сила влияния сорта на урожайность пшеницы, определяемая по методу Плохинского, выражается следующей величиной:
2 |
Dx |
|
139,71 |
|
|
Т]ж |
А,, |
|
0,636, или 63,6%. |
|
|
"219,27 |
|
|
Ошибка этого показателя |
2 |
................ .. 6 ' 1 |
0 101 |
|
|
|
тг\х = |
(1 — 0,636) 24 — 6 |
, . |
Критерий Рф = 0,636 |
6,3. По табл. VII приложений |
для |
0,101 |
|
|
К і= 5 и /(2=18 и 1% уровня значимости находим /% = 4,2. |
По |
скольку F0 > F st; нулевая гипотеза не сохраняется; степень влия ния сортности на урожайность пшеницы оказывается достовер ной и весьма высокой.
Кроме метода Плохинского существуют и другие способы оп ределения силы влияния, в частности, достаточно точная оценка этого параметра получается при использовании формулы
Т]х2 = 1
Dy ' ' N — а ’
где -----------—'Поправочный коэффициент (на смещенность выбо-
N — а
рочного показателя ч\ х 2 от генерального параметра).
Так, в отношении рассмотренного примера показатель силы влияния, определяемый по этой формуле, оказывается следую щим:
79,59 |
24 — 1 |
219,27 Х |
1 — 0,463 = 0,537, или 53,7%. |
24 — 6 |
Видно, что второй метод дает заниженный результат по сравне нию с методом Плохинского. В чем же дело? Ответ на этот вопрос дают специальные исследования (Урбах, 1968; Гинзбург, 1969 и др.), авторы которых указывают на математическую несостоя тельность метода Плохинского. Однако, вопреки этим указаниям, формулой Плохинского продолжают пользоваться, а ее автор (Плохинский, 1970) не соглашается с доводами своих противни ков. Таким образом, вопрос этот остается дискуссионным и, повидимому, требует доработки.
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ДВУХФАКТОРНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ
В двухфакторных дисперсионных комплексах, градации кото рых содержат одинаковые или пропорциональные числа вариант, выполняется равенство DX = DA+ DB + DAB, где DA и DB— суммы квадратов отклонений, отражающие -влияние контролируемых факторов А и В и их совместное действие (AB) на результатив ный признак. Обработка таких комплексов ничем принципиаль но не отличается от описанных выше схем. Но поскольку прихо дится учитывать большее число факторов, их взаимодействие, техника расчетов, естественно, несколько усложняется.
Равномерные комплексы при наличии малых групп
Дисперсионный анализ двухфакторных равномерных комп лексов, состоящих из сравнительно небольших групп, проводит ся примерно по следующей схеме.
1.Все варианты дисперсионного комплекса суммируют. Най денную сумму возводят в квадрат и относят к общему числу на блюдений.
2.Затем каждую варианту комплекса возводят в квадрат и находят сумму квадратов (Их2).
3.Далее переходят к расчету сумм квадратов отклонений. Их можно рассчитать по следующим рабочим формулам (в на шей символике):
(Их)2
общая для всего комплекса — DY = Их2 — -— ; межгруп-
N
новая (по сочетанию градаций) — Dx = |
И (Их і ) 2 |
(2х) - • ос |
|
|
|
Пі |
N |
таточная или случайная— DZ = DY — DX, по фактору Л • |
(ИхА)2 |
(Их)2 |
по фактору |
|
(Ихв)2 |
DA — И----------------- -— ; |
В — DB = H------ — ■ |
пА |
N |
|
|
пв |
& х ) 2
по взаимодействию факторов AB — DAB = Dx —
N’
—DA — DB.
Здесь X — отдельные варианты дисперсионного комплекса; Ихі — сумма вариант по градациям комплекса; ИхА — сумма ва риант по фактору А; Ихв — сумма вариант по фактору В; пА — число вариант по фактору Л; пв — число вариант по фактору В; П{ — число вариант в отдельных клетках таблицы; N — общее число вариант, составляющих дисперсионный комплекс.
4. Определив суммы квадратов, устанавливают степени сво боды, которые равны:
для общей дисперсия — kY= N—1, дисперсии по фактору Л — кА= а—1, дисперсии по фактору В — kB = b—1, по взаимодейст вию факторов AB — kAB= (а—1) (Ь—1) = &а Х&в, остаточной или
случайной дисперсии — k z = N —ab. |
|
|
|
|
|
|
|
фак |
Здесь а — число градаций фактора Л; b — число градаций |
тора В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Отнесением сумм квадратов отклонений к числам степеней |
свободы определяются дисперсии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
общая |
2 |
D Y |
, |
А |
2 |
= |
D А |
; по |
. |
фактору |
|
Су |
— _; по |
фактору Л — (Та |
|
|
|
|
|
Ar |
|
|
|
|
К а |
|
|
|
|
В |
2 |
D B |
по взаимодействию факторов AB |
г |
|
|
DAB |
Ов |
К в ; |
°AB ^ |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д а в |
