Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 356

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

134

ТЕО РИ Я П РЕД ЕЛ О В

[ГЛ, V

 

 

 

у =

х2

 

X

 

 

 

 

Этот предел равен ранее найденному нами пределу

функции

 

 

— 4 при

 

-> 3.

 

 

П р и м е р

2. Найти

У 2

 

 

.1

Хlim-

і х

" Г

 

 

 

х-+ 2.

 

 

 

 

 

Р е ш е п и е. Прежде чем применить теорему о пределе

частного,

нужно узнать, не будет ли предел делителя

равен

нулю при

Пользуясь теоремой II и след­

ствием

1 теоремы IV о пределах, найдем:

 

lim

(2х + 1) =

2 П т л: + П т 1 = 2 - 2 -}- 1 = 5.

 

х->2

 

х->2

Предел делителя не равен нулю, поэтому теорема V о пределах может быть применена к нашей функции. Та­

ким образом,

П т

х2 + 3х

 

 

х_* 2

(х2

+

3*)

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

2х+ 1

 

 

х->2

2

 

 

*)

’

 

Но

 

 

 

 

 

 

1іт ( * +

 

Х - > 2

:2

+

З.ѵ) =

х-*2

х)2

+

 

х~>2 х.

 

 

П т (л

(Пт

 

 

 

3 Нт

 

Следовательно,х2+ 3х

(х-П

>2т

х)г+

3

XП

т х

 

 

2 2

+

3 - 2 _

10

Х - > 2

2х + I

 

 

___________

 

-»2

 

 

 

 

 

 

 

Пт

 

 

х->2

 

 

 

 

 

 

2

- 2

+ 1

5

 

 

2

l i m X +

П

т

1

 

 

 

 

 

 

 

Подставив в выражения функций в последних приме­ рах Еместо X его предельное значение, мы получим те же результаты. В полных курсах анализа доказывается за ­ конность такой подстановки при условии, что к функции, предел которой находится, применимы теоремы о пре­ делах.

В дальнейшем мы будем пользоваться этим приемом, так как он значительно ускоряет процесс отыскания пре­ дела функции.

II. Разберем примеры, в которых предел делителя равен нулю и, следовательно, теорема о пределе частного неприменима; при этом могут представиться два случая.

а) Предел делимого не равен нулю.

з

П р и м е р 3. Н айти 1 іт -л - - т -.

§ 47]

П Р Е Д Е Л Ф УН КЦ И И

135

 

 

Р е ш е н и е . Найдем предел делителя, заменяя х его предельным значением:

lim (2х — 6 ) = 2- 3 — 6 — 0. Я-»3

Как видно, теорему о пределе частного в данном примере использовать нельзя (деление на 0 недопустимо). Мы знаем, что если lim (2 л: — 6 ) = 0 , то 2х — 6 есть беско-

х - > - 3

нечно малая величина, а обратная ей величина есть бес­ конечно большая (§ 42). Поэтому •^ rL 'ë при х ->3, а сле­

довательно, и произведение 2х~— Ь ‘ ^ ~ бесконечно боль­

шие величины, т. е.

lim

2х —6

оо.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

х -

 

>

3

 

 

 

 

б) Предел делимого

равен нулю.

 

П р и м е р 4.

Найти

х->о

х2 1

2 х

 

х _ _

х

 

 

lim

j . - . .

 

Р е ш е н и е .

Предел делителя

 

 

lim (х2 +

 

х) =

О2 + 0 =

0

 

х->0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и предел делимого

-f-

 

 

 

 

=

 

2 • 0 = 0.

 

(х2

2х)

2

*lim-

 

 

 

 

О +

» 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

получим

 

выражение

0

В этом случае

 

-g-, не имеющее

смысла.

Однако отсюда не следует, что данная функция не имеет предела; для его нахождения нужно предвари­ тельно преобразовать функцию, разделив числитель и знаменатель на х, что возможно, так как до перехода к предельному значению х Ф 0 , т. е.

X2+ 2 х

X + 2

 

х3+ х

~~ х + і ‘

{ >

К выражению -X

' ■-г- теорема

о пределе частного при-

менима, так как

“Г

делителя не равен ну'лга.

1

предел его

136

ТЕО РИ Я П Р ЕД ЕЛ О В

[ГЛ. V

 

* + 2 .

Найдем

предел дроби

Л . - + I

'

 

 

 

2

 

 

— 2

 

 

+

__

 

 

 

Х - + 0

X

+ 1

 

0

 

 

 

 

 

 

лг

 

0

+

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

I ~

 

Приняв во внимание равенство (2)

и следствие теоремы

I § 45, получим:

 

X2

 

2х =

 

 

 

х +

2 = .

 

 

-»0

X 2 +

X

 

-»0

X

 

1

 

 

 

 

+

 

 

 

2

 

lim

 

 

 

lim

 

 

+

 

Этот

х

 

можно

х

 

 

 

 

 

 

результат

подтвердить и вычислением

значении данной функции при значениях аргумента, близких к нулю, например при

* = 0, 1; 0,01; 0,001; 0,0001; . . .

Следующая

таблицаX 2 4показывает-

характер изменения

функции

 

 

!/ =

х 2

+

х

при

х -> 0 :

 

 

 

X

 

 

 

0 , 0 1

 

. . . - > 0

 

 

 

0 , 1

 

0 , 0 0 1

0 , 0 0 0 1

У =

X2+

 

2х

1,9

 

1,99

1,999

1,9999 . . .

- > 2

X 1 +

X

 

у

------

 

 

 

х ~__ 6Q

 

 

П р и м е р

Г

5. Найти

Х - + 3

 

 

 

 

lim ------

 

 

 

Р е ш е н и е .

И в

данном

случае пределы делимого и

делителя равны нулю, поэтому функцию необходимо предварительно преобразовать, сократив ее н а * — 3, что

допустимо, так как до перехода

0к предельному значению

Итак, х2- 9

lim

{х

* — 3

 

.

lim (* + 3) = 3 + 3 =

6

.

Хlim- + 3

X

— 3

 

+ 3-}-(* 3)- =

 

 

 

je—> 3

 

X — ä

 

 

* -> 3

 

 

П р и м е р

6

. Найти lim

~ х

 

—- .

 

 

 

 

 

 

 

 

х-> I

х

1

 

 

Р е ш е н и е . Как и в предыдущих примерах, данная функция должна подвергнуться преобразованию. Для

§ 47] П Р Е Д Е Л Ф УН КЦ И И 137

этой цели освободим числитель от иррациональности,

умножив оба члена дроби на j/ * + 3 +

2

, и сделаем не­

обходимые упрощения:

 

 

У Т + з - г

_ |іт (У 7 Т з -

8)(У 7 + з + й _

 

 

х - > \

х

— 1

 

 

 

х - > \

 

( ; — 1)

( Ѵ х

*-|- 3 -{- 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

х + 3 —

 

 

 

=

 

 

 

 

X —

 

 

 

 

І і т ---------

7

■■>=_.—-----

7

lim--------- .

r

_____ ____ г =

 

 

хI-•> 1 (х

— I

 

 

 

4

 

 

X- * - 1

(х

 

 

 

I

 

 

 

 

)(і/Гх

 

2

 

 

1

(У^X

4

2

 

 

 

 

 

 

 

—f-=3 -(—lim) —7

=

 

------—= )

—7=

+

3-------- )=

—.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*->I

V x + I

3 +

2

 

 

 

 

I

I

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ Т + 1 +

2

111.Разберем примеры отыскания предела функции

при

X

—► оо.

 

Х-> оо

5

"Г *

 

 

 

 

П р и м е р

 

 

 

 

 

 

2

 

-.

 

 

 

7. Найти lim - — -

5

 

 

Р е ш е н и е .

Делитель

Зх +

7

 

при х —»оо

неограни­

2

 

 

ченно

растет,

т. е. представляет

 

 

7

большую

 

бесконечно

величину; обратная же ей величина

^ -^

, — бесконечно2

малая

(§ 42).

 

х —> оо:

произведение

^ •

Следовательно,

стремится к нулю, если

 

 

2

 

 

 

 

0 .

 

 

 

 

 

lim

Зх

+

 

2

 

 

 

 

 

П р и м е р

Х-»оо

 

 

. , . . .

 

 

 

8 . Найти

 

lim

 

 

 

X —

 

 

Х-> СО

 

 

*

 

 

Р е ш е н и е .

Делимое и делитель данной функции при

»оо— бесконечно большие

 

величины,

а их отношение

не имеет смысла. Поэтому преобразуем данное выраже­

ние, разделив делимое и делитель на

х:

 

 

 

 

Зх

-f- 5

 

 

—5

I

А х

 

Но

 

+ 15 4 + -

 

 

и —

при х - » о о — бесконечно малые величины, а

потому пределы делимого и делителя будут соответст­ венно равны 3 и 4, а предел функции 0,75.

138

ТЕО РИ Я П Р ЕД ЕЛ О В

[ГЛ. V

 

Процесс нахождения предела данной функции за­ пишется так:

Зх +

5 ..

3

 

3 +

0

 

 

 

т х

 

°’75-

 

 

X 1,m77+т- » ° °

 

7 T =

7 + ö =

 

 

= i™ 7 + А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 + 2х3

+

Зх

2

+

X

 

 

 

П р и м е р 9.

Найти

lim

 

 

 

х2,

 

 

4_ 4

 

 

 

Р е ш е н и е .

 

 

Х - > о о

лу%- г *

 

дроби на

 

по­

Разделив оба

члена

 

лучим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2х3+3

 

Зх3 +

х

 

2

х +

3 + —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

+

4

 

 

 

 

 

1+ АX 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

х —>оо

 

отношения —

и

 

4

 

стремятся

к

 

нулю,

 

г г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2х

неограниченно

 

растет; следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim (2* +

3 +

-і) =

 

 

оо,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а вся дробь

 

 

 

 

 

 

Х lim- »

с(lо

+'

А Л =

 

 

ly

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

+ 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак,

 

Хl-i>оа

2 3

 

 

 

2

 

'+ ? ■

,.

 

 

2

х +

3 +

•

 

оо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

..

m

 

х + Зх + X

 

=

 

 

 

 

 

 

 

X 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

------- 5-7 —г —

 

п т

 

 

 

1 + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СлІk

 

 

Найти:

 

 

2

— Зх + 4).

УпражненияX

2

+

 

X -

 

 

3

 

 

 

 

1.

П- >т2

(2х

 

 

 

 

X -

»

—

 

х1 Х

 

 

 

 

 

 

 

3. lim- > 0

 

-

 

, , .

1 — X 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2- Пт

 

 

„

3

 

 

 

2

 

 

х

 

 

 

 

 

 

-

х

 

2

 

 

 

 

е

х,.- » 0

 

X 2х

 

6

 

,.

 

 

4х

 

 

— Зх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

„

+

 

2

 

2

 

 

X-K)X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о.

 

 

 

 

 

 

Х

Х

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

Hill

n *

 

4- і ? „ Т

+

 

? '

 

 

 

 

 

 

— 1 ‘ ■ *->о 2х + 5 1 0

 

 

X

+

+ x

8

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Hm- > 0 *

X .

 

 

 

 

9.

хlim-

 

 

X 2 +

X 3

-

 

 

\ | .

lim

 

X 1

 

 

 

 

 

 

2х +

 

 

 

Зх +

 

x

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*^ o

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

•

1

Смотрите также файлы