Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 358

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 16]

П Р И Л О Ж Е Н И Е Т Е О Р И И

П Р ЕД ЕЛ О В К В Ы Ч И СЛ ЕН И Ю

125

многоугольников периметр

Р п вписанного многоуголь­Qn

ника будет расти, оставаясь все время меньше периметра

любого описанного многоугольника, а периметр

опи­

санного многоугольника при том же условии будет убы­ вать, оставаясь больше периметра любого вписанного

 

 

 

 

Р п

 

можно

N

многоугольника. Иначе

 

 

сказать,

что

 

 

— монотонно

 

 

возрастающая

 

 

ограниченная

 

 

переменная,

а

 

Qn — монотонно

 

 

убывающая ограниченная пере­

 

 

менная

(см. §

 

39). В

подроб­

 

 

ных

курсах

анализа

доказы­

 

 

вается, что такие переменныеР п Q n

 

 

имеют пределы. Покажем

что

 

 

пределы

переменных

и

на

 

 

одинаковы.

Изображенные

 

 

рис.

73 многоугольники подоб­

Рис.

73.

ны. Мы

знаем,

что периметры

подобных многоугольников

от­

 

 

носятсяhn

между

собой,

как

их

R

 

апофемы. Обозначив апофему вписанного многоугольника

через

 

и приняв во внимание, что радиус

окружности

служит апофемой описанного многоугольника, согласно вышеуказанной теореме напишем:

Q n

__

R

Рп

Ап ‘

 

_

Перейдем к пределу в обеих частях этого равенства при

п —+ оо;

 

 

1 іт |

: =

1і г а г <

(!)

 

 

П->ОО * ft

/;-»оо

,1п

 

(1), находим:

Применяя теорему V § 45 к равенству

 

 

lim

Qn

n-*°o R

 

 

 

 

Pn ~

lim

hn

 

W

 

 

Л->со

 

n -> oo

 

*

,n.

 

 

lim

 

lim

 

 

 

 

n -* o o

 

 

 

 

 

Ho Пlim-

R — R

(как предел

постоянной величины) и

>оо

 

 

 

 

 

 

 

lim hn — R (см. пример 2 § 43). Д~>°о

126

 

 

 

 

ТЕО РИ Я

П Р ЕД ЕЛ О В

так:

 

 

ІГЛ, V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qn

Ң

 

 

 

 

Поэтому равенство И(2)-> ооперепишется,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim Рп ~ ~ R ~

■’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

отсюда

 

 

 

 

га->со

ГІ -> оо

Рп.

 

 

 

 

 

 

 

 

П - > со

 

 

 

 

 

 

Р п

 

Qn

 

lim Q(l= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общий предел периметров правиль­

 

 

 

 

 

 

ныхИтак,многоугольников,и имеютвписанныхобщий предел.в окружность и описан­

около нее, при неограниченном увеличении числа их

ныхО п р е д е л е н и е .

длиной

окружности,

т.

 

Qn —

сторон называется

 

 

 

Рп =

С,

 

С

 

 

 

 

> с о

 

П - > со

 

 

 

 

 

е. П -lim

 

= lim

 

 

где

 

 

отношение длины

окружности

 

 

 

 

— длина окружности.

 

 

к ее диаметру есть величина одна и та же для любой

окружности.Докажем

 

теперь, что

 

 

г

 

 

две окружности, радиусы которых равны

R

Возьмем

 

и

 

 

рп,

 

 

 

Рип впишем в них одноименные правильные много­

угольники. Обозначим периметры этих многоугольников

через

и

 

 

а длины окружностей через С и с. Приняв

во внимание, что периметры правильных одноименных многоугольников относятся между собой, как радиусы описанных около них окружностей, получаем:

При неограниченном увеличении числа сторон данных многоугольников их периметры Р п и рп становятся пере­ менными величинами, радиусы же R и г — постоянные. Перейдем к пределу в обеих-частях равенства (3) при п —> оо; получим:

Ііш —^-=

lim

,

Д - » о о Рп

П-><х>

Г

или, согласно теореме о пределе частного (§ 45),

ііш

Рп

г

 

Рп

 

П-> ОО

R

(4)

іітп

 

 

П->

 

 

 

ОО

 

 

§ 46] П Р И Л О Ж Е Н И Е Т ЕО Р И И П Р ЕД ЕЛ О В К ВЫ Ч И СЛ ЕН И Ю 127

Но, как было указано выше,

 

рп = с.

lim

Рп = С

Пlim

 

 

 

->

 

 

 

ОО

 

Поэтому равенство (4) перепишется так:

— =

Л .

С _

2R

с

г

с

2г

Поменяв местами средние •члены полученной пропорции, будем иметь:

 

С

с

 

 

 

 

 

 

2R

2г — const,

 

 

 

что и требовалось доказать.

 

 

 

 

я,

Постоянную величину отношения длины окружности

к ее диаметру

принято

обозначать

греческой

буквой

 

т. е.

 

2R ~

л’

 

 

 

 

откуда

 

С

 

 

 

 

 

 

С

nR,

 

 

 

(5)

или

 

С = 2

 

 

 

 

 

 

— nD,

 

 

 

(6)

где D = 2R — диаметр окружности.

 

п

 

Равенства

(5) и (6)

служат формулами для

опреде­

ления длины

окружности. В

этих

формулах

 

— число

иррациональное, т. е- такое число, которое может быть выражено только бесконечной десятичной непериодиче­ ской дробью. С точностью до 0,0001

я»3,1416.

Впрактических приложениях часто используют значение

яс точностью до 0,01, т. е.

я«3,14.

Д л и н а

д у г и

о к р у ж н о с т и . Так

как длина окру­

жности радиуса

R

равна 2

nR,

 

 

 

 

 

и

10

nR

л

R

то

длина

 

 

 

2

 

ее дуги, содержащей

Г , равна - щ - ==- щ ,

а

»

» »,

»

оп ,

TiRn

-jgg- »

равна

128

Т ЕО Р И Я П Р ЕД ЕЛ О В

[ГЛ. V

Обозначив длину дуги через /, будем иметь:

L, ~__

nRn

•

(7)

180

 

 

Площадью

круга называется предел, к которому стремится площадь

правильногоП л о щ а д

вписанногоь к р у г а . илиО пописанногор е д е л е н имногоугольникае .

при неограниченном удвоении числа их сторон.

 

 

 

 

Впишем в окружность радиуса

R

 

правильный много­

угольник

A B C D E F

(рис.

74). Как

 

известно,

площадь

 

 

 

правильного

 

многоугольника рав­

 

 

 

на

половине

произведения

 

его

 

 

 

_ периметра на

апофему.

Обозна­

 

 

 

чив

площадь данного многоуголь­

 

 

 

ника, его периметр и апофему

 

 

 

соответственно через •5л)

Р п

и

h

п,

 

 

 

запишем: S n

 

 

 

 

 

 

 

=

Y p n h n -

 

 

(8)

Будем неограниченно удваивать число сторон этого многоуголь­ ника и перейдем к пределу в ра­

венстве (8 ) при п -*о о . Применяя теорему IV и след­ ствие I этой теоремы (§ 45), получим:

 

 

 

lim

 

= Y

lim

Рп

lim

hn.

(9)

 

 

 

Д->со

 

 

^

П~+оо

 

П-> oo

 

 

Но, как мы знаем,

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

Pn =

(длина окружности),

 

 

 

П->°о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim hn — R.

 

 

 

 

 

 

По определению

Д

lim

S n

— площадь круга; обозначив

ее

 

К,

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

.через

будем иметь: П->оо S n — К .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

Учитывая сказанное, равенство (9) перепишем так:

§ 46] П Р И Л О Ж Е Н И Е ТЕО Р И И П Р Е Д Е Л О В К ВЫ Ч И С Л ЕН И Ю 129

Но

 

С = 2л/?.

 

 

Следовательно,

K = ± 2 n R -R = nR2.

 

(Ю)

Заменив радиус

R

половиной диаметра

- у ,

получим:

 

 

 

(И)

Равенства (10) и (11) служат формулами для определе­

ния площади круга.

 

 

 

два круга с

радиусами,

С л е д с т в и е .

Пусть даны

равными

Ri

2

, или с диаметрами,

равными

D і

D->.

 

и і?

nÖ\и

 

Площадь первого

круга

K i — nRi,

или

 

 

 

 

г =

2

=

\iLJ<y

 

 

»

 

второго

»

К

nR2

»

Кі

- у - •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«

 

Разделив первую площадь на вторую, получим:

 

 

T. e.

/С,

 

nR\

R]

 

Кі

 

 

 

nDl

 

D\

 

K2

 

*R i

R\

 

/С2

 

4

 

4

 

Dl

как

площади двух кругов относятся между

собой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

квадраты радиусов или квадраты диаметров.

П л о щ а д ь с е к т о р а .

Площадь сектора, дуга которого содержит 1°, равна у г у

»

»

 

 

 

»

»

nR2n

 

 

 

360 ’

Обозначив площадь сектора через s, получим:

( 12)

 

 

S ~

nR2n

 

 

 

 

 

360

 

•

 

 

Правую часть формулы__ лRn(12)

Rразобьем на два множи­

теля,

а именно:

S ~~

180 ‘ Т

'

 

( 13)

Но

Ксм - Ф °РМУЛУ (7)].

Б И. Л, Зайцев

Смотрите также файлы