Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

§ 48]

л

П Р Е Д Е Л

О ТН О Ш ЕН И Я

(SIN Х);Х

ПРИ

Х-+0

—

139

lim

+

Зл

2 л 3 +

З л 2

х

I

II.

2

: 3

2

1 2 .

П

т

1 3 .

л 2 +

X 2

—

4 а 2 —

X 2

X

4 л

5

*-»■0

2 х

х - » о

2

3

— 1

1 4 .

х->2а

х

2 а

1 5 .

х-*2

л2

л+ -

2 — 6

•

х

П т

■

X +

5

i m

П т

л

1 6 .

Х -Я

1 7 .

l i m

X 2 —

5 л + 6

. .

л 3 + 2 7

-г$—5

л

—

3

1 8 .

l i m

--------- г - ^ —

1 9

-»2

X'

1 2 л : + 2 0 '

2 1 .х->П

-тз

х + 3

Д т з л 2 — 6 л + 9 *

Х

Ѵ а - Ѵ а = 7

+ л — 1 Пі-

2 0 .

1і т

' 2 3 . х

1

X

-»0

у.....

->0

Ѵ і+х- ѴТ=Г

2 2 .

хl

m

П т

з

X

—■3

2

«

у х +

iiiii

->0

4 л

х - >

1

—

2 4 .

П

т

4

+

л

л 2 У

2 5 . хХ~>ооП т

* 2 6 .

П

т

2 7 .

П

т

-==-г

2 8 .

П

т

1

+

2 л 2

•

Л

2 9 .

П

Лт ->ооX

X

Х~>оо \ 9 JC

1

-

лX22 +

Г

2

X

3

х->оо л: — IX

» X U

.

+ л

Х->оэ

+

X4 +

л

5

3 0 .

П

т

+

3

х->°°

X 2

§

48.

Предел

отношения

si" *-

при

х - * 0 .

Так

как

в данном

случае

1

: =

0,

то для

нахождения

предела

отношения

S1"

х-

іш а

- » 0

при х

нель­

N

зя применить теорему о пределе

частного;

нельзя

также

сделать

никаких преобразований

для

вы­

числения

предела

данного

отно­

шения.

Поэтому

используем гео­

метрические

соображения.

R

Возьмем

окружность

радиуса

и

центральный

угол

Mвы­

раженный вANрадианной,

Aмере

(рис. 75). Проведем хорду

и

касательную

пересекающую

продолжение

радиуса

ОМ

в точ­

А AON .

ке

N.

Из рисунка видно:

площ. Д Л О М < п л о щ . сектора Л СШ <п лощ .

Выражая площади треугольников и сектора по фор­

мулам, можем переписать:

О А - A N

О А - Р М

<

О А ■— A M

<

2

2

2

140

ТЕО РИ Я П Р ЕД ЕЛ О В

[ГЛ. V

РМ

.A M

AN

( 1)

R

< -

R

< R

или

,К.

- s i n

<

1

X

( 2)

1

>

.

------ > c o s x .

Положим теперь, что х —>-0; тогда

Но так ках отношение

C O S X —>-1.

sm *

согласно неравенствам (2)

заключено

между единицей

и cosx,

то оно и подавно

стремится к единице.

-Л-----------1--------- 1-----3»-

О

cosjo

76.

sing7

7

-+-

Рис.

X

Это стремление отношения

к единице хорошо

§ 49]

Э К В И В А Л ЕН Т Н Ы Е Б ЕС К О Н ЕЧ Н О М АЛ Ы Е В ЕЛ И Ч И Н Ы 141

Итак,

* - > 0

X X

1 .

sin

lim

нечно

малых

величин

sin

х

и

х,

0 причем

этот предел

оказался равным единице; поэтому sinx и

х — эквива­

лентные бесконечно малые при х - >

.

х

х

0

Можно указать и на другие эквивалентные беско­

нечно

малые

величины,

например

tg x

и

при

->■ .

В самом деле,

sin

X

lim - ^ - = lim

X

-»0

Xsin

X

1

COS

X

X

COS

X

lim

COS

X

x

sin

=

.

:-> 0

X - + 0

c o s

-

lim

X

•lim — !— =

1 - 1

1

л

П р и м е р

1.

Найти

Xlim0-----х ^— .

что

sinx и х

при

X

Р0е ш е н и е .

Мы уже

показали,

► — эквивалентные бесконечно малые

величины;

по­

этому в данном выражении можно

sin у

заменить

его

аргументом

у .

Сделав это, получим:

,.

sin2f

-

(іТ

\_

lim

-

х

= хlim —-г -

4 ’

*->о

2

-*о

х

П р и м е р

2.

Найти

lim. ,

■ .

:

')х- .

Ьх—

к

г

Ьх

д

^ 0

sin

Р е ш е н и е .

При

х —>0

также а х —>0 и

*0; по­

этому

sin ах

й

sin

— бесконечно

малые

величины.