Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Члены в правой части этого равенства, начиная со вто­ рого составляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, у которой

В правой части этого равенства, начиная со второго члена, мы имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, у которой

Таким образом, смешанная периодическая дробь рав­ на обыкновенной дроби, у которой числитель есть число, стоящее до второго периода, без числа, стоящего до пер­ вого периода, а знаменатель — число, изображенное цифрой 9, повторенной столько раз, сколько цифр в пе­ риоде, со столькими нулями на конце, сколько цифр между запятой и первым периодом.

,§ 47. Предел функции. I. Пусть дана функция

§ '17] П Р ЕД ЕЛ Ф УН КЦ И И 133

О пределе функции можно говорить только при усло­ вии задания предела, к которому стремится ее аргумент х\ без этого условия вопрос о пределе функции не имеет смысла.

Положим, что X —*■ 3; посмотрим, существует ли при этом условии предел данной функции и если существует, то какой *).

Говоря о пределе переменной в § 43, мы показали, что эта переменная может стремиться к своему пределу, из­ меняясь разными способами.

Пусть в нашем примере х принимает такую последо­ вательность значений:

3,1; 3,01; 3,001; 3,0001; . . . ->3;

тогда функция (1 ) получит соответственно значения:

5,6; 5,06; 5,006; 5,0006; . . . -> 5 .

Мы видим, что данная последовательность значений функции имеет предел, равный 5.

Если в равенстве (1) аргументу дать значения: 2,9; 2,99; 2,999, 2,9999; -> 3 ,

то и в этом случае предел последовательности значений функции будет тот же, в чем легко убедиться соответ­ ствующими вычислениями.

Итак, функция (1) имеет предел при п —* 3, равный 5. Это записывают так:

lim (х2 — 4) = 5.

X 3

Показанный выше способ нахождения предела функ­ ции громоздок, поэтому на практике он не применяется.

x->3

*) В полных курсах анализа дается определение понятия пре­ дела функции. Ввиду сложности этого определения мы не находим возможным здесь его приводить.